第五章 一元一次方程（单元测试·提升卷）数学北师大版2024七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第五章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：①中未知数最高次数是2，不是一元一次方程； ②中含2个未知数，不是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④中左边不是整式，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥是一元一次方程； 综上可知，一元一次方程有3个， 故选B． 2．下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A、若，则，原选项变形正确，不符合题意； B、若，则，原选项变形正确，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，不符合题意； D、若，在时，两边都除以可得，原选项变形错误，符合题意； 故选：D． 3．有下列变形： ①方程去分母，得； ②方程两边同除以，得； ③方程移项、合并同类项，得； ④方程两边同乘6，得． 其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 各方程变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：①方程去分母，得，变形正确，不符合题意； ②方程两边同除以，得，原变形错误，符合题意； ③方程移项、合并同类项，得，原变形错误，符合题意； ④方程两边同乘6，得，原变形错误，符合题意． 其中错误的有②③④，个数是， 故选：B． 4．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值．将代入中得，将整体代入中即可得出答案． 【详解】解：将代入，得： ，即， ∴． 故选：D． 5．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意得可列出方程． 故选：B． 6．方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程．分别求得两个方程的解，根据两个解之和等于，得出，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， ∴， 解得：， 依题意，， ∴， 故选：A． 7．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意得出方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：B． 8．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 9．按下面的运算程序计算，当输入时，输出结果为27；当输入时，输出结果为17．如果输入n的值为正整数，输出的结果为31，那么满足条件的n的值最多有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，代数式求值，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．根据题意列式计算，确定符合题意的n的值即可． 【详解】解：若， 解得：， 若， 解得：， 若， 解得：， 若， 解得：， 综上，满足条件的n的值最多有4个， 故选：D． 10．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若的相反数为5，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，解一元一次方程，根据相反数的定义可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵的相反数为5， ∴， ∴， 故答案为：． 12．某车间有名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，刚好配套，求有多少人生产螺栓．设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程为    ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找到螺栓和螺母数量的等量关系是解决本题的关键．根据螺栓与螺母个数比为刚好配套列出相应的方程即可． 【详解】解：某车间名工人生产螺栓和螺母，有名工人生产螺栓， 有名工人生产螺母， 每人每天平均生产螺栓个或螺母个， 每天生产螺栓个，生产螺母有个， 螺栓与螺母个数比为刚好配套， ． 故答案为：． 13．小明不小心把方程中的一个数污染了，被污染的方程为．他看了书后的答案，发现该方程的解为，于是很快算出被污染的数为 ． 【答案】2 【分析】把代入方程，即可解答. 【详解】解：是方程的解， ∴， ∴， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，求方程中的常数项，可把方程的解代入方程求得常数项的值． 14．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解互为相反数， 将代入得， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为： ． 15．若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解和整数的特征是解题的关键．先解方程求解，得，再利用为整数，解为整数，得出，，，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得：， 化简，得：， 解得：， ∵为整数，解为整数， ∴，，， 解得：，，，，，， 和为：， 故答案为：． 16．如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【答案】或4或7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴．当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，分点P是线段的中点、点Q是线段的中点及点A是线段的中点三种情况考虑，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，， 解得：； 当点Q是线段的中点时，， 解得：； 当点A是线段的中点时，， 解得：． 综上所述，t的值为或4或7． 故答案为：或4或7． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 18．对于任意有理数，，我们规定：．例如：． (1)计算： ． (2)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，（1）根据题干规定的运算进行运算即可；（2）将用规定中的运算代替并进行计算即可. 【详解】（1）解：. （2）解：， 原式可写为， 化简得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得：. 19．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 20．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12 吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元／吨） a 2 某用户 12月份用水8吨，交水费 12元． (1)求a的值； (2)小明家 12月份交水费50元，求小明家 12月份用水量． 【答案】(1) (2)26吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键； （1）根据题意列方程求解即可； （2）先判断12月份用水量在哪个阶段，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费为（元），， 如果一个月用水18吨，则需水费为（元），， 所以12月份用水量超出了18吨， 设小明家 12月份用水量为x吨， 由题意，得， 解得， 答：小明家 12月份用水量为26吨． 21．如下图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示，，10．现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（到达点C停止运动）．设点P的运动时间为ts． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后停止运动．从点Q开始运动到P，Q两点都停止的过程中，当t为何值时，P，Q两点之间的距离为2？ 【答案】(1)t， (2)当t的值为26或30或32时，P，Q两点之间的距离为2． 【分析】（1）由路程=速度时间，即可得的长，利用即可表示的长． （2）分三种情况进行讨论：①当点Q还没有追上点P时；②当点Q追上点P后；③当点Q到达点C后进行列方程解题即可． 【详解】（1）解：点的速度为每秒1个单位， 秒时运动的路程． 又， ． 故： （2）解：分下列三种情况讨论： ①当点Q还没有追上点P时，依题意，得： ， 解得； ②当点Q追上点P后，依题意，得： ， 解得； ③当点Q到达点C后，依题意，得： ， 解得． 综上所述，当t的值为26或30或32时，P，Q两点之间的距离为2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题的关键是用含得代数式表示所表示的数． 22．2024年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠办法 没有优惠，照原价付款 全部按照九折优惠 其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠 (1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元． (2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元． (3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？ 【答案】(1)198；198或220 (2)甲所购物品的原价是520元 (3)乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数乘法的应用，解题的关键是理解结算方式． （1）根据付款数结合结算方式进行求解即可； （2）设甲所购物品的原价是y元，先求出购买原价为500元商品时实际付款金额，比较后可得出，结合优惠条件即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由第二次所购物品的原价高于第一次，可得出第二次所购物品的原价超过500元且第一次所购物品的原价低于500元，设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是元，分、两种情况列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款198元； 当商品原价为198元，乙实际付款198元， 当商品原价高于200元时， ∵（元） 又， ∴（元） 所以，乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为198元或220元； 故答案为：198；198或220； （2）解：设甲所购物品的原价是y元， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故答案为：520； （3）解：∵第二次所购物品的原价高于第一次， ∴第一次所购物品的原价低于500元，第二次所购物品的原价超过500元， 设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是元， ①当时，有， 解得：； ∴（元）； ②当时，有， 解得：， ∴（元） 答：乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元． 23．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答． （2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答． （3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或， 24．如图，在中，，，，．点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当在上时，用含的式子表示的长； (2)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，求的值； (3)若点在线段上运动，如图②，当为何值时，的面积等于面积的； (4)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由“点从点开始以的速度沿的方向移动”知当在上时，可先用含的式子表示，进而可表示的长． （2）用含的式子表示，代入解方程即可． （3）根据三角形的面积关系可得到线段和的比例关系，列方程求解即可． （4）分4种情形讨论即可，当时，点在线段上移动，点在线段上移动；当时，点在线段上移动，点在线段上移动；当时，点在线段上移动，点在线段上移动；当时，点停止移动，点在线段上移动；分别列出方程求解即可． 本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识，解题的关键是理解题意，用含的式子表示线段的长度． 【详解】（1）解：由题意， ∵， ∴； （2）由题意， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； （3）∵在中，， ∴ ∵的面积等于面积的， ∴， ∴， 解得， ∴时，的面积等于面积的； （4）当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时， ， ∵， ∴， 解得； 当时， ， ∵， ∴， 解得，不合题意舍去； 当时， ， ∵， ∴， 解得，不合题意舍去； 综上的值为或． 25．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【答案】（1）①；②0或；（2）或；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，根据新定义列出方程，认真理解新定义是解题的关键． （1）①求出两点之间距离，根据题中新定义再判断即可． ②设点所表示的数是x，根据得出，求解即可． （2）由题意得出，，根据，得出，列出方程或，求解即可． （3）由题意得出，，根据，得出，结合，化简得出，表示出，，得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点，，表示的数分别是，，3， ∴，故点不是的2值点； ，故点不是的2值点； ，故点是的2值点； 故答案为：； ②设点所表示的数是x， ∵， 则， 解得：或， 故答案为：0或； （2）由题意，，， ∵， ∴， 即或， 解得：或； （3）由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第五章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 2．下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．有下列变形： ①方程去分母，得； ②方程两边同除以，得； ③方程移项、合并同类项，得； ④方程两边同乘6，得． 其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 5．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 6．方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 8．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 9．按下面的运算程序计算，当输入时，输出结果为27；当输入时，输出结果为17．如果输入n的值为正整数，输出的结果为31，那么满足条件的n的值最多有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若的相反数为5，则m的值为 ． 12．某车间有名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，刚好配套，求有多少人生产螺栓．设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程为    ． 13．小明不小心把方程中的一个数污染了，被污染的方程为．他看了书后的答案，发现该方程的解为，于是很快算出被污染的数为 ． 14．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 15．若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 16．如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．对于任意有理数，，我们规定：．例如：． (1)计算： ． (2)若，则的值为 ． 19．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 20．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12 吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元／吨） a 2 某用户 12月份用水8吨，交水费 12元． (1)求a的值； (2)小明家 12月份交水费50元，求小明家 12月份用水量． 21．如下图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示，，10．现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（到达点C停止运动）．设点P的运动时间为ts． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后停止运动．从点Q开始运动到P，Q两点都停止的过程中，当t为何值时，P，Q两点之间的距离为2？ 22．2024年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠办法 没有优惠，照原价付款 全部按照九折优惠 其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠 (1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元． (2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元． (3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？ 23．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 24．如图，在中，，，，．点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当在上时，用含的式子表示的长； (2)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，求的值； (3)若点在线段上运动，如图②，当为何值时，的面积等于面积的； (4)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 25．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第五章 一元一次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B D B A B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．2 14． 15． 16．或4或7 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ．.............3分 （2） ， ， ， ， ， ．.............6分 18． 【详解】（1）解：..............2分 （2）解：， 原式可写为， 化简得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得：..............6分 19． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得；.............3分 （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为．.............6分 20． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得．.............2分 （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费为（元），， 如果一个月用水18吨，则需水费为（元），， 所以12月份用水量超出了18吨， 设小明家 12月份用水量为x吨， 由题意，得， 解得， 答：小明家 12月份用水量为26吨．.............6分 21． 【详解】（1）解：点的速度为每秒1个单位， 秒时运动的路程． 又， ． 故：.............2分 （2）解：分下列三种情况讨论： ①当点Q还没有追上点P时，依题意，得： ， 解得； ②当点Q追上点P后，依题意，得： ， 解得； ③当点Q到达点C后，依题意，得： ， 解得． 综上所述，当t的值为26或30或32时，P，Q两点之间的距离为2．.............8分 22． 【详解】（1）解：， ∴甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款198元； 当商品原价为198元，乙实际付款198元， 当商品原价高于200元时， ∵（元） 又， ∴（元） 所以，乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为198元或220元； 故答案为：198；198或220；.............3分 （2）解：设甲所购物品的原价是y元， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故答案为：520；.............5分 （3）解：∵第二次所购物品的原价高于第一次， ∴第一次所购物品的原价低于500元，第二次所购物品的原价超过500元， 设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是元， ①当时，有， 解得：； ∴（元）； ②当时，有， 解得：， ∴（元） 答：乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元．.............8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴.............2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴．.............5分 （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或，.............8分 24． 【详解】（1）解：由题意， ∵， ∴；.............2分 （2）由题意， ∵， ∴， 解得， ∴当时，；.............4分 （3）∵在中，， ∴ ∵的面积等于面积的， ∴， ∴， 解得， ∴时，的面积等于面积的；.............8分 （4）当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时， ， ∵， ∴， 解得； 当时， ， ∵， ∴， 解得，不合题意舍去； 当时， ， ∵， ∴， 解得，不合题意舍去； 综上的值为或．.............12分 25． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点，，表示的数分别是，，3， ∴，故点不是的2值点； ，故点不是的2值点； ，故点是的2值点； 故答案为：；.............2分 ②设点所表示的数是x， ∵， 则， 解得：或， 故答案为：0或；.............4分 （2）由题意，，， ∵， ∴， 即或， 解得：或；.............8分 （3）由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第五章 一元一次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 2．下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．有下列变形： ①方程去分母，得； ②方程两边同除以，得； ③方程移项、合并同类项，得； ④方程两边同乘6，得． 其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 5．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 6．方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 8．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 9．按下面的运算程序计算，当输入时，输出结果为27；当输入时，输出结果为17．如果输入n的值为正整数，输出的结果为31，那么满足条件的n的值最多有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若的相反数为5，则m的值为 ． 12．某车间有名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，刚好配套，求有多少人生产螺栓．设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程为    ． 13．小明不小心把方程中的一个数污染了，被污染的方程为．他看了书后的答案，发现该方程的解为，于是很快算出被污染的数为 ． 14．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 15．若关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值之和为 ． 16．如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．对于任意有理数，，我们规定：．例如：． (1)计算： ． (2)若，则的值为 ． 19．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 20．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12 吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元／吨） a 2 某用户 12月份用水8吨，交水费 12元． (1)求a的值； (2)小明家 12月份交水费50元，求小明家 12月份用水量． 21．如下图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示，，10．现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（到达点C停止运动）．设点P的运动时间为ts． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后停止运动．从点Q开始运动到P，Q两点都停止的过程中，当t为何值时，P，Q两点之间的距离为2？ 22．2024年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠办法 没有优惠，照原价付款 全部按照九折优惠 其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠 (1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元． (2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元． (3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？ 23．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 24．如图，在中，，，，．点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当在上时，用含的式子表示的长； (2)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，求的值； (3)若点在线段上运动，如图②，当为何值时，的面积等于面积的； (4)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 25．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $