专题1.1 锐角三角函数（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

专题1.1 锐角三角函数 教学目标 1.借助相似直角三角形的性质，探索并理解锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的定义，能准确表述直角三角形中边角的比值关系； 2.熟记 30°、45°、60° 角的三角函数值，能直接进行特殊角的三角函数计算； 3.能在给定直角三角形中，根据边长求锐角的三角函数值，或根据三角函数值判断边的关系 教学重难点 1.重点 （1）锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的概念建立； （2）30°、45°、60° 角的三角函数值及应用。 2.难点 （1）理解 “三角函数是锐角与比值的对应关系”，突破 “边的比值与角的大小无关” 的抽象认知； （2）特殊角三角函数值的推导过程（如利用等腰直角三角形、含 30° 的直角三角形性质）及记忆规律； （3）避免求三角函数值时 “对边、邻边” 的对应关系混淆。 知识点01 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： （1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． （2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． （3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． （4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【即学即练】 1．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A正确，符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 2．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义解答即可． 【详解】解：tanA=． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA． 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　注意： 　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 【即学即练】 1．下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断． 【详解】解：，，，， 故选：D． 2．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 1 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，解题关键是熟记特殊三角函数的值． 利用特殊三角函数的值求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）， 故答案为：． 知识点03 锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：， ； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 注意： 　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【即学即练】 1．在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：D． 题型01 锐角三角函数的概念 【典例1】如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 【变式3】如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由三角函数定义可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D    在中，, ∴， ∴点到的距离为，故B正确． 故选：B． 题型02 求角的函数值 【典例2】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个角的正弦值，根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【变式1】已知在中，，，，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先求解，再利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ，故A正确； ，故B错误； ；故C错误； ，故D错误； 故选：A． 【变式3】在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故答案为：． 题型03 已知函数值求边长 【典例3】如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 【变式1】在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 【变式2】如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值求线段长，涉及三角函数定义等知识，根据题意，由三角函数定义得到，代值列式求解即可得到答案，熟记三角函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，已知，，，则，解得， 故选：C． 【变式3】在中，，则的值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正切函数，根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型04 特殊角三角函数值 【典例4】计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式1】（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】的值等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3】的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．根据特殊角锐角函数值解答即可． 【详解】解：． 故选：D 题型05 同角三角函数的关系 【典例5】在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【变式1】已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式2】已知，是锐角，则 . 【答案】 【分析】根据求得的值，再根据求出即可． 【详解】解：，是锐角， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系． 【变式3】在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，根据勾股定理求出的长，再根据即可 【详解】解：如图所示，， 设，    则， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同角的三角函数，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法． 题型06 特殊角三角函数值的混合运算 【典例6】计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)3 【分析】本题考查实数的运算以及特殊三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）利用特殊角的三角函数值计算可得到结果； （2）利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的运算法则即可计算得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】计算：． 【答案】1 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，以及实数的运算．直接利用乘方以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【变式2】计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的乘法，熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式法则是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数幂及负整数指数幂的意义、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键． 先算乘方，再化简绝对值、代入特殊角的函数值算乘法，最后加减． 【详解】解： ． 题型07 三角函数的综合 【典例7】阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 【变式1】如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值． 【答案】， 【分析】根据直角三角形中，，，得出长，再结合勾股定理求出，进而利用正切函数值定义求出． 【详解】解：在中，，，， ，即； 根据勾股定理可得, ． 【点睛】本题主要考查三角函数值求线段长及求三角函数值，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【变式2】如图，在中，于点D． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义解答； （2）根据相似三角形的判定定理证明△BCD∽△CAD，根据相似三角形的性质求出CD，根据正切的定义解答． 【详解】（1）∵， ∵， ∴，在中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）可知， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式3】如图，在中，，，是边上一点，且.    （1）试求的值； （2）试求的面积. 【答案】（1）；（2）的面积. 【分析】（1）作等腰三角形底边上的高AH与BD交点为E，并根据勾股定理求出AH，即可求得的值； （2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，利用，，设DF=x，分别表示出BF和FC求得DF即可求得面积． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为点，交于点.   ，， ， 在中，， 在中，. （2）过点作，垂足为点，   ，， 设， 在中，，则， ∴， 在中，，则， ，即， 解得. 的面积. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用三角函数的意义，勾股定理以及三角形的面积来解决问题． 一、单选题 1．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 2．的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值，度数之和为90度的两个角互余，据此可得的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 5．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 8．计算： ． 【答案】5 【分析】本题主要考查零指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先求绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算加减即可． 【详解】解：原式； 故答案为：5． 9．在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据题意可得，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在中，，那么锐角的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数． 【详解】解：∵，为锐角，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．分别求出下列直角三角形中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】； 【分析】根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，再根据锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】解：对于图1中的直角三角形，由勾股定理，得， ； 对于图2中的直角三角形，由勾股定理，得， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义是解题关键． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （2）分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后合并． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)设，的半径为r，则， 利用勾股定理解答即可． (2) 连接，根据直径于点E，得到，，根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的弦，直径于点E，且， ∴，. 设，的半径为r， 则， 连接， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如上图，连接， ∵直径于点E，， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 锐角三角函数 教学目标 1.借助相似直角三角形的性质，探索并理解锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的定义，能准确表述直角三角形中边角的比值关系； 2.熟记 30°、45°、60° 角的三角函数值，能直接进行特殊角的三角函数计算； 3.能在给定直角三角形中，根据边长求锐角的三角函数值，或根据三角函数值判断边的关系 教学重难点 1.重点 （1）锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的概念建立； （2）30°、45°、60° 角的三角函数值及应用。 2.难点 （1）理解 “三角函数是锐角与比值的对应关系”，突破 “边的比值与角的大小无关” 的抽象认知； （2）特殊角三角函数值的推导过程（如利用等腰直角三角形、含 30° 的直角三角形性质）及记忆规律； （3）避免求三角函数值时 “对边、邻边” 的对应关系混淆。 知识点01 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 注意： （1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． （2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． （3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． （4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【即学即练】 1．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　注意： 　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 【即学即练】 1．下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ； （2） ． 知识点03 锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：， ； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 注意： 　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【即学即练】 1．在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 题型01 锐角三角函数的概念 【典例1】如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（    ）    A． B． C． D． 题型02 求角的函数值 【典例2】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在中，，，，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】在中，，则的值为 ． 题型03 已知函数值求边长 【典例3】如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【变式1】在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A．3 B．5 C． D． 【变式3】在中，，则的值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 题型04 特殊角三角函数值 【典例4】计算的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式2】的值等于（   ） A． B． C． D．1 【变式3】的值是（　　） A． B． C． D． 题型05 同角三角函数的关系 【典例5】在中，，若，则的值为 ． 【变式1】已知，如果，那么 ． 【变式2】已知，是锐角，则 . 【变式3】在中，，若，则的值为 ． 题型06 特殊角三角函数值的混合运算 【典例6】计算 (1) (2) 【变式1】计算：． 【变式2】计算下列各式： (1)； (2)． 【变式3】计算： 题型07 三角函数的综合 【典例7】阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【变式1】如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值． 【变式2】如图，在中，于点D． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【变式3】如图，在中，，，是边上一点，且.    （1）试求的值； （2）试求的面积. 一、单选题 1．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 6．的值等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： ． 9．在中，，，，则的度数为 ． 10．在中，，那么锐角的度数是 ． 三、解答题 11．分别求出下列直角三角形中的正弦值、余弦值和正切值． 12．计算： (1)； (2)． 13．如图，为的弦，直径于点E，且，点F为上的一点． (1)求证：； (2)求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $