专题01 一元一次方程的解法（7大题型）（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 一元一次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等式的基本性质 1 题型二、解一元一次方程--移项或去括号 3 题型三、解一元一次方程--去分母（整数） 5 题型四、解一元一次方程--去分母（小数） 8 题型五、一元一次方程的错解复原问题 10 题型六、利用一元一次方程同解问题求解 14 题型七、一元一次方程整数解问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等式的基本性质 1．运用等式的性质进行变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、如果，那么，故选项说法错误，不符合题意； B、如果，那么，选项说法正确，符合题意； C、在等式的两边同时除以，必须限定，所以选项说法错误，不符合题意； D、如果，那么或，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列变式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、若，则，原选项不符合题意； 、若，则，原选项符合题意； 、若，时，则，原选项不符合题意； 、若，则，原选项不符合题意； 故选：． 3．设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故该选项错误，不合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不合题意． 故选：B 4．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，且时，则，故符合题意； B、若，则，不符合题意； C、若，则，不符合题意； D、若，则，不符合题意； 故选：A． 题型二、解一元一次方程--移项或去括号 5．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为解方程即可； （）按照移项，合并同类项，系数化为解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)去括号，移项，合并同类项，系数化为即可解题；(2)去括号，移项，合并同类项，系数化为即可解题． 【详解】（1）去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． （2）去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 7．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）（2）（3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 题型三、解一元一次方程--去分母（整数） 9．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键； 根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求得x的值. 【详解】 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 10．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：去分母，得。 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 11．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确的运算是解题的关键； （1）（2）（3）（4）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为即可求解； 【详解】（1）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； （2）解：去分母，， 移项，， 系数化，； （3）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，； （4）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，． 12．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 题型四、解一元一次方程--去分母（小数） 13．解方程： 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，涉及分数和小数的转化、去括号、移项、合并同类项以及系数化为等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和相关运算法则是解题的关键． 先将方程中的分数和小数通过分子分母同时扩大一定倍数的方式化为整数，然后去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为来求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 14．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）先将方程中的小数都化为整数，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：可化为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．解下列方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项、合并同类项，未知数的系数化为，即可得到答案； （2）整理方程得到，再去分母，去括号，移项、合并同类项，未知数的系数化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解： 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：整理可得：， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 题型五、一元一次方程的错解复原问题 17．原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） (1)该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；去括号时，未乘 (2)见解析 【分析】（1）根据去括号的法则判断即得答案； （2）根据去括号的法则、移项的法则、合并同类项的法则，即得答案； 【详解】（1）， ， 故答案为：一；去括号时，未乘． （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，去括号，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 18．如图所示的是海海同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应的问题． 解方程：． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 (1)①以上步骤中，第________步是移项，移项的依据是________； ②该同学的解答过程从第________步开始出错，错误的原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①三；等式的基本性质一；②一；去分母后未加括号； (2)见解析， 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）①根据移项的定义及等式的性质即可求得答案；②根据解题步骤即可求得答案； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得步骤解方程即可． 【详解】（1）解：①三  等式的基本性质1 ②一  去分母后未加括号 （2）（2）原方程去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 两边同除以，得：． 19．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 题型六、利用一元一次方程同解问题求解 21．关于的一元一次方程与一元一次方程有相同的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键．先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 【详解】解：解方程， 解得， ∵方程与关于x的方程有相同的解， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 22．若关于的方程与有相同的解，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了同解方程，解一元一次方程等知识点，先得出方程的解，然后将的值代入另一个方程即可得出的值，熟练掌握方程组有公共解的含义是解决此题的关键． 【详解】解：解方程， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得：， 把代入方程， 得， ， 解得：， 故答案为：． 23．已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 24．若方程与关于方程的有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到该方程的解为，再根据题意把代入到方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； ∵方程与关于方程的有相同的解， ∴是关于方程的的解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型七、一元一次方程整数解问题 25．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 26．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是正整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：对于方程，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 由题意可知方程有解，因此， 则可得， 因为原方程的解是正整数，a为整数，所以，， 解得：或0， 它们的和是：． 故答案为：1． 27．已知关于的方程的解为负整数，则整数 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，先求出方程的解为，再结合方程的解为负整数和为整数得出或或，求出的值，即可得出答案，能求出方程的解是是解此题的关键． 【详解】解：解关于的方程得， 关于的方程的解为负整数，为整数， 或或， 或或， 故答案为：或或 ． 28．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，根据题意，关于的方程的解是正整数，等式两边同时乘以，然后移项，合并同类项，化简得，解出，根据该方程的解为正整数，求出的值，即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵该方程有解， ∴， ∴， ∵该方程的解为正整数， ∴或， ∴，， 解得：，， 符合条件的所有整数的积为：． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即，故该选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意； D．∵， ∴，即，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入到方程中 得： 解得： 故选：． 3．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程．将等式两边同时乘以4化简即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以4得，． 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．根据去分母、去括号、移项以及合并同类项法则逐项变形即可． 【详解】解：A、由，得，原变形错误，不符合题意； B、由，去分母得，去括号移项得，原变形错误，不符合题意； C、由，得，原变形错误，不符合题意； D、由，得，原变形正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&amp;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·假期作业）等式变形为的依据是等式的性质 ，它是将等式的两边 ． 【答案】 同时乘 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式变形为的依据是等式的性质，它是将等式的两边同时乘， 故答案为：，同时乘． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·全国·期末）关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 先解出两个方程的解，再根据两个方程的解相同进行求解即可． 【详解】解： 解得， 解得， ∵两个方程的解相同， ∴ 解得． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，，，，，填入如图所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数运算和等式的性质，代数式求值；先求出所有数总和，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和中间正方形四个顶点上的数字之和，求出代数式的值． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为， ∵四个三角形的三个顶点上的数字之和减去中间正方形四个顶点上的数字之和等于 8 个数的和． 即， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握其解法是解题的关键． （1）去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： （2）解： . 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题包含三个一元一次方程的求解，需根据每个方程的形式，运用解一元一次方程的一般步骤（去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为等）来解题． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得．移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． （3）解：将分母化为整数，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． 14．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和解分式方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法． （1）先去括号，移项，合并同类项，系数化为1． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1． （3）先去括号，再去分母，移项，合并同类项，系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （3）解：去括号得，，即， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）分母先化为整数，然后根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 16．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． 【答案】(1)三，移项时没有变号 (2)解答过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据移项，从方程的一边移到另一边时，要改变符号； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 17．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读理解：对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定．例如：．根据规定，解答下列问题： (1)计算：的值； (2)试比较与的大小． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列式计算，再比较大小即可； （3）根据新定义列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， 解得． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2) (3) 【分析】（1）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）根据“美好方程”的定义求出的值，再求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 解方程，得． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）解：解关于的方程，得． 解方程，得． ∵关于的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得． 解关于的方程，得． ∵方程与关于的方程互为“美好方程”， ， 解得． 将代入， 得， 解得． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元一次方程的解法 月录 A题型建模·专项突破 题型一、等式的基本性质.】 题型二、解一元一次方程-移项或去括号 3 题型三、解一元一次方程-去分母（整数）… 5 题型四、解一元一次方程-去分母（小数） .8 题型五、一元一次方程的错解复原问题 .10 题型六、利用一元一次方程同解问题求解 14 题型七、一元一次方程整数解问题… B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、等式的基本性质 1.运用等式的性质进行变形正确的是() A.如果a=b,那么a-c=b+c B.如果9-b,那么a=b cc a b C.如果a=b,那么二= cc D.如果a2=3a,那么a=3 2.下列变式正确的是() A.若x2=y2,则x=y B.若x=y,则x2=y2 C.若x=y,则x=卫 a-1a-1 D.若号=6，别x=-2 3.设x,y,c是实数，正确的是() A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xC=yc C.若x=y,则=上 D.若=上，则2x=3y 2c2c 4.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是() A若=：则品名 B.若a=b,则ac=bc C.若ax2+1=b(xr2+1,则a=b D.若x=y,则x-3=y-3 题型二、解一元一次方程-移项或去括号 5.解下列方程 (1)2(x+3)-5=3(x-1); 1/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)-7x+2=2x-4. 6.解下列方程： (1)1-3(x-2)=4. (2)-4x-21-x=7+5x. 7.解方程： (1)12-4x+4=-x+7 (2)42y+3=8(1-y)-5(y-2). 8.解下列方程： (1)2(4x-3-52x-1=7. 21-合+0-1-2 3)10x-43-x-52+7x)=15x-9(x-2. 题型三、解一元一次方程-去分母（整数) 9.解方程：x+2_4x-53-x 4205 10.解下列方程： 02x-1=1--2 3 2 @x+4=4+子 3 2 2-2 3 11.解下列方程： @215: 时g2-2 @2 3 12.解下列方程： 02 2 g261 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四、解一元一次方程-去分母（小数） 13.解方程： 0.3x ,1 2+4 0.04x-0.15 0.2 14.解下列方程 0=分 2 203x-05_0.12-005x=x 0.2 0.03 15.解下列方程 0x-15=x+2-1 36 @07017-02· 0.03 16.解方程： 40x+2x-3引-6-x-7 3 6 a72.1 题型五、一元一次方程的错解复原问题 17.原创题下面是小宇同学解方程5(x-1)-2x=4(x+3)-3的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题 解：去括号，得5x-5-2x=4x+3-3,(第一步) 移项，得5x-2x-4x=3-3+5,(第二步) 合并同类项，得-x=5,（第三步) 两边同除以-1，得x=-5.(第四步) (1)该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 (2)写出正确的解答过程 18.如图所示的是海海同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应的问题. 解方程：5x+2-1. 2 4 解：2(x-1-5x+2=4,第一步 2x-2-5x+2=4,第二步 2x-5x=4+2-2,第三步 -3x=4,第四步 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 s、4 第五步 ()①以上步骤中，第 步是移项，移项的依据是 ②该同学的解答过程从第 步开始出错，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程. 19.本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：2x03_x+04-1 0.50.3 解：原方程可化为20x-3_10r+4=1…第一步， 53 方程两边同时乘15，得3(20x-3-510x+4=15…第二步， 去括号，得60x-9-50x+20=15第三步， 移项，得60x-50x=15+9-20..第四步， 合并同类项，得10x=4…第五步， 系数化为1，得x=0.4...第六步 上述小明的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 请你写出正确的解题过程。 20.下面是小敏解方程牛3_5-3=1的过程，请认真阅读，并完成相应的任务。 26 解：去分母，得3x+3-(5x-3)=1.第一步 去括号，得3x+9-5x+3=1.第二步 移项，得3x-5x=-9-3+1,第三步 合并同类项，得-2x=-11.第四步 2·第五步 系数化为1，得x= 任务一：(1)解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 (2)第三步变形的依据是 ； 任务二：(1)该一元一次方程正确的解是 (2)请写出两条解一元一次方程时应注意的事项. 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：2x-5_3江+1=1. 62 题型六、利用一元一次方程同解问题求解 21.关于x的一元一次方程-Q+x=4与一元一次方程7-2x=3有相同的解，那么a的值为一· 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.若关于x的方程3x=5x8与}x-2ax=x+5有相同的解，则a的值为 2 4 23.已知方程2x-3=3和方程1-3m,-x=0有相同的解，则m的值为一· 3 24.若方程-2+x+1 =1-2x+1与关于x方程的x+6x,0=-3x有相同的解，则a的值为 63 4 3 6 题型七、一元一次方程整数解问题 25.已知关于x的方程3十《，一2+1的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 6 26。已知关于的方程2。“=1-的解是正整数，则符合条件的所有整载4的和为 6 27.已知关于的方程ar+2=+1的解为负整数，则整数a= 63 28.已知关于x的方程x-5--x+4-1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是 66 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级上·甘肃武威期末)下列各式中，不正确的是（) A.若a=b,则ab=b2 县若=，则 C.若ab=b2,则a=b D.若a+b=2b,则a=b 2.(25-26七年级上，全国课后作业)若x=9是方程-2(2x-a)=4x+a的解，则a的值是() A.-36 B.36 C.72 D.-72 3.(24-25七年级上云南保山期末)解方程2x-1-+2=1时，去分母正确的是（) 24 A.22x-1-x+2=1 B.2x-1)-x+2=1 C.2x-1-x+2=4 D.22x-1-x+2)=4 4.(2024七年级上·全国.专题练习)下列方程变形正确的是() A.由3x=2x-1,得3x-2x=1 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.由31_4r+2-1,得3x-2x=1 21 5 C.由1-32x-1=2x,得1-6x-3=2x D.由-3x-2=2x+3,得-3x-2x=3+2 5.(24-25七年级上辽宁抚顺期末)定义一种新运算“&am,”:当x>y时，x&y=X+；当x=y时， x&y=+:当r<y时，x&y=+y,例：2&1-已知2&=5+2 ，则x的值为() 3 B.2或2 8 D.或或2 .8 C.或2 二、填空题 6.(24-25七年级下·全国假期作业)等式2x-y=10变形为-4x+2y=-20的依据是等式的性质一，它 是将等式的两边」 7.(25.26七年级上全国课后作业)若关于x的方程4+1=4的解是r=3,则a的值为。 2 8.(23-24七年级上全国·期末)关于x的方程x+4=20-3x的解与方程2a-x+2=-23-x)的解相同，那 么a的值是一 9.（2526九年级上重庆阶段练习)已知关于x的方程x-+3-5,“的解为正整数，则符合条件的所有 42 正整数a的值的和是」 10.(25-26七年级上江苏泰州阶段练习)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个 三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-4，-2，-1,2,3， 4,6,7填入如图2所示的幻方”中，部分数据已填入，则(a+b)2的值为一 9 3 (4) (d 图1 图2 三、解答题 11.(25-26七年级上·全国单元测试)解下列一元一次方程： (1)9x-2(4-x)=3; ②+D-1=-2+x. 5 2 12.(25-26七年级上·全国·课后作业)解下列方程： 6/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 05212 20 5 22r-1-3-03r+05 3 0.2 13.(2025七年级上·全国专题练习)解方程： (1)3x-2=1-2(x+1. 22x+15x-1-1. 36 x0.23-0.2x=1. 005 0.03 14.(25-26七年级上吉林长春阶段练习)解方程. (1)4-38-x)=5(x-2 (232+r-44+2x 2 3 2*后- 15.(25-26七年级上·全国·课后作业)解下列方程： 0①x4+0.2r-030.02x 2 0.5 0.01 16.(25-26七年级上·吉林阶段练习)下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务. 解方程：至合1 解：去分母得，3x-x-1=6第一步 去括号得，3x-x+1=6..第二步 移项得，3x-x=6+1.第三步 合并同类项得，2x=7.第四步 系数化为1得，x三第五步 ()以上求解过程中，第 步出现错误，错误原因是 (2)写出该方程正确的解答过程 17.(25-26七年级上重庆万州阶段练习)阅读理解：对于任意的有理数a、b、c、d,我们规定 a b =ad-bc.例如： -23 6 4-5 =(-2)×(-5)-3×4=-2.根据规定，解答下列问题： d -2 -3 (1)计算： 的值： 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -5 9 -1 (2)试比较 2 3 的大小。 2 5 10 2x+1 (3)若 =1, -2 求x的值； 18.（25-26七年级上·全国·课后作业)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互 为“美好方程”. 例如：方程2x-1=3的解为x=2,方程x+1=0的解为x=-1.因为2+(-1)=1，即这两个方程的解之和为 1,所以这两个方程互为“美好方程” (1)请判断方程4x-x+5=1与方程-2y-y=3是否互为“美好方程. (②)若关于x的方程+m=0与方程3x=x+4互为“美好方程”，求m的值. ⑧老方程05-1=0与方程02+3=2次互为美好方程，录关于少的方程-5到+2引=3y-的解 8/8