专题03 相似三角形的性质（6大题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

专题03 相似三角形的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用相似三角形对应角相等求角 1 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边 3 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 6 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 8 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 9 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用相似三角形对应角相等求角 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若，相似比为，且，则 ， ， ． 【答案】 5 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质求对应边长是解题的关键．根据相似比为求出对应边长即可． 【详解】解：已知，相似比为，且，，，利用相似比求对应边长 则, , 故答案为：5，，． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，垂直的定义等知识，由相似三角形的性质得出，再根据垂直的定义即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知，，， 若与相似， 则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质和勾股定理，利用分类讨论得出结果是解题的关键． 根据相似三角形的性质当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为或． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（），则 °． 【答案】45 【分析】本题考查相似三角形的性质，找到对应边和对应角是解题的关键．根据相似三角形的对应角相等及三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案是：． 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边 5．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知，若，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，若，且，，．则 ． 【答案】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在和中．已知，则 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意易得或，根据三角形的性质对应边成比例，据此即可求出答案． 【详解】解：，与相似， ∴或， 或， ，，， 或， ∴或． 故答案为：或． 8．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，，是边上的一点，是边上的一点、与端点不重合），如果与相似，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质，需要注意进行分类讨论．分为三种情况进行分析：当，则，，证明，即可解决问题；当，则，，接着证明，利用面积法可计算出；当， ，，证明为斜边上的中线，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， 当，如图， 则，， 为等腰三角形， ， ， ， ， 当，如图， 则，， 而， ， ， ， 当，如图， 则，， ， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴， ， 故答案为：6． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知两个相似三角形相似比是，那么对应高的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形相似比是， ∴对应高的比是， 故答案为： ． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，对应中线的比为，且BC边上的高为，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，特别是相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比． 设边上的高为，则根据相似三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：设边上的高为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的根． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的对应中线之比等于． 故答案为：． 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 13．（2025·上海徐汇·一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）若与的相似比为，且两个三角形的周长之和为，则较大三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质，结合相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：因为与的相似比为， 所以设的周长是，则的周长是， 则， 解得：， 那么较大三角形的周长是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果两个相似三角形的对应高之比是，则它们的周长之比是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应边上高的比比等于相似比直接解题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高之比是， ∴它们的周长之比是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，若与的周长比为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 17．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，若，，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， 与的面积比， ，， 与的面积比为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为. 故答案为：． 19．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 20．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 与对应角的角平分线之比为， 故答案为：． 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题 21．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知， ， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得 ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 23．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 24．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结交于G，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，   ， ， ， ， ，， ， ； （2）四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； （3）延长交于点，   ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先由，，则，，又，所以，然后根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（    ） A．135° B．90° C．45° D．22.5° 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，已知平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，根据题意得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵平行四边形和平行四边形相似，且平行四边形的面积是平行四边形的， ∴，即 ∵四边形，是平行四边形， ∴，，， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，点是的边AD上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，由平行四边形性质可得，，，则有，通过相似三角形性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴的周长为：， 故选：． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知锐角，，过点作于点，点在边上，交于点，，，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，余角性质，过点A作于点，过点作的延长线于点，过点作于点，则，，需要证明，进而可证，即可得，得到，即得，再由得，即得，最后根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作的延长线于点，过点作于点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．先求出每个小正方形的边长均为1，再延长，交于点，证出四边形是正方形，求出，利用勾股定理可得，然后证出，，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：∵8个小正方形的面积均为1， ∴每个小正方形的边长均为1， 如图，延长，交于点， 由题意得：，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，、相交于点，，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，根据性质可得，然后把，，代入求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东·阶段练习）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查三角形相似时周长比等于相似比，能够熟练运用性质是解题关键．利用三角形相似的性质解题即可． 【详解】解：∵与相似， ∴相似比为：， ∴周长的比为：， ∵的周长为：， ∴的周长为：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比与相似比的关系解答有关三角形的面积问题．由，， 得到， ，从而得到，，根据，得到，，从而求出和的面积，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ． 故答案为： ． 10．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点、分别在边、上，与相交于点．若，，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 通过设的长度为未知数，利用矩形性质得到与平行，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列出比例式求解． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵是高，， ∴是的高，，则． ∵， ∴，即． 解． 故答案为：．    11．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，根据题意分，，根据相似三角形的性质，列出比例式，求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时， ∴ ②当时， 设，则 ∴ 解得： 即或 综上所述，或或． 故答案为：或或． 12．（2026九年级·河北·专题练习）在中，D，E分别是边上的点，连接． （1）如图1，若，则 ， ； （2）如图1，若D是的中点，，那么和是相似三角形吗？ （填“是”或“否”），依据是 ； （3）如图2，当点E与点C重合时，若，则 ． 【答案】 6 是 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可证明，通过相似三角形的性质进行求解即可； （2）根据相似三角形的判定即可证明； （3）根据相似三角形的判定可证明，再根据对应边成比例，代入数据求解即可求出． 【详解】解：（1）∵若，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 故答案为：，； （2）∵是的中点，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，依据是：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， 故答案为：是，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． 三、解答题 13．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点D是边的四等分点（），交于点E，交于点F．，求四边形的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明出与相似是解决本题的关键． 根据两组对边分别平行可证明四边形为平行四边形，再由平行证明，可得边长比例由此可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点D是边的四等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为． 14．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）证明，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ，，， ， ； （2）解 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 15．（25-26九年级上·上海·阶段练习）中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查圆的综合问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题关键在于掌握判定定理． （1）根据圆周角定理即可得出，从而可求证； （2）由垂径定理可知，设半径为r，由勾股定理可列出方程求出r． 【详解】（1）证明：根据题意可得， ∴； （2）解：设的半径为，则． ∵， ∴． ∵， ∴，即， 解得：． 17．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上， ． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据平行得到，再结合已知即可证明； （2）先根据求出，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比平方求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图（1），在中，，，D是的中点，连接，过点C作交于点E，交于点F． (1)当时，如图（2）， ①求的值； ②求的值； (2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②2 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①证明，得到，进而得到，即可得出结果；②过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据，，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，即可求出； （2）过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，求出，证明，求出，，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）解：过点作于点，交于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 19．（2025·广西梧州·三模）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成横向并排放置的两个小正方形零件，如图（），求一个小正方形的周长． 【变式提升】 （3）若把它加工成矩形零件，如图（），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 【分析】（1）设正方形的边长为，证明四边形是矩形，得到，则，证明，据此根据相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，则， 同理可得 同理可证明，据此根据相似三角形的性质进行计算即可解答； （3）设，则，证明，可得，根据矩形面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， ， ，四边形是矩形， ∴， ∴， ， ，， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设，则， 同理可得 同理可证明， ，即， 解得：， ∴ 一个小正方形的周长为； （3）设，则， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 矩形面积 ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 20．（2025九年级·安徽·专题练习）如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）延长，交于点H，由平行四边形的性质证明得，结合已知得，设，则，，推理得出，F为中点，再利用中位线的性质可得结论； （2）①连接交于点G，证明，由已知得出，，进而得，即可得出答案； ②延长，交于点G，证明，得，再证明，，设，则，，，，进而求得，再由得关于t的方程，解方程进一步求解即可 【详解】（1）证明：延长，交于点H， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴F为中点， 又∵G为中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：①连接交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴； ②延长，交于点G， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形的性质 月录 A题型建模·专项突破 题型一、利用相似三角形对应角相等求角·· 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边..3 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例.......... 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例.9 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题..….10 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用相似三角形对应角相等求角 1.(2526九年级上全国课后作业)若△48C△4"9C,相似比为号且4C=3BC=44B=5,则 A'C'= B'C'= ,AB'= 2.(24-25九年级上河南新乡·期末)如图，在ABC中，CD⊥AB于点D,∠CAD=30°.若 △ABC∽△CBD,则∠CBD的度数为 B 3.(24-25九年级上浙江杭州期中)如图，已知LABC=∠D=90°，AC=10,BC=6,若ABC与 △BDC相似，则BD=」 A a B 4.(24-25九年级上·浙江金华·期中)如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（△ABC∽△EDF),则 ∠ABC+LACB=° 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ------- A 题型二、利用相似三角形对应边成比例求边 5.(25-26九年级上·福建莆田·阶段练习)已知△ABC∽△DEF,若∠B=40°，∠D=60°，则∠F的度数为 0 6.(25-26九年级上·山东济南阶段练习)如图，若△AED∽△ACB,且AE=6,EB=3,AD=7.则 AC= 6 E 3 B 7.(25-26九年级上·上海阶段练习)在ABC和△ABC,中.己知∠B=∠B,AB=6,BC=8,B,C,=4,则 AB,=时，ABC与△AB,C,相似 8.(2025九年级上·上海·专题练习)在ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,D是边AB上的一点，E是 边AC上的一点(D、E与端点不重合)，如果△CDE与ABC相似，那么CD的长是 题型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 9.(25-26九年级上·上海阶段练习)已知△ABC∽△A'B'C',顶点A、B、C分别与A八、B、C'对应， D分别是4BC和aAB'C'的角平分线，职=，AB=9,则AB 10.(24-25九年级上·湖南长沙阶段练习)已知两个相似三角形相似比是1：2，那么对应高的比是」 11.(25-26九年级上·全国·课后作业)已知△ABC∽△A'B'C',对应中线的比为2：√5，且BC边上的高为 55,则B'C'边上的高为 12.(24-25九年级下·上海·开学考试)如果两个相似三角形对应高之比是1：9，那么它们的对应中线之比等 于 题型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 13.(2025·上海徐汇·一模)两个相似三角形的对应面积比为1：2，则其对应周长比为 14.(24-25九年级上江苏淮安期末)若ABC与aDEF的相似比为2：3，且两个三角形的周长之和为45， 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则较大三角形的周长为 15.(24-25九年级上·福建泉州期中)如果两个相似三角形的对应高之比是4：5，则它们的周长之比 是」 16.(24-25九年级上，安徽安庆阶段练习)已知△ABC∽△DEF,若ABC与aDEF的周长比为2：3，则 BC:EF=. 题型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 17.(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)己知△ABC∽△A'B'C',若AB=4,A'B'=3,则ABC与 △A'B'C'的面积比为_ 18.(25-26九年级上辽宁大连阶段练习)已知ABC与aDEF相似且对应高的比为2：5，则ABC与 △DEF的面积比为 19.(25-26九年级上·上海普陀·阶段练习)如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长 之比为 20.(24-25九年级上·吉林·期中)已知△ABC∽△DEF,且面积比为9：16，则ABC与aDEF的对应角平 分线之比为 题型六、相似三角形的性质与判定综合问题 21.(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，平行四边形ABCD,DE交BC于F,交AB的延长线于E ,且∠EDB=∠C. D B (I)求证：△ADE∽△DBE; (2)若DE=20cm，BE=16cm,S△D8e=32,求SiBn的值. 22.(辽宁省大连市高新园区2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高. D B (I)求证：△ACD∽△CBD; (2)若AB=8,BD=2,求ABC的面积 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，AB为⊙0直径，C为00上一点，过点C作⊙0的切线， 与AB的延长线交于点D. (I)求证：∠BCD=∠A: (②)若BD=2,CD=4,求AC·BC的值 24.(25-26九年级上重庆阶段练习)已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F. A B (1) (2) (I)如图(1)，求证：△ABE∽△FCB; (2)如图(1)，若BC=4,求BF·BE的值； 收图2，港结0交C7于G,者C-C的他 DC B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1,25-26九年级上黑龙江大庆开学考试)已知在ABC中，DE∥BC,若化-则She:SD等 于() A.1:8 B.1:9 C.1:3 D.1:4 2.(25-26九年级上·广东佛山阶段练习)如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形ABC和 △EDF,则LABC+∠ACB的度数为() 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.135° B.909 C.45° D.22.5° 3.(25-26九年级上·浙江金华阶段练习)如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且 平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的好，则F0:E0的值为() D E F A.4 B. 3 c D. 4.(25-26九年级上浙江阶段练习)如图，点E是口ABCD的边AD上的一点，且DE:AE=1:2,连接BE并 延长交CD的延长线于点F,若DE=2,DF=3,则▣ABCD的周长为() B A.21 B.24 C.34 D.48 5.(25-26八年级上·浙江杭州阶段练习)已知锐角ABC,AB=AC,过点B作BE⊥AC于点E,点D在 BC边上，AD交BE于点F,∠BFD=2LEBC,2CD=3BD,若AD=a,AE=b,则S4Bc为() E A. b 6 C.h D.9 6.(25-26九年级上江苏无锡阶段练习)如图，一个由8个正方形组成的C”模板恰好完全放入一个矩形框 内，模板四周的直角顶点M,N,O,P,Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边 AB的长为() 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A. 20W13 B. 213 c.12f3 D.11v3 13 13 13 3 二、填空题 7.(25-26九年级上·上海阶段练习)如图，AB、CD相交于0点，∠A=∠C,0A=2,0B=4,0C=3, 则OD= O 8.(25-26九年级上山东阶段练习)ABC的三边长分别为2,3,4，另有一个与它相似的三角形△DEF, 其最长边为16，则aDEF的周长是 9.(25-26九年级上上海阶段练习)如图，ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且 DE∥AB,DF∥AC,若BD:DC=1:2,ABC的面积为9，则四边形AEDF的面积为 E B D 10.(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的一边PQ在边BC上， 另两个顶点M、N分别在边AC、AB上，AD与MN相交于点E.若BC=120,AD=80,PN:PQ=1:2 ,则PN= E M B P D O C 11.(25-26九年级上·上海阶段练习)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=10,点E在边BC上，若以点 A、B、E为顶点的三角形与△ECD相似，则BE=一 6/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D BL E 12.(2026九年级河北专题练习)在ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接DE, A D E B B C(E) 图1 图2 1)如图1.若∠4DE=∠4C8是-号4c=4,则8= SAADE= S四边形BDEC ； 2)如图1，若D是4B的中点，AD-24AC=3,4E-氵，那么ADE和△4CB是相似三角形吗？ (填“是”或“否”)，依据是 (3)如图2，当点E与点C重合时，若∠ACD=∠B,AD=6,BD=4,则AC= 三、解答题 13.(25-26九年级上陕西西安阶段练习)如图，在ABC中，点D是边AB的四等分点(AD<BD), DE‖AC交BC于点E,DF‖BC交AC于点F.AC=8,BC=I2,求四边形DECF的周长. 14.(25-26九年级上·上海·阶段练习)如图，在ABC中，CD⊥AB,∠ACB=90°. C B (I)求证：△CBD∽△ACD; (2)如果AC=3,BD=6,求AD的长 15.(25-26九年级上上海阶段练习)ABC中，DE∥BC,点F在BC边上，且D-B距 AB BC 7/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)求证：EF∥AB; (2)若ADE面积S△ADE=4,△EFC面积S.C=9,求SABC· 16.(25-26九年级上·江苏扬州阶段练习)如图，CD为O的直径，弦AB交CD于点E,连接BD、OB. E B (I)求证：△AEC∽aDEB; (②)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求O0的半径. 17.(25-26九年级上·上海青浦·阶段练习)如图，在ABC中，点D、E分别在AB,AC上， DE∥BC,∠CED=∠BDC. A D E B (I)求证：△DCE∽△CBD; (2)若BC=2CD,S。4DE=1,求S.ABc的值. 18.(25-26九年级上福建阶段练习)如图(1)，在ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC,D是AC的中点， 连接BD,过点C作CE⊥BD交BD于点E,交AB于点F. NC B 图(1) 图(2) (1)当n=1时，如图(2)， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求C的值： BE ②求 F的值， ②)如图(1，请直接写出巴的值（用含n的式子表示）. EC 19.（2025·广西梧州三模)综合与实践 一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm. E E K B G B B D H (a） (b) (c) 【特例初探】 (1)若把它加工成正方形零件如图(Q),使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上.这 个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 (2)若把它加工成横向并排放置的两个小正方形零件，如图(b),求一个小正方形的周长， 【变式提升】 (3)若把它加工成矩形零件，如图(C),当宽EG为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 20.(2025九年级安徽专题练习)如图1，口ABCD的对角线AC与BD交于点O,E为CD上一点， CE_2 CD5,点F在BC上. D A C 图1 图2 图3 诺F、5 BC6,G为AB中点，连接GF,AE,求证：GF∥AE; (2)连接EO,FO. ①痴图2，若。4BcD为矩形，且F0=FC,E0=8C,求授的植： ②如图3，若ABCD为菱形，F为BC中点，连接AF,AB,LAF0=∠CAE,4C=10,求4 的值 AC 9/9