专题12 椭圆重点题型全归纳（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题12 椭圆重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、椭圆的轨迹方程 1 类型二、椭圆中的焦点三角形 2 类型三、椭圆中的距离最值问题 3 类型四、求椭圆的离心率 4 类型五、求椭圆离心率的范围 5 类型六、椭圆的标准方程 6 压轴专练 8 类型一、椭圆的轨迹方程 1、椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对椭圆定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 1．（24-25高二上·重庆·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知的周长为24，且顶点，则顶点的轨迹方程是 . 6．（25-26高二上·河北保定·月考）设向量，满足.求动点的轨迹的方程 . 7．（2025高二·全国·专题练习）已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 类型二、椭圆中的焦点三角形 焦点三角形的求解思路 （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 1．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．7 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 3．（23-24高二下·天津·月考）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（25-26高二上·湖南永州·月考）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长 ． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为 ． 6．（25-26高二上·江苏·月考）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 类型三、椭圆中的距离最值问题 解决椭圆问题的最常见思路 （1）与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； （2）与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 3．椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型四、求椭圆的离心率 求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广西梧州·月考）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 7．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为 . 类型五、求椭圆离心率的范围 求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西赣州·月考）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ． 5．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 6．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 类型六、椭圆的标准方程 椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 5．（24-25高二上·吉林·月考）椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 6．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的标准方程为 ． 7．（25-26高二上·湖南常德·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 1．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 5．（24-25高二上·四川成都·期中）已知曲线，点A为曲线C上任意一点，过点A作轴的垂线，垂足为点N，点P为AN上一点，且满足，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东烟台·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 10．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·湖南·月考）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 15．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 16．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·湖南常德·月考）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 23．（2025高二·全国·专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 24．（2025高二·全国·专题练习）设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 25．已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 26．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （a>）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 . 27．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 椭圆重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、椭圆的轨迹方程 1 类型二、椭圆中的焦点三角形 5 类型三、椭圆中的距离最值问题 9 类型四、求椭圆的离心率 12 类型五、求椭圆离心率的范围 16 类型六、椭圆的标准方程 20 压轴专练 25 类型一、椭圆的轨迹方程 1、椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对椭圆定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 1．（24-25高二上·重庆·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】由两点间距离公式知： 的几何意义是点到与的距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 故选：B. 2．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 4．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴   点轨迹方程为. 故选：C. 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知的周长为24，且顶点，则顶点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】由题意可得动点到两定点的距离之和大于两定点，结合椭圆的定义与标准方程，可得答案. 【详解】由题意可得，且， 易知顶点的轨迹为去掉与轴上的交点的椭圆，可得其方程为， 可得，，则，所以轨迹方程为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·河北保定·月考）设向量，满足.求动点的轨迹的方程 . 【答案】 【分析】根据向量模长的坐标表示及已知有，结合其几何意义和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】由题设， 所以其几何意义是动点到点的距离之和为4，又， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以对应椭圆参数为，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 7．（2025高二·全国·专题练习）已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】本题根据中垂线的性质可得点的轨迹是椭圆 【详解】连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 而， 故点的轨迹是焦点为，的椭圆， 且，即，则， 因此，点的轨迹方程为． 类型二、椭圆中的焦点三角形 焦点三角形的求解思路 （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 1．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知 ，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 故选：C.    2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 3．（23-24高二下·天津·月考）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合椭圆定义推导出△是直角三角形，再求面积即可. 【详解】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ， 可设，， 由题意可知，， ，，， △是直角三角形， 其面积． 故选：B． 4．（25-26高二上·湖南永州·月考）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长 ． 【答案】 【分析】由椭圆定义计算即可得. 【详解】由椭圆可得， 则的周长. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：.    6．（25-26高二上·江苏·月考）已知P是椭圆 上的一点，，是椭圆的两个焦点，且 则 的面积是 【答案】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积 【详解】在椭圆中，， 由椭圆的定义可得，， 在中，，由余弦定理， 得 ， 解得，因此. 故答案为：. 类型三、椭圆中的距离最值问题 解决椭圆问题的最常见思路 （1）与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； （2）与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 3．椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 类型四、求椭圆的离心率 求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 2．已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，后由题及余弦定理可得，即可得答案. 【详解】设,则，因，由余弦定理： ， 则，，则. 故选：D 3．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【详解】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C 4．（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设，根据椭圆的对称性和定义可得，，在直角与中，分别利用勾股定理建立方程，解之即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得. 故选：C 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D 6．（24-25高二下·广西梧州·月考）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆，圆和正方形的几何性质，设出点的坐标，带入求出椭圆参数的关系，求出离心率. 【详解】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限，则，代入椭圆：，得， 即，解得. 故答案为：. 7．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用的横坐标计算出，进而可得，，进而求解离心率. 【详解】将代入椭圆方程得， 整理得，解得， 因此，点和的坐标分别为和， ，， 则， 因此. 故答案为： 类型五、求椭圆离心率的范围 求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合离心率公式即可求得范围. 【详解】由题可知，所以． 又因为，所以，， 所以C的离心率的取值范围是， 故选：D． 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 3．（25-26高二上·江西赣州·月考）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义可得，由余弦定理可得，即可联立求解，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，即， 由，结合余弦定理可得 ，即可， 故， 可得， 由，可得,进而，则，解得. 故选：B 4．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，得四边形为平行四边形，利用椭圆定义求出，，再根据点到直线的距离不小于，求出，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，，如图， 由椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，则，又， 所以四边形为平行四边形， 则，又，解得， 由点到直线的距离，解得，即， 所以，故． 故答案为：. 5．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先设出点，借助向量数量积求得的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求出即得. 【详解】设点，而，则， 由，得，即， 因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， 由椭圆的几何性质知，即，亦即， 整理得，即，所以椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，因为， 所以，即，解得． ∴该椭圆的离心率的取值范围是． 故答案为：． 类型六、椭圆的标准方程 椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可. 【详解】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 5．（24-25高二上·吉林·月考）椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，根据题意，先求得，再由椭圆的定义，求得，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】分析可得不在椭圆上，在椭圆上，设椭圆方程为，将代入椭圆可得，求出椭圆方程. 【详解】因椭圆为标准方程，其图像关于坐标轴对称， 点与点关于轴对称，又恰有三点在椭圆上， 可知两点必在椭圆上， 若点也在椭圆上，设椭圆方程为， 则将坐标代入椭圆标准方程可得，此方程组无解，故点不在椭圆上， 因此，在椭圆上的三点为 设椭圆方程为，将代入椭圆可得， ，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 7．（25-26高二上·湖南常德·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，将代入到方程，结合求出即可； （2）设方程为将两个点的坐标代入求出的值即可； （3）设所求椭圆方程，将代入求得的值即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入方程中得， 又，， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为. 1．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题可知：，所以. 如图：. 所以的周长为. 故选：B. 5．（24-25高二上·四川成都·期中）已知曲线，点A为曲线C上任意一点，过点A作轴的垂线，垂足为点N，点P为AN上一点，且满足，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，结合题意易得，再将将代入曲线即可求解. 【详解】设，，则， 由，得，则， 又A为曲线C上任意一点，则将代入， 得，即，即. 故选：C. 6．（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 7．（24-25高二上·北京·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 8．（24-25高二上·山东烟台·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】因为是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为，所以周长是， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 9．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 10．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 11．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可得，进而根据同角关系可得，由等面积法，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由椭圆可得，，，所以，， 所以，故. 在中，， 因为，且，所以， 设P的坐标为，且， 所以，所以点P到y轴的距离为. 故选：C.    12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解． 【详解】由椭圆的对称性可得， 因为为直角三角形 则， 则不妨设， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率． 故选：B. 13．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，根据点总在椭圆内部，可得，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围． 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，， 因为，所以点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆． 又点总在椭圆内部， 所以该圆内含于椭圆，即，所以，则． ，，即椭圆离心率的取值范围是． 故选：C． 14．（24-25高二下·湖南·月考）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设条件易得，结合图形将的周长转化为的周长，从而求得的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为. 故选：D． 15．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 16．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 17．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【详解】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 19．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率. 【详解】 因为，又因为，所以， 因为，则，， 在中，， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D. 20．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解. 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得， 则，故， 则在中，由， 得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 21．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果. 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 22．（25-26高二上·湖南常德·月考）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 23．（2025高二·全国·专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 24．（2025高二·全国·专题练习）设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】 设左焦点为，则由椭圆的定义知，， 因为，所以， 则，可得，此时满足点在椭圆内，所以． 故答案为：. 25．已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 【答案】 【分析】在焦点三角形中，先利用椭圆的定义、与内切圆半径有关的三角形的面积公式，求出的面积，然后借助余弦定理和三角形的面积公式建立关于和的方程组，求得的值，从而可求得的值． 【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得， 所以的面积． 设，则， 在中，由余弦定理得， 得， 即． 由，解得， 所以， 所以． 故答案为： 26．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （a>）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理和离心率公式计算即可. 【详解】如图， 由题意可得，因为， 所以，， 因为为椭圆的上顶点，所以，则， 在中，， 在中，， 即，所以. 故答案为：. 27．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由、及椭圆定义，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面积为，可求得，进而求出椭圆方程. 【详解】设，则， 所以，又， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：．        1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $