专题10 对数函数（竞赛培优专项训练，12大考点+竞赛&强基模拟题）高一数学人教A版2019全国通用

专题10 对数函数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对数函数的概念 4 考点二 对数函数定义域问题的求解 4 考点三 对数函数的值域问题 5 考点四 对数型函数过定点问题 6 考点五 对数函数的图象及应用问题 6 考点六 对数函数的单调性问题 7 考点七 比较指数式与对数式的大小 8 考点八 解对数型不等式 8 考点九 对数型函数的奇偶性问题 9 考点十 对数函数性质的综合应用 9 考点十一 对数函数的实际应用 11 考点十二 与对数函数相关的新定义题 11 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题22道） 【归纳重点知识】 知识点1 对数函数的概念 1.函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2.两种特殊的对数函数特别说明： 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 知识点2 反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 知识点03 对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 知识点4 底数a对对数函数图象的影响　　 1.底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. 2.函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右． 知识点5 y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点6 对数及对数型函数解不等式 1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2.形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 知识点7 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一次函数 解析式 y＝ax y＝logax y＝kx 单调性 在是增函数 图象(随x的增大) 趋向于和x轴垂直 趋向于和x轴平行 呈直线上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y的增长速度不变 归纳总结 总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 【熟记重要结论（二级结论）】 1．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 2.对数函数相关结论 （1）对数函数 （ ,且 ）以 轴为渐近线； 恒过定点 ,仍以 轴为渐近线. （2）作对数函数 （ ，且 ）的图象应抓住三个点 ， , . 考点一 对数函数的概念 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 考点二 对数函数定义域问题的求解 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 考点三 对数函数的值域问题 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 考点四 对数型函数过定点问题 13．函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 15．函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 考点五 对数函数的图象及应用问题 16．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 17．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．函数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 20．设方程的两个根为，则（    ）． A． B． C． D． 考点六 对数函数的单调性问题 21．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 22．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 23． ”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 24．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 25．若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七 比较指数式与对数式的大小 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 28．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．若，，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 31．已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 32．若且，则下列不等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 33．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 考点八 解对数型不等式 34．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．若，则的取值范围是 . 36．已知函数且满足则实数a的取值范围为 ． 37．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ． 38．已知函数，若，则的取值范围是 ． 考点九 对数型函数的奇偶性问题 39．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 40．若函数是偶函数，则（    ） A． B．e C． D． 41．函数的奇偶性是 . 考点十 对数函数性质的综合应用 42．(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象不过定点 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为0 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 43．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的值域是 C．若方程有5个解，则的取值范围为 D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为 44.（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 45．已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 46．已知函数与的图象关于直线对称． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； (3)已知实数满足，，求的值． 47．已知函数的图象恒过定点，其中且． (1)求实数的值，并研究函数的奇偶性； (2)函数，关于x的方程恰有唯一解，求实数的范围． 48．已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 考点十一 对数函数的实际应用 49．为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④ (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由； (2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据：，结果保留2位小数） 50．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 考点十二 与对数函数相关的新定义题 51.（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 52．已知，定义函数表示不小于x的最小整数．例如：． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； (3)设，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 53．定义:已知函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得 ，则称函数为 “性质函数”. (1)判断函数是否为“性质函数”？说明理由； (2)若函数为“ 2性质函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数与的图象有公共点，求证:为“1 性质函数”. 54．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 1．（2024·高三数学极光杯竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．(2024·山东滨州竞赛)对于集合，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若，则为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东跨地市多校调考）已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（    ） A． B． C．， D．， 7．（2024·安徽阜阳竞赛）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(2024·山东滨州竞赛)已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2024·山东高密竞赛）下列比较大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）(2024·清华大学强基计划)，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）(2024·湖南邵阳竞赛)已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 12．(2024·贵州贵阳“圆周率”杯竞赛)设集合，，则 . 13．（2023·海南海南中学衍林杯学科竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 14．（2022·浙江温州摇篮杯高一数学竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.） 15．(2024·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)设函数的反函数为，则不等式的解集为 . 16．（2024·安徽阜阳竞赛）已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是 . 17．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值 . 18．(2024·全国高中数学联赛吉林赛区)函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 19．(2024·全国高中数学联赛广西赛区)函设函数．若且，则的取值范围是 ． 20．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 21．(2024·湖南邵阳数学竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 22．(2024·湖南邵阳数学衍林杯竞赛）对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的．否则称与在上是非接近的．现有两个函数与（，），给定区间． (1)若与在给定区间上都有意义，求实数a的取值范围； (2)讨论与在给定区间上是否是接近的． 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 对数函数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对数函数的概念 4 考点二 对数函数定义域问题的求解 5 考点三 对数函数的值域问题 6 考点四 对数型函数过定点问题 8 考点五 对数函数的图象及应用问题 9 考点六 对数函数的单调性问题 12 考点七 比较指数式与对数式的大小 13 考点八 解对数型不等式 16 考点九 对数型函数的奇偶性问题 18 考点十 对数函数性质的综合应用 19 考点十一 对数函数的实际应用 26 考点十二 与对数函数相关的新定义题 28 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题22道） 【归纳重点知识】 知识点01 对数函数的概念 1.函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2.两种特殊的对数函数特别说明： 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 知识点02 反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 知识点03 对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 知识点04 底数a对对数函数图象的影响　　 1.底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. 2.函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右． 知识点05 y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点06 对数及对数型函数解不等式 1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2.形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 知识点07 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一次函数 解析式 y＝ax y＝logax y＝kx 单调性 在是增函数 图象(随x的增大) 趋向于和x轴垂直 趋向于和x轴平行 呈直线上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y的增长速度不变 归纳总结 总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 【熟记重要结论（二级结论）】 1．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 2.对数函数相关结论 （1）对数函数 （ ,且 ）以 轴为渐近线； 恒过定点 ,仍以 轴为渐近线. （2）作对数函数 （ ，且 ）的图象应抓住三个点 ， , . 考点一 对数函数的概念 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D. 2．若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 3．（多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【解析】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意；故选：AC. 考点二 对数函数定义域问题的求解 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 5．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 由，得，解得，则， 所以. 故选：C. 6．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，且，解得， 所以函数的定义域为， 所以函数需满足，解得. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由函数的定义域为， 知 ，所以，这意味着函数 的定义域为 ； 现在考虑函数 定义域，其自变量需同时满足以下条件： ，解得：. 考点三 对数函数的值域问题 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 9．已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立； 时，，解得，所以. 对于命题在上恒成立.时显然成立； 时，，解得，所以. 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 10．已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 11．已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以， 即函数的值域为，所以， 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以． 故选：A． 12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，，求函数的值域. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵是定义在上的奇函数，∴. ∵时，， ∴当时，， ∴. （2）由题意得，. 令，问题等价于求，的值域 ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵，，， ∴，， ∴函数的值域为. 考点四 对数型函数过定点问题 13．函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于（且）， 则函数（且）恒过定点．故选：D． 14．已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【解析】函数的图象恒过定点， 又点在的图象上， ，即， 故选：D. 15．函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 所以.故选：B. 考点五 对数函数的图象及应用问题 16．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【解析】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1， 函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的， 因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故选：D． 17．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以， 令，即， 所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以， 因此，故A错误； ，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以，故C正确； 因为，所以，即，故D错误，故选：C. 18．函数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的定义域为或，故排除AB， 又,则， ,故排除C.故选：D. 19．已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 20．设方程的两个根为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等价于，作出函数与的图象，如图．    结合图象易知这两个函数的图象有两个交点， 交点的横坐标即为方程的两个根，可知，． 根据在上是减函数，可得，所以． 又，，所以，即， 则，所以． 而，所以． 故选：D． 考点六 对数函数的单调性问题 21．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间.故选：B. 22．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为．故选：A． 23． ”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 24．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 25．若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，由可得， 所以，函数在上为减函数， 函数在上为减函数，则，解得； 函数在上为减函数，则； 且有，即， 所以有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 考点七 比较指数式与对数式的大小 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即. ,即. 综上知道.故选：D. 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二次函数性质可得当时，， 由指数函数性质可得， 由对数函数性质可得， 因此可得.故选：C 28．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递减知道，； 根据指数函数单调递增知道，； 故.故选：A. 29．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数在上单调递增可得，，即； 由指数函数为减函数可得，，因此； 即可知.故选：A 30．已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 则，故， 又，，故， ，． 故选：D. 31．已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图象关于直线对称，且在上单调递减． 而， 所以， 故选：D. 32．若且，则下列不等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取，，则，，， 故. 故选：C． 33．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 考点八 解对数型不等式 34．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为，故选：B. 35．若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 可得且，可得且，可知， 且，可得，解得或（舍去）， 若，则，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 所以的取值范围是. 36．已知函数且满足则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数有意义，由，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 函数和都是上的增函数，所以为上的增函数， 由，得， 则有，解得， 同时有，解得， 综上，实数a的取值范围为. 37．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即， ，， 当时，单调递减， 当时，根据偶函数的对称性，单调递增， ， 或， 或，即或， 不等式的解集为：或． 38．已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 考点九 对数型函数的奇偶性问题 39．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，的定义域是， A选项，设， ，解得，所以的定义域是， ，所以是奇函数，A选项正确. B选项，，B选项错误. CD选项，的定义域是， 所以，，所以和的定义域为， 不关于原点对称，CD选项错误.故选：A 40．若函数是偶函数，则（    ） A． B．e C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以，所以， 可得， 可得对均成立， 所以.故选：A. 41．函数的奇偶性是 . 【答案】奇函数 【解析】由函数，可得， 解得， 所以，所以， ， 所以函数是奇函数， 故答案为:奇函数. 考点十 对数函数性质的综合应用 42．(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象不过定点 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为0 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】CD 【解析】对于A，对任意都有，所以的图象过定点，错误； 对于B，时，在上单调递增，错误； 对于C，由上知在上单调递减，在上单调递增，在区间上的最小值为，正确； 对于D，对任意，恒成立，则，解得，正确． 故选：CD. 43．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的值域是 C．若方程有5个解，则的取值范围为 D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】， 画出的图象，如下： A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误； B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确； C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点， 故，所以的取值范围为，C正确； D选项，若函数有3个不同的零点，则， 令，解得：， 又，因为在上单调递增， 解得：，即， ， 故的取值范围为. 故选：BCD 44.（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 45．已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由题知，的定义域为R，且为偶函数， ∴，即， 整理得恒成立，可得； （2）由（1）可知，， 方程可化为， ∴，则，整理得， 令，则，不等式可化为，解得（舍）或， ∴，可得，故方程的根为； （3）在上有零点， ∴在上有解， 设，，则， ∴在上单调递减，， ∴. 46．已知函数与的图象关于直线对称． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； (3)已知实数满足，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由函数与的图象关于直线对称，得， 则，函数的定义域为R， 由函数是偶函数，得，即， 整理得，而不恒为0，因此 所以实数的值为. （2）由（1）及，得， 即，依题意，关于的方程有实数解， 即关于的方程有实数解， 当时，方程为，解得，符合题意，因此； 当时，，解得，且， 所以实数的取值范围为 （3）由，得，即，则，而， 因此，，令，，显然， 任意，则，，，于是， 因此，即函数在上单调递增， 而，即，于是，即， 所以. 47．已知函数的图象恒过定点，其中且． (1)求实数的值，并研究函数的奇偶性； (2)函数，关于x的方程恰有唯一解，求实数的范围． 【答案】(1)，函数为奇函数； (2)或. 【解析】（1）因为函数的图象恒过定点， 所以，则，得， 所以， 所以， 由，得，即的定义域为，关于原点对称， 令， 因为， 所以为奇函数，即函数为奇函数； （2）由，得， 所以， 由，得，解得， 由，得， 整理得， 得，解得或， 因为关于x的方程恰有唯一解， 所以或， 解得或， 综上，或. 48．已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由题意可得：，得， 定义域为． 当时，， ，， 值域为． （2） 又因为，所以可得 要证明：即证明在上有解 存在，使得成立 ，即为， 不等式在上有解， 设，因此在上有解， 所以，解得， 在上有解 即可证明： （3）与关于轴对称 由题意可知，矩形关于轴对称，所以，． 所以设点坐标（） 因为矩形且轴，轴 点坐标 又矩形关于轴对称 点横坐标为，同理可得点坐标 ，且该矩形的中心为点 所以可得：，消去 得： 所以，展开可得： 因式分解可得： 所以． 考点十一 对数函数的实际应用 49．为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④ (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由； (2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据：，结果保留2位小数） 【答案】(1)，答案见解析 (2)0.68小时 【解析】（1）因为随着时间的增加，的值先增后减，由图可知第一段线段为增函数，第二段曲线为减函数，故选①和③. 又线段经过点，则，解得，故图中第一段线段的方程为， 又因为点在曲线上，所以，解得        故从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 （2）因为药物开始释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.2毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完后，室内药量减少到0.2毫克以下时，学生方可进入教室， 故，即，两边取以10为底的对数得， 即得，解得. 所以从药物释放开始，至少需要经过0.68小时，学生才能回到教室. 50．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【解析】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 考点十二 与对数函数相关的新定义题 51.（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，不等式的解集是 C．当时， D．当时，若，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】根据题意，即为满足的整数的个数． 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A错误； 当时，，数形结合（如图）， 由，可得，解得， 所以在内有个整数解，为、、，故B对和C错； 当时，作出函数和的图象，如图所示， 若，即的整数解只有一个， 只需满足，即，解得， 所以时，实数的取值范围是，故D正确； 故选：BD． 52．已知，定义函数表示不小于x的最小整数．例如：． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； (3)设，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由函数表示不小于x的最小整数， ，得 所以实数x的取值范围为 （2）函数定义域为， 而函数在上单调递增，值域为， 因此，所以， 所以函数的值域为；显然， 由，得，所以， 而时，不等式不成立，则，必有，所以， 所以，解得， 所以实数x的取值范围． （3）当时，， 函数在上单调递减，在是单调递增， 因此函数在上单调递增，在是单调递减， 所以，而， 所以在上的值域为， 依题意，，即， 当时，， 显然当时，，则， 当时，，而恒成立，则， 所以实数a的取值范围． 53．定义:已知函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得 ，则称函数为 “性质函数”. (1)判断函数是否为“性质函数”？说明理由； (2)若函数为“ 2性质函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数与的图象有公共点，求证:为“1 性质函数”. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）假设存在且满足条件：， 则，即：， ，方程无实根，与假设矛盾， 不是“性质函数”； （2）且，， 由题意得：存在，使得， ，即：， 整理得：， 当时，，满足题意， 当时，由得：，即， 解得：且， 综上所述：. （3）由条件存在使 ， ， ， 令 ，则， ， ， 为“1性质函数” 54．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)0和1； (2)； (3). 【解析】（1）当时，方程可化为，解得或； 所以，函数的不动点为0和1． （2）方程，即，可化为． 令，则当时，关于单调递增，且． 由题意，关于的方程在上有两个不等实根． 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以，． 综上，实数的取值范围为． （3）不等式可化为． 易知，函数在上最大值为，最小值为； 由题意，，，即． 上述不等式可化为． 令，则当时，． 由题意，，不等式恒成立． 函数在上单调递增，最大值为； 函数在上单调递减，最小值为． 所以，，即． 综上，实数a的取值范围为． 1．（2024·高三数学极光杯竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先三个对数和0比较大小，再让和比较大小，即可求解. 【解析】，， ， 所以，则. 故选：A 2．（2024·广东汕头竞赛）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ， 所以，则. 故选：A 3．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得或，则， ，所以. 故选：A. 4．(2024·山东滨州竞赛)对于集合，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，故. 故选：B. 5．（2024·山东跨地市多校调考）已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为在区间上的任意两个不相等的实数，总有， 所以函数在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数， 所以函数在上是增函数， 不等式，即， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】B 【解析】对于B：，定义域为， 根据题意，，当时，都有， 化简得，即， 设，即，得在其定义域上为单调递减函数，此时在上是单调递减函数，故B项符合； 对于C：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故C项不符合； 对于D：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故D项不符合； 对于A： 当且时，恒成立，不符合“共建”函数定义，即A项不符合； 故选：B. 7．（2024·安徽阜阳竞赛）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得， 令的根为、且，，， 若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去； 若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以； 故选：A 8．(2024·山东滨州竞赛)已知，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 可得， 则， ， 故， 又， 所以，两边取以10为底的对数， ， 综上可知，， 故选:B. 9．（多选）（2024·山东高密竞赛）下列比较大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对A，由幂函数在上为增函数，得. 又指数函数为减函数，则，从而.A正确； 对B，， 又对数函数在单调递增，则， 结合反比例函数在单调递减，则，即，B错误； 对C，对数函数与在都是单调递增， 则，则， 指数函数为增函数，则， 故，C正确； 对D，，故D错误; 故选：AC 10．（多选）(2024·清华大学强基计划)，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于D，构造，易得在上递增， 而，， 所以有唯一的正根，且该根位于区间， 因为，所以， 则，故，. 所以，故D正确； 对于C，而，，故，而， 所以有，故C正确； 对于AB，由，知. 从而，故A正确，B错误. 故选：ACD. 11．（多选）(2024·湖南邵阳竞赛)已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【解析】A选项：因为的定义域为，所以恒成立，则，解得：，故正确； B选项：因为的值域为，所以，所以， 解得，故正确； C选项：因为函数在区间上为增函数，由复合函数的单调性可知： 在区间上为增函数，且在该区间上恒成立， 当符合题意； 当，则，解得；所以，故错误； D选项：当时，，由，可得，解得：，故错误；故选：AB. 12．(2024·贵州贵阳“圆周率”杯竞赛)设集合，，则 . 【答案】 【解析】因为， ， 所以. 13．（2023·海南海南中学衍林杯学科竞赛）已知，分别是方程和的根，则 . 【答案】 【解析】方程的根是对数函数与直线的交点的横坐标， 方程的根是指数函数与直线的交点的横坐标， 对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 联立，可得，所以. 14．（2022·浙江温州摇篮杯高一数学竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.） 【答案】16 【解析】设至少要通过块这样的玻璃，则， 即， 故要使光线强度减弱为原来的，至少要通过块这样的玻璃. 15．(2024·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)设函数的反函数为，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由，为上的奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减，所以为上单调递增函数， 又的值域为，所以也为上单调递增的奇函数， 因为，故. 16．（2024·安徽阜阳竞赛）已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，不妨设，则有， 从而，即， 所以是R上的减函数， 首先有，此时函数关于单调递减， 由复合函数单调性可知关于单调递增， 所以，又时，有意义，即恒成立， 而当时，单调递减， 故还需满足， 所以当且仅当实数满足，符合题意， 即，解得． 17．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】函数的定义域为，当，即时，的图象必过第四象限，矛盾， 因此，由函数的图象不经过第二、四象限，得点只能在原点， 则，即，当时，若，则有，的图象必过第四象限，矛盾， 当时，若，则，此时的图象在第三象限， 若，则，此时的图象在第一象限， 所以且，满足条件的一组的值可以为. 18．(2024·全国高中数学联赛吉林赛区)函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 . 【解析】当时， ， 设 ，则在上是减函数，所以 . 故 . 当 时， ， 设 ，则 在 上均为减函数， 所以 ， 所以 ，此不等式组无解. 综上，实数 的取值范围是 . 19．(2024·全国高中数学联赛广西赛区)函设函数．若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 20．（2025·重庆高中数学联赛初赛）已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 【答案】 【解析】设，即方程有三个不同的实根， 由于在单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，， 结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当且仅当，且，， 再考虑方程和，注意，或或， 故， 由于，且为关于的增函数，所以. 21．(2024·湖南邵阳数学竞赛）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到. (1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； (2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由） ②求该养生壶保温的临界值. 【答案】(1)； (2)①1次；②. 【解析】（1）当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上，. （2）①1次，理由如下：由题意， 从降至，则，可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 综上，只加热过一次. ②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟. 所以在时，水温正好被加热到. 从降至，则，可得， 从加热至，则，可得， 所以在上递减，且，即. 22．(2024·湖南邵阳数学衍林杯竞赛）对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的．否则称与在上是非接近的．现有两个函数与（，），给定区间． (1)若与在给定区间上都有意义，求实数a的取值范围； (2)讨论与在给定区间上是否是接近的． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由一次函数性质得函数在给定区间上单调递增， 当时，，则， 欲使，则即可，故， 得到，解得， 故实数a的取值范围为． （2）构造函数， 对于函数， 由二次函数性质得上单调递减，在上单调递增， 且由对数函数性质得在其定义域内一定是减函数． 由于，得，所以原函数在区间内单调递减， 若与在给定区间上是接近的， 只需保证， 可得，解得， 综上所述，当时，与在区间上是接近的， 当时，与在区间上是非接近的． 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $