专题03 一元一次方程的应用（10大题型）（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题03 一元一次方程的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 2 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 5 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 8 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 10 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 12 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 15 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 17 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 19 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代的一部自成体系的数学专著．其中有一题大意如下：今有人合伙买宝石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱．问人数、宝石价格分别是多少． 【答案】人数为42，宝石价格为17钱 【分析】设人数为，利用总钱数不变，用含的式子表示出总价格，列出方程即可． 【详解】解：设人数为． 根据题意，得， 解得． ∴宝石价格为（钱）， 答：人数为，宝石价格为钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，壶中原来有酒多少什？ 【答案】壶中原来有酒升 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设壶中原来有酒升，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设壶中原来有酒x升，由题意可得 ， 解得， ∴壶中原来有酒升． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）《九章算术》是中国古代重要的数学专著，全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人乘一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？请你解决这个问题． 【答案】共有39人，15辆车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设共有x辆车，根据“若每3人乘一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出人数． 【详解】解：设共有x辆车， 根据题意，得， 解得， （人）． 答：共有39人，15辆车． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设寺里有x个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤” 可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗；根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量喝汤用碗的数量碗的总数，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设都来寺里有x个和尚，根据题意得． ． 答：都来寺里有624个和尚． 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． (1)设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； (2)若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【答案】(1)， (2)这批农产品储藏了15个星期 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，明确题意，列出相应的方程和代数式是解答本题的关键． （1）根据题意，可以用含x的代数式表示出每吨农产品的价格和此时农产品的吨数； （2）根据题意，设这批农产品储藏了m个星期，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 储藏了个星期，每吨农产品的价格为：元，此时农产品有吨， 故答案为：，； （2）解：设这批农产品储藏了m个星期， 由题意可得：， 解得， 答：这批农产品储藏了15个星期． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）某合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元，种水果收购单价为15元． (1)，两种水果各购进多少千克？ (2)已知种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 【答案】(1)种水果购进，种水果购进 (2)种水果的销售单价为元 【分析】（1）设种水果购进，则种水果购进，根据该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设种水果的销售单价为元，根据种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设种水果购进，则种水果购进． 根据题意，得， 解得，． 故种水果购进，种水果购进． （2）解：设种水果的销售单价为元． 根据题意，得，解得． 故种水果的销售单价为元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． (1)国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． (2)若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 【答案】(1)七； (2)剩余的商品应打九折． 【分析】本题涉及商品的进价、标价、折扣以及利润的计算，需要根据这些量之间的关系，通过设未知数建立方程来求解折扣． 【详解】（1）解：设国庆假期期间打x折 商品进价为每件80元，提高后的标价为元 打x折后的售价为元 已知有90件商品以每件赚4元的价格售出，根据售价-进价=利润， 可得： 化简方程： 移项：，即 解得，所以打7折． （2）解：设剩余的商品应打x折． 由题意，得， 解得． 故剩余的商品应打九折． 【点睛】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，掌握根据商品销售中的进价、标价、折扣、利润之间的关系，建立方程求解折扣是解题的关键． 8．（22-23七年级上·江苏南通·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）某校组织师生外出春游．若单租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求参加春游的师生总人数． 【答案】参加春游的师生总人数为225人 【分析】设单租座客车辆，则参加春游的师生总人数为人，若单租座的客车，则师生人数为人，根据师生人数不变列方程求解即可． 【详解】解：设单租45座客车辆，则参加春游的师生总人数为． 根据题意，得， 解得， 则． 故参加春游的师生总人数为人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 10．（24-25七年级上·天津·期末）某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费元． (1)若游泳次，按方式一付费，则总费用为________元； (2)什么情况下，两种方式费用相同？（列一元一次方程计算说明） 【答案】(1)； (2)游泳次数为次时，两种方式费用相同． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后求解即可； （）设游泳次数为次时，两种方式费用相同，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：总费用为：（元）， 故答案为：； （2）解：设游泳次数为次时，两种方式费用相同， 根据题意得，， 解得：， 答：游泳次数为次时，两种方式费用相同． 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 12．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 【答案】分配8名工人生产螺栓 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确得出等量关系列出方程是解答的关键． 设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， 所以可得，解得， 答：分配8名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 【答案】分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解． 【详解】解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得：       答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾． 15．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 【答案】(1)12人 (2)10名工人生产部件，15名工人生产部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产部件，则名工人生产部件，再根据“每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件需要2个部件”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入工人的人数为人， 根据题意得：， 解得， 所以调人工人的人数为12人． （2）解： 调人12名工人后，车间有工人（名）， 设名工人生产部件，则名工人生产部件， 因为每天生产的部件和部件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 所以10名工人生产部件，15名工人生产部件，可使每天生产的部件和部件刚好配套． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生26人，女生23人 (2)6名 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设七（5）班班有女生x人，则有男生人，结合七（5）班共有学生49人，再建立方程求解即可； （2）设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据1个盒身匹配2个盒底，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设七（5）班班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七（5）班有男生26人，女生23人； （2）解：设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的，一共需要多少天？ 【答案】30 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先求出计划每天完成的工作量，设一共需要天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一， ∴计划每天完成， 设一共需要天完成任务， 由题意可得：， 解得：， ∴完成这批零件的，一共需要天． 18．（25-26七年级上·重庆·开学考试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是多少？ 【答案】12天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，比例的实际应用，根据题意可求出两个工程队在晴天和雨天的工作效率，进而求出在晴天，甲队的工作效率比乙队的工作效率高，在雨天，乙队的工作效率比甲队的工作效率高，则可求出整个施工期间，晴天与雨天的天数比，再通过设出晴天和雨天的天数，根据工作总量为“1”建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，在晴天，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 在雨天，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 所以在晴天，甲队的工作效率比乙队的工作效率高， 在雨天，乙队的工作效率比甲队的工作效率高， 因为实际情况是两队同时开工、同时完工， 所以整个施工期间，晴天与雨天的天数比为， 设整个施工期间，晴天的天数为天，雨天的天数为天， 由题意得，， 解得， 所以， 所以在施工期间，下雨的天数是12天， 答：在施工期间，下雨的天数是12天． 19．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求 (1)每个房间需要粉刷的墙面的面积是多少？ (2)求一个一级技工和一个二级技工每天粉刷的墙面各是多少？ 【答案】(1)每一个房间的共有5 (2)每名一级技工、二级技工每天分别刷墙面， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及求代数式的值，找出等量关系式是解题的关键； （1）设每一个房间的共有，每名一级技工一天粉刷的面积每名二级技工一天粉刷的面积，列方程，即可求解； （2）由（1）代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：设每一个房间的共有，则   ， 解得：， 答∶每一个房间的共有． （2）解：， ， 答：每名一级技工、二级技工每天分别刷墙面，． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，9名工人用14天完成了这项任务的，而剩下的任务必须在4天内完成，则至少需增加多少名工作效率相同的工人？ 【答案】(1)用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套 (2)至少需增加12名工作效率相同的工人 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数，列出方程，即可解答. 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意，得， 解得， 所以． 故用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：设至少需增加名工作效率相同的工人． 由题意，得每名工人每天的工作效率为， 则， 解得． 故至少需增加12名工作效率相同的工人． 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两站相距375千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行25千米，慢车行了2小时后，一列快车从乙站开往甲站，每小时行40千米，快车行了几小时后与慢车相遇？ 【答案】快车行了5小时后与慢车相遇 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设快车行了x小时后与慢车相遇，根据相遇时两者路程和等于总路程375千米列方程解决即可． 【详解】解：设快车行了x小时后与慢车相遇，由题意得： ， 解得：， 答：快车行了5小时后与慢车相遇． 22．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【答案】(1)经过两车第一次相遇； (2)经过两车第二次相遇； (3)两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得，解方程即可求解； （2）根据题意得，解方程即可求解； （3）设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】（1）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第二次相遇； （3）解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： ①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有：， 解得． 综上所述，两车恰好相距时，行驶了或或或或． 23．（25-26七年级上·江苏·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 【答案】(1)点P表示的数为，点Q表示的数为 (2)两点在2.4秒后相遇 (3)第二次相遇的位置是 【分析】本题考查数轴、数轴上的动点，涉及解一元一次方程等知识，掌握数轴上的动点的性质是解题关键． （1）根据题意即可求出点和点所表示的数； （2）根据题意可得进行求解即可； （3）先分析点P到达点B的时间，再分析点Q到达点A的时间可得第二次相遇发生在点返回、点返回后，设第二次相遇时间为秒（），根据题意列出点和点的方程进行联立求解即可． 【详解】（1）由题意可得， 点从出发向右运动，秒后的位置为：， 点从出发向左运动，秒后的位置为：； （2）当时，两点相遇得，， ， ， ， ∴两点在2.4秒后相遇； （3）点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时，点的位置为， ∴点还未到达点，仍在向左运动； 点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时点已从返回运动秒，位置为， ∴第二次相遇发生在点返回、点返回后； 设第二次相遇时间为秒（）， 此时点经过秒到达，剩余秒向左运动， 位置为， 点经过秒到达A，剩余秒向右运动， 位置为， 联立方程得， ， ， ， 解得， 将t代入或计算位置得， ， ∴两点第二次相遇时的位置是． 24．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，； (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案. 【详解】（1）数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）①设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当点未超过点，则，解得； 当点超过点，则，解得； 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）将55分成四个数之和，第一个数加上1，第二个数减去1，第三个数乘2，第四个数除以3，所得的数都相同．这四个数分别是多少？ 【答案】这四个数分别是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确的计算是解题的关键； 根据题意设出未知数并列方程求解即可． 【详解】第一个数加上，第二个数减去，第三个数乘，第四个数除以，所得的数都相同， 设所得的相同数为， 由题意，得， 化简得， 解得． ∴这四个数分别是，，，． 26．（25-26七年级上·重庆·自主招生）有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【答案】57 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设原来的两位数为，根据“这两个三位数相差414”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数为，根据题意得： 解得：， 答：原来的两位数为57． 27．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，把这个和称为“幻和”． 1 9 (1)图中的“幻和”为_______； (2)求m，n的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的数字应用，仔细阅读题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意把表格中间三个数相加即可； （2）根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出方程运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，图中的“幻和”为， 故答案为：3； （2）解：根据题意得， 解得， 九宫图右下角的数为， ∴， ∴，． 28．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，=______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等．则______，______． (4)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是______． 【答案】(1) (2)6，5 (3)，或 (4) 【分析】本题考查了数字类规律探索，数字问题(一元一次方程的应用)，有理数加法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）图2中，根据8所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可求得，根据2所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，，再相加即可； （2）图3中在所在的行的三个数的和与列的三个数的和相等，可求得，再由图2可知每行（或列或对角线）三个数的和为，分别列出关于，的方程求解即可； （3）先用字母填入相应空圆圈中，再根据每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等，及已填写的，找出未填入的数，逐一分析讨论求解即可； （4）要使S最大，只需把4、5、6填入三角形的三个顶点处，再求出其余三个圆圈的数即可． 【详解】（1）由图2中8所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可得， 解得：， 由图2中2所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可得， 解得：， 所以， 故答案为：； （2）由图3中在所在的行的三个数的和与列的三个数的和相等， 可得，解得：， 由图2可知每行（或列或对角线）三个数的和为， 由所在的行的三个数的和可得， 解得：， 由所在的列的三个数的和可得， 解得：， 由所在的列的三个数的和可得， 解得：， 故答案为：6，5； （3）如图，在空的圆圈上分别填写h，k， ∵每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等， ∴， 解得：， ∴， ∵将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用）， ∴还有、、6、四个数， ∵， ∴在中，可知，， 将，代入， 得，与剩下、， 可知，或， 故答案为：，或； （4）如图， 要使S最大，只需把4、5、6填入三角形的三个顶点处， ， 故答案为：． 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 【答案】该班共胜4场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为是解题的关键． 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为，设赢了场，总分数为即可列出方程，即可解题． 【详解】解：个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余个班比赛， 所以设胜了场，则平了场． 由题意，得， 解得． 答：该班共胜4场比赛． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 31．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)17道题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题的得分和每答错一道题的得分； （2）设答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，； （2）解：设答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得， 解得， 答：答对了17道题． 32．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)胜2场，负9场 (3)不可能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）由题意得，D队还有7场比赛，假设D队剩下7场全胜，算出最终积分，再与32分比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察C队和D队积分可知，球队胜一场积分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1． （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了11场比赛中胜2场，负9场． （3）解：不可能实现，理由如下： 每个球队各有18场比赛，D队已经进行了11场比赛， D队还有场比赛， 假设D队剩下7场全胜，则最终积分， 又， D队不可能实现最终积分达到32分． 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 33．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的倍． (1)展开图的个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与相对的面是___________（填序号）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了长方体的相对面，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握长方体展开图的特征，列出一元一次方程． （）根据长方体展开图进行判断即可解题； （）设长方体的高为，则长为，由题意得，求出，再根据体积的计算方法，即可解题． 【详解】（1）解：由长方体包装盒表面展开图的特征可知，包装盒与相对的面是， 故答案为：； （2）解：设长方体的高为，则长为， 由题意得，， 解得， 所以长为，宽为，高为， 则体积为， 答：这个长方体包装盒的体积为． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）王大爷正在准备用篱笆围一个长方形鸡舍，它一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60m．篱笆围成的鸡舍的长比宽多6m（篱笆的占地面积忽略不计）． (1)如果鸡舍的长与墙相对，那么鸡舍的面积为多少？ (2)如果墙对面留一个3m宽的门（门不使用篱笆），那么鸡舍的面积又为多少？ 【答案】(1) (2)如果墙对面留一个3m宽的门，那么鸡舍的面积为或 【分析】（1）设鸡舍的宽为xm，则鸡舍的长为．根据篱笆总长建立方程即可； （2）分两种情况讨论,以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：设鸡舍的宽为xm，则鸡舍的长为． 依题意，得，解得， 则鸡舍的长为． 故鸡舍的面积为． （2）设鸡舍的宽为ym，则鸡舍的长为． ①当鸡舍的长与墙相对时，依题意，得， 解得，则鸡舍的长为． 故鸡舍的面积为； ②当鸡舍的宽与墙相对时，依题意，得， 解得，则鸡舍的长为． 故鸡舍的面积为． 综上所述，如果墙对面留一个3m宽的门，那么鸡舍的面积为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 35．（2024九年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． 应用与计算： (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_________； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2)该无盖盒子的体积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体展开图的特点，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． （1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的2倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：（1）当时， ∴此时，折成的无盖长方体盒子的体积； 故答案为：； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 36．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒        【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盆，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________； (2)图4中棱的长为_____； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20，40 (2)5 (3)第三小组的说法不正确，见解析 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元一次次方程的实际应用等知识． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设，则，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系， 列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）分别计算出两个小组制作的长方体收纳盒的体积，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：20；40； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即，． （3）解：第一小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 第二小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 所以第一小组制作的长方体收纳盒与第二小组制作的长方体收纳盒体积相同， 第三小组的说法不正确． 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 37．（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 (1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． (2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） (3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 【答案】(1)600 (2) (3)当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 【分析】（1）甲用户年前三个月已使用天然气，不超过，直接用用量×第一档单价即可求出费用； （2）乙用户2024年已使用天然气，需将用量分为两部分：第一档的和第二档的，分别按对应单价计算后求和，得到含的代数式即可； （3）对三档分类讨论费用计算．已知，需根据用量的不同范围，分别计算各档的费用并汇总，体现分类讨论的数学思想． 【详解】（1）解：甲用户使用天然气，因为不超过，价格为元. 故费用为：（元）. （2）解：乙用户年已使用天然气，为两段缴费：不超过和在和之间两段进行缴费：(元)； （3）解：丙用户用气量不确定，需进行分类讨论： 当时： 缴费：元； 当时： 缴费：（元）， 当时， （元） 当时： 缴费： 当时， （元） 综上所述：丙用户这一年的燃气费为：当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 【点睛】本题主要考查了列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． 38．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 【答案】(1)元； (2)30立方米 (3)当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的生活实际应用，正确理解分段的界点是解题的关键． （1）根据缴费标准解答即可求解； （2）设该用户这个月的用水量是m立方米，根据题意可得，然后列出方程，即可求解； （3）分两种情况：当时，当时，根据题意，列出代数式，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即该户4月份应缴纳的水费为元； （2）解：设该用户这个月的用水量是m立方米， ∵，且， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：该用户这个月的用水量是30立方米； （3）解：当时，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元， 设甲户这个月用水立方米，则， 当时，甲户用水量超过但不超过，乙户用水量不少于但少于， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元， 综上所述，当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元． 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级数学兴趣小组为了解本市居民执行阶梯电价前后电费缴纳情况，利用课余时间收集素材，探索完成任务． 电费缴纳 素材1 不执行阶梯电价 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 素材2 为在节能减排的同时考虑惠民利民，该市居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月（含5月和10月）执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 执行阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 第二档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.65 第三档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.9 问题解决 任务1 若某用户5月份的用电量为520千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需多缴纳多少电费？ 任务2 若某用户5月份的用电量为千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需缴纳多少电费（用含x的代数式表示）？ 任务3 执行阶梯电价后，若某用户5月份的用电量为520千瓦时，且4月份与5月份的电费恰好相同，则该用户4月份比5月份的实际用电量少多少千瓦时（精确到0.1）？ 【答案】任务1：执行阶梯电价比不执行阶梯电价需多缴纳13元；任务2：当时，电费为元；当时，电费为元；任务3： 4月份比5月份实际用电量少用36.7千瓦时 【分析】本题主要考查了 任务1：根据题干条件分别算出不执行阶梯电价和执行阶梯电价，进而即可得解； 任务2：分两阶梯讨论，用电量在第一档（）和第二档（），具体求解即可； 任务3：设4月份用了千瓦时，由题可得，，解方程即可． 【详解】解：任务1：不执行阶梯电价：（元， 执行阶梯电价：（元； 所以执行阶梯电价比不执行阶梯电价需多缴纳（元； 任务2：当时，电费为； 当时，电费为； 任务3：设4月份用了千瓦时，由题可得， ， 化简得：， 解得：， 所以4月份比5月份实际电量少用（千瓦时）． 40．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）根据以下素材，探索未完成的任务． 问题：如何计算生活中的水费和用水量？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处|理费为1元/吨． 素材3 某用户2024年2月份用水21吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为72元，求该用户12月份需缴污水处理费的钱数． 任务2 确定水费 若某用户2024年11月份用水a吨（），则应缴水费______元（用含a的代数式表示）． 任务3 确定用水量 若该用户2024年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5|月份用水量），共缴水费210元，则该用户6月份用水______吨． 【答案】任务1：20元 任务2：元 任务3：吨 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程求解是关键． 任务1：先求出临界点的自来水费用，判定该用户处于哪个阶梯，然后根据题意列出方程求解即可； 任务2：根据题意列出代数式即可； 任务3：假设5月份用水吨，则6月份用水吨，得出，分两种情况进行讨论，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：用水量为14吨时，自来水的费用为：（元）， 用水量为21吨时，自来水的费用为：（元）， 某用户自来水费为72元时，处于第二阶梯，假设其用水量为吨，根据题意得， ， 解得， 所以，该用户12月份需缴污水处理费的钱数为：（元）； 任务2：根据题意得，应交水费为：元； 任务3：假设5月份用水吨，则6月份用水吨，根据题意得， ， 解得， 当时，， ∴ 解得，（不符合题意，舍去） 当时，， ∴ 解得， ∴， ∴该用户6月份用水量为吨． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张试卷有25道题，做对1道得4分，做错1道倒扣1分．小李做了所有题，共得70分，他做对的题目数量是（    ） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设他做对了道题，根据得分规则列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设他做对了道题，那么他做错了道题， 根据题意得：， 解得：， 则他做对了道题． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）我国古代有这样一道题：“今有人买鸡，人出六，盈五；人出五，不足二．问人数、物价各几何．”意思是有若干人一起买鸡，如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．买鸡的人数、买鸡的费用分别是多少？若设买鸡的费用是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的古代问题，正确的运算是解题的关键． 设买鸡的费用是文钱，则根据“如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．”且人数不变，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就相差2文钱，且人数不变， 设买鸡的费用是文钱， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（   ） A．21 B．54 C．65 D．75 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设竖列上三个相邻的数最上面一个数为，则这三个数的和为，再结合选项分别列方程求解判断即可． 【详解】解：设竖列上三个相邻的数最上面一个数为，则另两个数分别为，， 则这三个数的和为， A、，解得，日历中没有0号，不符合题意； B、，解得，符合题意； C、，解得，日历中没有小数，不符合题意； D、，解得，此时日历中竖列上第三个数不存在，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．6天 【答案】D 【分析】先分析甲乙工作量的关系，得出甲2天的工作量等于乙3天的工作量，再根据效率比和总工作量相等求出规定时间即可． 【详解】解：设规定的时间是天， 根据题意，甲的效率为，乙的效率为， 由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成可知： 甲工作了2天，乙工作了天，共同完成工作，总工作量为1， 可列方程， 解得． 规定时间为6天； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程——工程问题，熟练找出等量关系是解题的关键． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的长相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 6．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设圆柱水桶的底面积为S，液面从图2的再上升，再根据水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积列方程求解即可 【详解】解：设圆柱水桶的底面积为S，根据题意得，正方体铁块的体积为， 而水上升的体积为， ∴， 图3中，再叠放一个相同的正方体（总铁块高度）， 设液面从图2的再上升， ∴此时液面总高度为（且，铁块未完全露出）， ∴两个正方体浸入水中的总体积为， ∴水和浸入铁块的总体积（圆柱体积）为； 根据题意得，原来图1的水体积为， 根据“水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积”，列方程： ， ∴液面会再上升， 故选B． 二、填空题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题得关键. 设太仓距上林里，利用时间路程速度，结合日往返次，即可得出关于的方程． 【详解】解：设太仓距上林里， 依题意得：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 辆汽车，共有 人春游． 【答案】 8 388 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的相等关系； 设有辆汽车，根据人数不变，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有辆汽车，根据“若每辆汽车坐人，则有人没有座位”，可知学生总数为人， 根据“若每辆汽车坐人，则只有一辆车空个座位无人坐，其余车辆全部坐满”，可知学生总数为人， 因学生总数不变，可列方程：， 解得：， 学生总数为人， 故答案为：． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，将一个长方形分成六个正方形，其中正方形A的边长为4，且A，C边长相等，D，E，F边长相等，则该长方形的周长为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设正方形的边长为，则正方形、的边长为，正方形的边长为，根据长方形的对边相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形、的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴该长方形的周长为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）在某月的日历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是，则框中最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设最小的数为，则其他三个数为，，，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设最小的数为，则其他三个数为，，， 由题意得，， 解得， ∴框中最小的数是， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务∶ 他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律的问题，一元一次方程的应用，在图中填上b，c，根据它的6条边上的四个数字之和必须完全相同，可得出关于b的一元一次方程，求出解，再将6条边上的四个数字之和相加是12个数之和的2倍，可得关于a的一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：如图所示． ， 即， 解得． ∴， 解得． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段练习）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，．．．，按此规律排列下去， （1）第⑧个图案用的小棒根数是 ， （2）若第n个图案用了99根小棒，则 ． 【答案】 67 12 【分析】本题考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多8根小棒，据此规律求解即可 ． （2）利用（1）的结论列方程求解即可． 【详解】解：（1）第①个图案用了根小棒， 第②个图案用了根小棒， 第③个图案用了根小棒， 第④个图案用了根小棒， ．．．．．．， 以此类推可知，第n个图案用了根小棒， ∴第⑧个图案用的小棒根数是． 故答案为：67； （2）由题意，得 ， 解得． 故答案为：12． 三、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）《九章算术》卷第七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？ 【答案】人数是42，琎价是17钱 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．设有x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的方程组，解方程组即得答案． 【详解】解：设有x人合伙买琎石，根据题意，得： ， 解得：， （钱）， 答：有42人合伙购物，物价为17钱． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】(1)12 (2)5 【分析】(1)设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据“甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用天”列出方程，求出的值，即可求出两公司合作的天数； (2)设乙公司还需要天可以完成此工程，利用“甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量=工程总量”，可列出关于的一元一次方程，求出天数即可. 【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【答案】(1)甲队没有资格参加决赛，理由见解析 (2)乙队在初赛阶段胜8场，负2场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． （1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设乙队在初赛阶段胜场，则负了场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：甲队没有资格参加决赛，理由如下： 甲队积分为（分），， 所以甲队没有资格参加决赛． （2）解：设乙队在初赛阶段胜x场，则负场． 由题意，得， 解得， 所以． 故乙队在初赛阶段胜8场，负2场． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 17．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有15名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多1人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，人员调入后，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调整后车间共有名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多1人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人，根据题意得：， 解得， 调入7名工人； 答：车间有工人（名）． （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 18．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 【答案】(1)甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元； (2)乙种茶叶每盒的售价应是121元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设甲种茶叶商品的进价是元，乙种茶叶商品的进价是元，若购进甲种茶叶商品5盒，乙种茶叶商品3盒 ，共需要700元．列出一元一次方程组，解方程组即可； （2）设每件乙种茶叶商品的售价为元，根据使得这500件茶叶商品所获利润率为，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每盒的进价是元，则乙种茶叶每盒的进价是元． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：甲种茶叶每盒的进价是80元，乙种茶叶每盒的进价是100元． （2）解：设乙种茶叶每盒的售价是元， 根据题意，得， 解得． 答：乙种茶叶每盒的售价应是121元． 19．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （2）由题意可得，，求出，根据不是整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为． （2）设十字框中间的数为a，根据题意，得：， 解得：． ∵不是整数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2023． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                                                                                                                                                                   （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 21．（21-22七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）永辉超市第一次用4200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 29 40 (1)永辉超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多480元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)1680元 (2)打9折 【分析】（1）首先设甲商品的件数为件，根据“甲商品的总进价 + 乙商品的总进价 ”列出方程，求出甲、乙两种商品的件数．最后根据“利润 =（甲商品的单件利润×甲商品的件数）+（乙商品的单件利润×乙商品的件数）”计算出总利润． （2）先根据第一次的进价和件数关系求出第二次乙商品的件数．设第二次乙种商品按原价打折销售，根据“第二次的总利润 = 第一次的总利润”列出方程，求解得出的值． 本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据题目中的数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲商品的件数为件，则乙商品的件数为件．由题意得 解得， 则乙商品的件数为（件）， 甲商品单件利润为（元）， 乙商品单件利润为（元）， 总利润为（元） 答：一共可获得元利润； （2）解：设第二次乙种商品按原价打折销售，则乙商品打折后单件利润为元．则 解得， 答：第二次乙种商品是按原价打九折销售． 22．（18-19七年级下·湖南长沙·期中）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买16人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购16张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得： 解得： 学生人数为人，成人人数为8人． 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用： 元 所以，购团体票更省钱． （3）若成人和学生分开买票，费用：（元）， 若购买团体票，费用：（元） 最省的购票方案为：买16人的团体票，再买4张学生票． 23．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 24．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，点与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)______． (2)若点表示的数为，则是多少？ (3)若，则点表示的数为多少？ (4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3)或； (4)或． 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，三角形面积，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据数轴上两点的距离求解即可； （2）根据数轴上两点的距离求出，再根据三角形面积公式求解即可； （3）设点表示的数为，则，先求出，进而得出，利用三角形面积公式列方程求解即可； （4）设向左平移的距离为，则点表示的数为，点表示的数为，根据点、与点的位置关系，分三种情况讨论，利用数轴上两点的距离和三角形面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点与表示的点重合，点与表示2的点重合， 则， 故答案为： （2）解：若点表示的数为，则， 那么； （3）解：设点表示的数为，则， 因为，且 所以， 所以， 解得：或， 即点表示的数为或； （4）解：设向左平移的距离为， 则点表示的数为，点表示的数为， 若点与表示的点重合， 当移动后点、都在点右侧，此时， 则， 解得：， 此时点表示的数为； 当移动后点在点左侧，点在点右侧，此时， 则， 解得：， 此时点表示的数为； 当移动后点、都在点右侧，此时， 则， 解得：（舍）， 综上可知，点表示的数为或． 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知数轴上三点对应的数分别为、0、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为 ； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动．设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或5 (4)或4 【分析】本题考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据、位置的不同进行分类讨论是解题关键． （1）MN的长为，即可解答； （2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算； （4）分别根据①当点A和点B在点P同侧时；②当点A和点B在点P异侧时，进行解答即可； 【详解】（1）解：的长为； （2）解：当点到点、点的距离相等时，点在点和点中间， 则， 解得； （3）解：①当点P在点M的左侧时， 根据题意得：， 解得：； ②P在点M和点N之间时，则，方程无解， 即点P不可能在点M和点N之间； ③点P在点N的右侧时， 根据题意得：， 解得：， ∴x的值是或5； （4）解：设运动t秒时，点P到点A、点B的距离相等，即， 由题意可知，点P对应的数是，点A对应的数是，点B对应的数是， ①当点A和点B在点P同侧时，点A和点B重合， ∴， 解得，符合题意， ②当点A和点B在点P异侧时，此时点A位于点P的左侧，点B位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点A在点P左侧，且点A运动的速度大于点P的速度，所以点A永远位于点P的左侧）， ∴， ∴， 解得，符合题意， 综上所述，t的值为或4； 26．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，=______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等．则______，______． (4)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是______． 【答案】(1) (2)6，5 (3)，或 (4) 【分析】本题考查了数字类规律探索，数字问题(一元一次方程的应用)，有理数加法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）图2中，根据8所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可求得，根据2所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，，再相加即可； （2）图3中在所在的行的三个数的和与列的三个数的和相等，可求得，再由图2可知每行（或列或对角线）三个数的和为，分别列出关于，的方程求解即可； （3）先用字母填入相应空圆圈中，再根据每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等，及已填写的，找出未填入的数，逐一分析讨论求解即可； （4）要使S最大，只需把4、5、6填入三角形的三个顶点处，再求出其余三个圆圈的数即可． 【详解】（1）由图2中8所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可得， 解得：， 由图2中2所在的行的三个数的和、列的三个数的和相等，可得， 解得：， 所以， 故答案为：； （2）由图3中在所在的行的三个数的和与列的三个数的和相等， 可得，解得：， 由图2可知每行（或列或对角线）三个数的和为， 由所在的行的三个数的和可得， 解得：， 由所在的列的三个数的和可得， 解得：， 由所在的列的三个数的和可得， 解得：， 故答案为：6，5； （3）如图，在空的圆圈上分别填写h，k， ∵每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等， ∴， 解得：， ∴， ∵将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用）， ∴还有、、6、四个数， ∵， ∴在中，可知，， 将，代入， 得，与剩下、， 可知，或， 故答案为：，或； （4）如图， 要使S最大，只需把4、5、6填入三角形的三个顶点处， ， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 【答案】(1)65 (2)小明家3月份最多能用水 (3)小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． （2）设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; （3）设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 2 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 5 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 8 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 10 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 12 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 15 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 17 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 19 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代的一部自成体系的数学专著．其中有一题大意如下：今有人合伙买宝石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱．问人数、宝石价格分别是多少． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，壶中原来有酒多少什？ 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）《九章算术》是中国古代重要的数学专著，全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人乘一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？请你解决这个问题． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． (1)设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； (2)若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）某合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元，种水果收购单价为15元． (1)，两种水果各购进多少千克？ (2)已知种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． (1)国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． (2)若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 8．（22-23七年级上·江苏南通·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）某校组织师生外出春游．若单租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求参加春游的师生总人数． 10．（24-25七年级上·天津·期末）某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费元． (1)若游泳次，按方式一付费，则总费用为________元； (2)什么情况下，两种方式费用相同？（列一元一次方程计算说明） 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 12．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 15．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 16．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的，一共需要多少天？ 18．（25-26七年级上·重庆·开学考试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是多少？ 19．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求 (1)每个房间需要粉刷的墙面的面积是多少？ (2)求一个一级技工和一个二级技工每天粉刷的墙面各是多少？ 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，9名工人用14天完成了这项任务的，而剩下的任务必须在4天内完成，则至少需增加多少名工作效率相同的工人？ 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两站相距375千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行25千米，慢车行了2小时后，一列快车从乙站开往甲站，每小时行40千米，快车行了几小时后与慢车相遇？ 22．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 23．（25-26七年级上·江苏·期中）在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 24．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）将55分成四个数之和，第一个数加上1，第二个数减去1，第三个数乘2，第四个数除以3，所得的数都相同．这四个数分别是多少？ 26．（25-26七年级上·重庆·自主招生）有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 27．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，把这个和称为“幻和”． 1 9 (1)图中的“幻和”为_______； (2)求m，n的值． 28．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，=______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等．则______，______． (4)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是______． 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 31．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 32．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 33．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的倍． (1)展开图的个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与相对的面是___________（填序号）； (2)求长方体包装盒的体积． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）王大爷正在准备用篱笆围一个长方形鸡舍，它一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60m．篱笆围成的鸡舍的长比宽多6m（篱笆的占地面积忽略不计）． (1)如果鸡舍的长与墙相对，那么鸡舍的面积为多少？ (2)如果墙对面留一个3m宽的门（门不使用篱笆），那么鸡舍的面积又为多少？ 35．（2024九年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． 应用与计算： (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_________； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖长方体盒子的体积． 36．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒        【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盆，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________； (2)图4中棱的长为_____； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 37．（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 (1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． (2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） (3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 38．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级数学兴趣小组为了解本市居民执行阶梯电价前后电费缴纳情况，利用课余时间收集素材，探索完成任务． 电费缴纳 素材1 不执行阶梯电价 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 素材2 为在节能减排的同时考虑惠民利民，该市居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月（含5月和10月）执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 执行阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 第二档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.65 第三档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.9 问题解决 任务1 若某用户5月份的用电量为520千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需多缴纳多少电费？ 任务2 若某用户5月份的用电量为千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需缴纳多少电费（用含x的代数式表示）？ 任务3 执行阶梯电价后，若某用户5月份的用电量为520千瓦时，且4月份与5月份的电费恰好相同，则该用户4月份比5月份的实际用电量少多少千瓦时（精确到0.1）？ 40．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）根据以下素材，探索未完成的任务． 问题：如何计算生活中的水费和用水量？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处|理费为1元/吨． 素材3 某用户2024年2月份用水21吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为72元，求该用户12月份需缴污水处理费的钱数． 任务2 确定水费 若某用户2024年11月份用水a吨（），则应缴水费______元（用含a的代数式表示）． 任务3 确定用水量 若该用户2024年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5|月份用水量），共缴水费210元，则该用户6月份用水______吨． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张试卷有25道题，做对1道得4分，做错1道倒扣1分．小李做了所有题，共得70分，他做对的题目数量是（    ） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）我国古代有这样一道题：“今有人买鸡，人出六，盈五；人出五，不足二．问人数、物价各几何．”意思是有若干人一起买鸡，如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．买鸡的人数、买鸡的费用分别是多少？若设买鸡的费用是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（   ） A．21 B．54 C．65 D．75 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．6天 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 6．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 二、填空题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 辆汽车，共有 人春游． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，将一个长方形分成六个正方形，其中正方形A的边长为4，且A，C边长相等，D，E，F边长相等，则该长方形的周长为 ． 10．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）在某月的日历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，若框出的四个数的和是，则框中最小的数是 ． 11．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务∶ 他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定a的值为 ． 12．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段练习）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，．．．，按此规律排列下去， （1）第⑧个图案用的小棒根数是 ， （2）若第n个图案用了99根小棒，则 ． 三、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）《九章算术》卷第七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数，琎价各是多少？ 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 17．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有15名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多1人． (1)求调整后车间共有多少名工人； (2)每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，人员调入后，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 18．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，都匀毛尖、湄潭翠芽、贵定云雾茶、凤冈锌硒茶等均产自贵州．某采购商计划购进甲、乙两种茶叶，已知甲种茶叶每盒的进价比乙种茶叶每盒的进价少20元．若购进甲种茶叶5盒，乙种茶叶3盒，则共需要700元． (1)甲、乙两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该采购商购进了甲种茶叶300盒、乙种茶叶200盒．在销售时，甲种茶叶每盒的售价为110元，要使这500盒茶叶所获利润率为，乙种茶叶每盒的售价应是多少元？ 19．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． 21．（21-22七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）永辉超市第一次用4200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 29 40 (1)永辉超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多480元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 22．（18-19七年级下·湖南长沙·期中）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 23．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 24．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，点与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)______． (2)若点表示的数为，则是多少？ (3)若，则点表示的数为多少？ (4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果． 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知数轴上三点对应的数分别为、0、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为 ； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动．设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值． 26．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，=______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将、、、、、、2、4、6、8、、这个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和相等．则______，______． (4)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是______． 27．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $