专题01 直线的方程(斜率范围、过定点、面积总和问题等)八大题型总结讲义-2026届高三数学一轮复习

专题01 直线的方程(斜率范围、过定点、面积总和问题等)八大题型总结 题型一 直线的倾斜角与斜率 2 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 2 题型三 直线的点斜式、斜截式方程 3 题型四 直线的两点式、截距式方程 3 题型五 直线的一般式方程 4 题型六 直线过定点问题 4 题型七 三线能围成三角形的问题 5 题型八 直线方程的综合应用 5 思维导图 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3. 1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 2．两直线的夹角公式 若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝. 题型一 直线的倾斜角与斜率 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k). 4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（    ） A．-1 B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 6．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 7．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 8．（24-25高三·全国·课后作业）已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则的倾斜角的取值范围是 ；直线的斜率的取值范围是 . 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·贵州铜仁·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 6．（2025高三·全国·专题练习）过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 题型三 直线的点斜式、斜截式方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0. 1．（24-25高三·全国·单元测试）如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高三上·河南新乡·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽·阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 5．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 三、填空题 6．（24-25高三下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 7．（2026高三·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为 . 题型四 直线的两点式、截距式方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 3．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 4．（24-25高三上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 5．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 三、解答题 7．（2025高三·全国·专题练习）的两条高线方程分别为和是的一个顶点，求所在直线的方程． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 题型五 直线的一般式方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25高三上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·广东·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 二、多选题 5．（25-26高三上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 三、解答题 7．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 8．（24-25高三上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 题型六 直线过定点问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西赣州·二模）已知直线.圆，则（    ） A．l过定点 B．l与C一定相交 C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4 3．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 二、填空题 5．（24-25高三上·云南昆明·期末）若成等差数列，则直线过定点 . 6．（23-24高三下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 7．（2025·浙江温州·二模）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 8．（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 三、解答题 9．（2025高三·全国·专题练习）求证：为任意实数时，直线必过一定点． 题型七 三线能围成三角形的问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2025高三·江苏·专题练习）已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（25-26高三上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 三、填空题 5．（24-25高三上·广东·期中）设正三角形的三边分别经过点，，，则该三角形面积的最大值为 ． 6．（2025·广东东莞·模拟预测）已知直线l：与抛物线C：交于P、Q两点，O为坐标原点，则三角形OPQ的面积等于 ． 四、解答题 7．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，是直线在第一象限上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值. 8．（25-26高三上·云南昭通·开学考试）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 题型八 直线方程的综合应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 3．（24-25高三下·四川德阳·阶段练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知空间向量，且，则实数 B．直线与直线之间的距离是. C．已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 5．（25-26高三上·重庆·期末）对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程表示两条相交直线，则 ． 7．（24-25高三下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 . 四、解答题 9．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线． (1)求方程表示的直线与轴围成的面积； (2)若方程表示的是两条直线，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线的方程(斜率范围、过定点、面积总和问题等)八大题型总结 题型一 直线的倾斜角与斜率 2 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 2 题型三 直线的点斜式、斜截式方程 3 题型四 直线的两点式、截距式方程 3 题型五 直线的一般式方程 4 题型六 直线过定点问题 4 题型七 三线能围成三角形的问题 5 题型八 直线方程的综合应用 5 思维导图 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3. 1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 2．两直线的夹角公式 若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝. 题型一 直线的倾斜角与斜率 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k). 4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线倾斜角为， 由直线方程可得：， 又角的终边位于直线， 由两角的终边相同可知：. 故选：C 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两条直线垂直得出斜率，再应用点斜式求解直线即可. 【详解】由题意可知，直线与垂直，直线的斜率为，所以的斜率为5， 又因为过点，所以直线的方程为，即. 故选：D. 4．（2025·河南·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 6．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 8．（24-25高三·全国·课后作业）已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则的倾斜角的取值范围是 ；直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，，，可得直线的斜率为， 直线的斜率为，由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·贵州铜仁·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析即可得解. 【详解】由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有交点， 结合图象可知，. 故选：A. 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 4．（24-25高三上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变化情况确定斜率的变化情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 6．（2025高三·全国·专题练习）过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为：，联立双曲线得到，解方程即可. 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：数形结合，根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求斜率的取值范围. 解法2：先求直线与线段有公共点时斜率的取值范围，再求其补集即可. 解法3：根据，在直线的两侧，列不等式求解. 【详解】解法1：直线过定点， 如图，因为直线与线段（或）的延长线相交，所以或．    因为， 所以或． 即. 解法2 ：当直线与线段相交时，或，即或； 当直线与线段平行时，． 所以当直线与线段（或）的延长线相交时，且． 即. 解法3：因为直线： 设 由于直线不与线段相交，故， 即，即，解得．且. 即. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    题型三 直线的点斜式、斜截式方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0. 1．（24-25高三·全国·单元测试）如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】因为，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 2．（25-26高三上·河南新乡·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，化成一般式为. 故选：D. 3．（25-26高三上·安徽·阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，且过点， 所以所求直线的方程为，即. 故选：A. 二、多选题 4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】ACD 【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可. 【详解】由题知，直线， 对于A，当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，解得或，故B错误； 对于C，在直线中， 当时，，当时，， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当时，的图象为： 故D正确； 故选：ACD. 5．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】根据两直线的位置关系即可判断AB；分别求出直线在坐标轴上的截距，结合计算即可判断C；结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】A：当时，，解得或，故A错误； B：当时，，解得，故B正确； C：对于直线，令，得，令，得， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； D：由题意知当时，：，斜率，在y轴上的截距， 所以直线过第二三四象限，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 6．（24-25高三下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】设出中点弦的端点，的坐标，代入椭圆方程，再利用中点的坐标即可求出直线的斜率，从而得解. 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 7．（2026高三·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【分析】将直线化为，列方程组求解可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则，所以直线过定点. 直线可化为， . 即直线的斜率满足， 设直线的倾斜角， 则，从而， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：，. 8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为 . 【答案】 【分析】易知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程可求得结果. 【详解】显然直线的斜率为，所以可知其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，其斜率为， 又直线过点，所以的方程为, 即. 故答案为：. 题型四 直线的两点式、截距式方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导数，再设切点，求切线斜率，利用点斜式得切线方程，切线过，将其代入切线方程得到关于的一个等式，又切点在曲线上，将切点代入曲线方程，得到关于的另一个等式，这两个等式联立求出切点的坐标，同理得到另一个切点的坐标，最后利用直线方程的两点式得到直线的方程. 【详解】，，设切点， 在处的切线斜率为， 在处的切线方程为， 在曲线上， ， 在处的切线方程为， 此切线过点， 将代入切线方程成立，即， 解得，， 当时，，当时，，或. 同理可得切点或， 是不同的切点，不妨设，， 直线的方程为，整理得. 故选：A 2．（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为. 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 3．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 4．（24-25高三上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 5．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】的中点坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 整理得. 故选：B 二、多选题 6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 三、解答题 7．（2025高三·全国·专题练习）的两条高线方程分别为和是的一个顶点，求所在直线的方程． 【答案】 【分析】由定点直线系方程得直线（或直线）的方程：，直线（或直线）的方程为，分别求出交点和的坐标即可求解. 由点的坐标得直线的方程． 【详解】由定点直线系方程得直线（或直线）的方程：， 与联立解得交点（或）的坐标为． 直线（或直线）的方程为， 与联立解得交点（或）的坐标为． 由点的坐标得直线的方程为：，即. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 【答案】 【分析】在上取点，则点关于点的对称点必在上，由中点坐标公式求出点，代入直线，得点，再由两点式方程求解． 【详解】在上取点，则点关于点的对称点必在上， 由，得， 得， 于是， 求得， 所以， 故所求直线的方程为：， 即． 题型五 直线的一般式方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 2．（24-25高三上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【详解】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线恒过定点且斜率为，数形结合确定直线与线段AB相交情况下参数的范围. 【详解】由题设，恒过点且斜率为，如下图示， 所以，， 由图知，要使直线与线段有交点，则或，故或. 故选：C 4．（2025高三上·广东·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【答案】C 【分析】先求出直线的定点，再应用定点到圆心的距离小于半径得出定点在圆内进而得出直线和圆相交. 【详解】由题意可得标准方程， 其圆心M的坐标为，半径， 直线，即. 联立，解得，即直线l过定点， 由于， 所以位于圆M的内部，即直线l与圆M相交. 故选:C. 二、多选题 5．（25-26高三上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 6．（24-25高三下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 三、解答题 7．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【详解】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 8．（24-25高三上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）由题可得方向的单位向量，同理可得方向的单位向量，然后可求的平分线所在直线的方向向量，接着即可得到直线斜率，进而得到一般方程. 【详解】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线所在直线的一个方向向量为， 故的平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 题型六 直线过定点问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 2．（2025·江西赣州·二模）已知直线.圆，则（    ） A．l过定点 B．l与C一定相交 C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4 【答案】B 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D. 【详解】选项A：， 联立，解得，所以l过定点，故A错误； 选项B：因l过定点，且， 所以定点在圆内，即l与C一定相交，故B正确； 选项C：若l平分C的周长，则直线过圆心，所以， 即，故C错误； 选项D：当定点为弦的中点时，此时弦长最短， 此时圆心到弦所在直线的距离， 则弦长，故D错误； 故选：B. 3．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两直线所过的定点，再分析出两直线的位置关系，得出点轨迹，再根据几何关系求出的面积最大值. 【详解】将直线变形为：，知过定点， 将直线变形为：，知过定点， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当且时，两直线的斜率乘积知：此时， 因为，由直径所对的圆周角为知， 点在以线段为直径的圆上（不含、两点）， 所以点到线段的距离即为的高，设为， 易知，因为，所以 所以， 即的面积的最大值是, 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】B 【分析】利用过两直线的交点直线系方程求得定点坐标判断A；根据两直线垂直与平行的条件计算可判断BC；根据两平行直线间的距离公式计算可判断D. 【详解】对A，变形为 令，则，因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，由于，，故两直线不平行，故B错误； 对于C，当时，， 由于，故两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时，则两直线距离为， 故D正确； 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高三上·云南昆明·期末）若成等差数列，则直线过定点 . 【答案】 【分析】由题意得，进而直线可化为，即可得到定点. 【详解】由题，有，所以由，得， 整理得，由，解得， 所以直线过定点. 故答案为： 6．（23-24高三下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 7．（2025·浙江温州·二模）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：； 8．（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则. 即圆的半径为. 故答案为：. 三、解答题 9．（2025高三·全国·专题练习）求证：为任意实数时，直线必过一定点． 【答案】证明见解析 【分析】将原方程变形成直线的点斜式方程得解；或将方程整理出过两直线交点的直线系方程求解. 【详解】将原方程变形为：， 即，可知直线过定点， 或将方程整理成恒成立， 所以， 从而. 所以直线恒过定点. 题型七 三线能围成三角形的问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】设直线的方程为，由直线过，得，再由三角形面积得，联立求出方程组的解即可得． 【详解】由题意设直线的方程为，直线过，则， 直线与坐标轴的交点为, 又，， ，， 时，，由， 得或， 时，，由， 得或， 所以直线共有4条． 故选：D． 2．（2025高三·江苏·专题练习）已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得直线与x轴的交点为，根据面积相等可得点M在射线OA上即．求出直线和BC的交点N的坐标，就的不同位置分类讨论后可得结果． 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上． 设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为． ①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故， 把A、N两点的坐标代入直线，求得．    ②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间， 由题意可得三角形NMB的面积等于， 故，即 ，可得，求得 ， 故有．    ③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得． 设直线和AC的交点为P， 则由求得点P的坐标为， 此时由题意可得，的面积等于，即， 即，化简可得． 由于此时，，． 两边开方可得，，化简可得 ， 故有．    综上的取值范围应是 ， 故选：A． 二、多选题 3．（25-26高三上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 4．（2025·全国·模拟预测）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 【答案】ABC 【分析】点到直线的距离公式判断A；几何法勾股定理判断B；根据二倍角余弦公式计算判断C；三角形面积公式计算判断D； 【详解】 对于A，点到直线的距离为，选项A正确； 对于B，线段，选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，的面积是，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题 5．（24-25高三上·广东·期中）设正三角形的三边分别经过点，，，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正弦定理表示出，再结合三角恒等变换及辅助角公式即可求解. 【详解】如图所示，设， ，，分别在正的边上， 设， 在中，由正弦定理得，可得 . 在中，由正弦定理得，可得 ，    由， 且， 可得，所以， 可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时达到最大值． 因此，正的面积， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理及三角恒等变换表示出. 6．（2025·广东东莞·模拟预测）已知直线l：与抛物线C：交于P、Q两点，O为坐标原点，则三角形OPQ的面积等于 ． 【答案】 【分析】利用方程思想，结合韦达定理，来求出弦长，再利用点到直线的距离公式计算，从而即可求面积. 【详解】    由直线与抛物线，联立方程组消元得： 即，设交点 则有， 由弦长公式可得：， 再由点到直线的距离公式得：， 所以三角形面积为：， 故答案为：12. 四、解答题 7．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，是直线在第一象限上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值. 【答案】， 【分析】设，则切点弦所在直线方程为，可得，由结合基本不等式可得. 【详解】 设，所以切点弦所在直线方程为． 所以，，． 又，， 当且仅当，即，时， 故面积的最小值为，此时直线方程为． 8．（25-26高三上·云南昭通·开学考试）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 题型八 直线方程的综合应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可设直线：，由题意分别求出，，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】由题意可设直线：，将点的坐标代入， 得，则，则. 不妨假设在轴上，则， 记为坐标原点，因为线段与的长度分别为，， 所以的面积， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 2．（24-25高三上·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 3．（24-25高三下·四川德阳·阶段练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【详解】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 所以， 解得. 故选：A. 二、多选题 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知空间向量，且，则实数 B．直线与直线之间的距离是. C．已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】A选项，由空间向量共线相关结论可判断选项正误；B选项，由两平行直线距离公式可判断选项正误；C选项，由题设出直线方程，表示出，即可利用基本不等式判断选项正误；D选项，由直线平移知识结合题意可判断选项正误. 【详解】A选项，由于.所以，所以A选项正确； B选项，直线，因此两平行直线的距离，故B错误； C选项，由题，直线l 斜率存在且不为0，设l： ， 令， .因直线与与轴正半轴交于点两点， 则，. 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4，故C正确： D选项，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD 5．（25-26高三上·重庆·期末）对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程表示两条相交直线，则 ． 【答案】 【分析】由表示两条直线，可知其判别式应为完全平方式，由此可解. 【详解】因为关于的方程表示两条相交直线， 可将x看作未知数，故 为完全平方式， 再将该式看作为关于y的二次三项式，则为完全平方式， 故，即得. 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 故答案为： 7．（24-25高三下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】/ 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】 由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得． 【详解】若动点到两直线和的距离之和为， 交点为的斜率分别为，则， 在的右侧时，过分别向引垂线， 垂足分别为，那么， 过作轴的平行线，与交点为如图， 则，所以， 其它位置同理，那么点轨迹为正方形， 当在时，取得最大值，即取得最大值8. 故答案为：8． 四、解答题 9．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线． (1)求方程表示的直线与轴围成的面积； (2)若方程表示的是两条直线，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得方程表示直线，然后可得直线交点及与y轴交点，即可得所围成面积； （2）由方程特点设，然后比较系数可得答案. 【详解】（1）表示的直线为和， 联立，得两直线交点为，两直线与轴交点分别为和 两直线与轴围成的三角形面积为 （2）若方程表示两条直线， 则该方程必能表示为两个二元一次方程的乘积，设， 则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $