第二十七章 相似（单元测试·基础卷）数学人教版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十七章相似基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 0 A B C D 月 D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12.1 13.(-8,6 14司 15.1- 3 16.0.8秒或2秒 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：令8==k, 456 a=4k,b=5k,c=6k, a 。4k1 2b+c2x5k+6k43分 (2)解：令9--=k, 456 a=4k,b=5k,c=6k, 2a-b+c=36, .2×4k-5k+6k=36, k=4, a=4k=4×4=16,b=5k=5×4=20,c=6k=6×4=24.6分 18. 【详解】(1)解：由题意得：∠EFB=∠ACB=90°， .EF∥AC, 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△EFB∽△ACB, EF:FB=AC:BC=15:10=3:2, 设EF=3x,FB=2x,则CF=EF=3x, .BC=BF+CF=5x=10, x=2, EF=3x=6, 即正方形CDEF的边长为6：3分 (2)解：由(1)得：CD=CF=EF=DE=6, .AD=AC-CD=9: :∠ADE=LACB=90°， .DG∥CF, ∴.△ADG△ACF, .DG:CF=AD:AC=9:15=3:5, :DG=18 :GE=AE-DG=12 6分 19. 【详解】(1)解：如图，△AB,C,即为所求： 54321四2-3456789 3分 2)解：A8c的面架是3x3×2x2-分1x3X1x3=4:m4分 (3)解：ABC和△AB,C,关于原点位似，位似比为1：2 .△ABC∽△A,B,C1,且相似比为1：2 S△A8,C:S△A8c=4:1.6分 2/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 20. 【详解】(1)解：：DE⊥AB, .∠EDB=∠ACB=90°， :∠A=30°， .∠FDB=LB=60°， :△DFB是等边三角形， :BD BF, :∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4, .AB=2BC=8, .AD =x,CF=y, :BF=4-y,BD=8-x, 8-x=4-y, ∴y=x-4, 如图，当C与E重合时， C(E) D ∠BCD=∠A=30°， i.BD=IBC=2, .AD=AB-BD=8-2=6, 如图，当C与F重合时， C(F) E / D :△DFB是等边三角形， .BD BF =4, .AD=AB-BD=8-4=4, 定义域为4≤x≤6；3分 (2)解：①如图，当LDEF=90°，aCEF∽△EDF, 3/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 E B ∴.∠CEF=30°， 同(1)理得：△DFB是等边三角形， :DF=BF =BD, 设AD=a,则BD=8-a, ∴DF=BF=BD=8-a, EF=号DF=4-0,Cf=c-8F=4-8-aj=a-4, 1 闲理可符：cFF a-44解：a= 24 5 AD=24 ②如图，当∠DFE=90°，△CEF∽△FED, B .∠CFE=30°， 同(1)可得：△DFB是等边三角形， ∴DF=BF=BD, 设CE=b, .EF =2b, CF=EF2-CE2=(2b)2b2=36. :DF=BF =BD=4-3b, :∠EDF=30°， :DF=3EF, ·4-V56=25b,解得：6=45 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DF=BF=BD=4-5×45_8, 931 AD=8-8=16 33 综上可行：4D的长为2或台6分 21. 【详解】(1)解：由题意可得∠FBC=∠GBA,∠GAB=∠FCB, .△FCBn△GAB, .BC-CF即 BC 1 AB AG .7-BC0.8 .BC=1.5(m. 答：BC的长为1.5m;4分 (2)解：BC=1.5,CD=1.8, BD=3.3, 由题意可得FC∥ED, .△BFC∽△BED, ·器器即 11.5 DE3.3' .DE=2.2(m. 答：DE的长为2.2m.8分 22 【详解】(1)解：将m=1代入x2+mx-1=0,得x2+x-1=0, 解得x=-1±P-4x-可。-1±5 2 2 “该方程的正根称为黄金分割数， ·黄金分割数为5-1 ;2分 (2)解：：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长AD=2, :4B-5-L,即B5-1, AD 2 22 AB=V5-1, :矩形ABCD的面积为ADAB=2×N5-1=2W5-2: 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：25-2；5分 (3)证明：设正方形ABCD的边长为2a, :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=2a,∠ECD=90°， :E是边BC的中点， :CE BE =a, :.EF=DE=CE2+CD=a+(2a)=5a, :BF=BE+EF=a+5a=(1+5a, AB 2a5-1 (1+V5)a 2, :四边形ABFG是矩形， ·矩形ABFG是黄金矩形.8分 23. 【详解】(1)证明：DF⊥AB, .∠BFM=LAFN=90°， :BE是ABC的高， ∠BEA=90°， .∠ABE+∠EAB=90°，∠ANF+LEAB=90°， .∠FBM=∠ANF, 又：∠BFM=∠AFN=90°， .△BFM∽△NFA;2分 (2)解：DF2=FM·FN,理由如下： :△BFM∽△NFA, FM-BF BM AF FN AN FM·FN=BF·AF, :AD、BE是ABC的两条高， ∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠BDF=90°，∠BFD=∠AFD=90° ∴.∠FAD=∠FDB, 6/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△BDF∽△DFA, .BD BF DF AD FD AF' .BF·AF=DF2, DF2=FM.FN;5分 (3)解：AC=BC, .∠BAC=∠ABC, :∠FAN+∠N=∠ABD+∠BAD=∠EMN+∠N=90°， .∠FAN=∠EMN=∠BMF,∠FDB=∠N=∠FAD, ∴.△BFM∽△NEM,△NEM∽△DFB, ME:EN=1:2, FM FB ME 1 FBFD-EN2 :FB=2FM FD=2FB=4FM, DF2=FM.FN,DN =8, (4FM)2=FM·(4FM+8), 解得：FM,FM=0(不符合题意舍去， B,D -39 FN=FD+DN=8+8=32 8 3 31 :∠N=∠N，,∠MEN=LAFN, .aMEN∽△AFN, 然1 FN EN 2' 4F=IFN= 16 3’ :AB=AF+FB=3+3-3' 4,1620 在Rt△BFD中， BD=BF2+DF2= 3 在Rt△ABD与Rt△ACD中，AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 7112 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ac-{4cj-9-{信5j 解得：AC=10W5 8分 3 24. 【详解】(1)解：①：y=x2+4x-6与y=3x2+bx-6是“比例”抛物线， 36,解得：6=12， 14 故答案为：12； ②依题意可得：x2+4x-6=3x2+12x-6, 解得x1=0,x2=-4, .y=x2+4x-6与y=3x2+bx-6的交点坐标为(0，-6)与(-4，-6；4分 (2)①：抛物线y=x2+4x-6,y=nx2+4nx-6, :4=1.6-4=1 ”a2n’b24nn 4-白 `a2b2 ∴.抛物线y=x2+4x-6,y=nx2+4nx-6是“比例”抛物线； :抛物线y=x2+4x-6,y=3nx2+12nx-6n>0), :9=,A4-1 43n'b,12n3n' 4=么 az b .抛物线y=x2+4x-6,y=3nx2+12nx-6(n>0)是“比例抛物线； :抛物线y=nx2+4nx-6,y=3nx2+12nx-6n>0), 么-3n-1,4=n=1 b,12n4’a,4n4' 4。么 az b2 ∴.抛物线y=nx2+4nx-6,y=3nx2+12nx-6(n>0是“比例抛物线， 综上，这三条抛物线两两之间都是“比例”抛物线. 故答案为：是…7分 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②：抛物线y=x2+4x-6=(x+2)2-10, .抛物线y=x2+4x-6顶点D的坐标为-2，-10)， :y=nx2+4nx-6=n(x+22-6-4n, .抛物线顶点E的坐标为-2，-6-4n, :y=3nx2+12nx-6=3nx+2)2-6-12n, ∴.抛物线顶点F的坐标为-2，-6-12n), EF=-6-4n+12n+6=l8n,DE=-10+6+4m=-4+4m, .EF=4DE, 8m=4-4+4n, 当8n=44n-4时，解得n=2, 当8n=-44n-4时，解得n=3, 极n的值为2或}卫分 25. 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， ①证明：：∠BCD=90°，延长BC至点F, .∠DCF=90°=∠BCD,且BC=DC,CE=CF, .△BCE≌aDCF(SAS), .∠CBE=LCDF, :∠BEC=∠DEG, △BCE∽△DGE; ②如图所示，连接BD, 9/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∠DBC=45°， :∠CBE=∠CDF,LCBE+∠CEB=90°，∠CEB=∠GED, .∠GED+∠GDE=90°，则∠EGD=90°，即BE⊥DF, 点G是DF的中点， ..DG=FG, BG是DF的垂直平分线， .BD=BF,即BDF是等腰三角形， :BG平分∠DBF,即∠DBG=∠FBG=∠DBF=x45°=22.5°， 2 2 在Rt△BFG中，∠F=90°-22.5°=67.5°， 故答案为：67.5°；4分 (2)四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD=6, 如图所示，过点G作GM∥CF,交CD于点M,且当G为DF中点， D M G GM∥CF, .aDMG∽aDCF, DM MG DG 1 DC CF DF2' :点M是CD中点，则DM=MC=CD=x6=3, 2 ∴GM是CDF的中位线， :MG=ICF, 2 10/12 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十七章 相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 2．如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 4．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 5．如图，是斜靠在墙上的长梯，是梯上一点，梯脚与墙角的距离为（即的长），点与墙的距离为（即的长），长为，则梯子的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 9．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则 ． 12．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 14．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 15．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 16．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 18．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 20．中，，，，，点在边上，交边于点，点在边上（与点，点不重合）． (1)设，，求与的函数关系式，并写出定义域； (2)连接，若与相似，求的长． 21．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 22．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 23．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 24．抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 25．在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十七章 相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 3．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 4．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．先根据平行线分线段成比例可得，则可得的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5．如图，是斜靠在墙上的长梯，是梯上一点，梯脚与墙角的距离为（即的长），点与墙的距离为（即的长），长为，则梯子的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用．因为，所以，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：假设梯子长，由题意得，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴梯子的长为． 故选：B． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方，位似图形是相似图形的一种特殊情况，根据与是位似图形，且位似比是，可知，再根据即可求出． 【详解】解：与是位似图形， ， ， ， ， ， ． 故选： C． 7．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 8．如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 【答案】D 【分析】作圆的直径，连接，由圆周角定理可知，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．本题考查的是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作圆的直径，连接， 设的半径为r，则， 由圆周角定理可知 ∵是的直径， ，即， 解得． 故选：D． 9．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 10．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 12．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据勾股定理求出，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质以及平行线分线段成比例。通过作辅助线，过点A作，交的延长线于点E，过点C作于H，设与的交点为N，与交于点G，小正方形的边长为1，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例以及平行线分线段成比例求出相关线段长度，进而求出结果． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点E，过点C作于H， 设与的交点为N，与交于点G，小正方形的边长为1， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为：． 15．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式． 过点P作交延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】解：如图：过点P作交延长线于点E， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∵， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）令，则，，，代入计算即可得； （2）令，则，，，代入计算可求出的值，从而可得，，的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：令， ，，， ； （2）解：令， ，，， ， ， ， ，，． 18．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 20．中，，，，，点在边上，交边于点，点在边上（与点，点不重合）． (1)设，，求与的函数关系式，并写出定义域； (2)连接，若与相似，求的长． 【答案】(1)，； (2)的长为或． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明是等边三角形，则，然后通过直角三角形的性质可得，则有，，然后代入即可求解，找出临界点即可求出定义域； （）分如图，当，，如图，当，，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当与重合时， ∴， ∴， ∴， 如图，当与重合时， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴定义域为； （2）解：如图，当，， ∴， 同（）理得：是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，解得：， ∴； 如图，当，， ∴， 同（）可得：是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 综上可得：的长为或． 21．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，代入数据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为． 22．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 23．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）本题考查相似三角形的判定，根据得到，根据是的高得到，从而得到，，得到，即可得到证明； （2）由（1）得到，再证即可得到，即可得到答案； （3）先证，，得到，，根据（2）的结论求出，即可求出、的长，再求出，从而得到、的长，最后根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、是的两条高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 在与中，， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 24．抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 【答案】(1)①；②与 (2)①是；②2或 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元二次方程——配方法，把化成顶点式，成比例线段，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①根据“比例”抛物线的定义求解； ②通过解一元二次方程求得两个抛物线的交点坐标； （2）①根据“比例”抛物线的定义求解； ②先分别求出三抛物线的顶点坐标，再根据，得到关于n的方程，分两种情况求解． 【详解】（1）解：①∵与 是“比例”抛物线， ∴，解得：， 故答案为：； ②依题意可得：， 解得，， ∴与的交点坐标为与； （2）∵抛物线，， ∴，， ∴， ∴抛物线，是“比例”抛物线； ∵抛物线， ， ∴，， ∴， ∴抛物线， 是“比例”抛物线； ∵抛物线，， ∴，， ∴， ∴抛物线，是“比例”抛物线， 综上，这三条抛物线两两之间都是“比例”抛物线． 故答案为：是 ②∵抛物线， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴抛物线顶点E的坐标为， ∵， ∴抛物线顶点F的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故n的值为2或． 25．在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②；[深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十七章 相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 2．如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 4．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 5．如图，是斜靠在墙上的长梯，是梯上一点，梯脚与墙角的距离为（即的长），点与墙的距离为（即的长），长为，则梯子的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 9．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则 ． 12．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 14．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 15．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 16．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 18．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 20．中，，，，，点在边上，交边于点，点在边上（与点，点不重合）． (1)设，，求与的函数关系式，并写出定义域； (2)连接，若与相似，求的长． 21．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 22．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 23．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 24．抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 25．在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $