期中专项训练02 绝对值的性质与几何意义专题复习（9大专项题型）2025-2026学年七年级数学上学期新教材人教版

专练02 绝对值的性质与几何意义 【题型1】利用绝对值的非负性求值 1．（2024-2025平顶山月考）若|a+9|+|b﹣8|＝0，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+9|+|b﹣8|＝0， ∴a+9＝0，b﹣8＝0， ∴a＝﹣9，b＝8， ∴（a+b）2025＝（﹣9+8）2025＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 2．（2024-2025温江区校级月考）如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1 【答案】B． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 3．（2024-2025灞桥区校级月考）若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a﹣b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+1|和|b﹣2|互为相反数， ∴|a+1|+|b﹣2|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 4．（2024-2025未央区校级月考）已知|a+3|与|b﹣2|互为相反数． （1）则a＝ 　﹣3　 ，b＝ 　2　 ； （2）若|x+a|＝b，求x的值． 【答案】（1）﹣3，2； （2）5或1． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a、b的值即可； （2）将（1）中的a＝﹣3，b＝2代入|x+a|＝b，再根据绝对值的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）∵|a+3|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a+3|+|b﹣2|＝0， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 故答案为：﹣3，2； （2）当a＝﹣3，b＝2时，|x+a|＝b，即|x﹣3|＝2， ∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， 故答案为：5或1． 【点评】本题考查绝对值的非负性，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 【题型2】已知参数范围化简绝对值 5．（2024-2025西湖区校级月考）若有理数a＞0，b＜0，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据已知条件，去掉绝对值符号求出即可． 【解答】解：根据题意可知，原式1﹣1＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 6．（2024-2025紫阳县月考）若a＜0，且|a|＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【分析】已知a＜0，说明a是负数，再结合|a|＝2，根据负数的绝对值是它的相反数这一性质，即可求出a的值． 【解答】解：∵|a|＝2， ∴a＝2或a＝﹣2， 又∵a＜0， ∴a＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的定义是解题的关键． 7．（2024-2025昭平县期末）已知a＜0，则计算|2﹣a|＝（　　） A．2+a B．2﹣a C．a﹣2 D．2 【答案】B 【分析】先判断2﹣a＞0，再去绝对值符号即可得解． 【解答】解：根据题意可知，2﹣a＞0， ∴|2﹣a|＝2﹣a． 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 8．（2024-2025房山区期末）若1＜a＜4，则化简|1﹣a|+|4﹣a|的结果为（　　） A．2a﹣5 B．5﹣2a C．3 D．﹣3 【答案】C 【分析】先根据题意判断出1﹣a与4﹣a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：由条件可知1﹣a＜0，4﹣a＞0， ∴原式＝a﹣1+4﹣a＝3． 故选：C． 【点评】本题考查的是绝对值，整式的加减计算，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型3】未知参数范围化简绝对值 9．（2024-2025雁塔区校级月考）可能的值有 　4　 个． 【答案】4． 【分析】根据题意分六种情况讨论即可． 【解答】解：根据绝对值的化简和有理数的加减运算可得： ①当a＞0、b＞0时， ； ②当a＜0、b＜0时， ； ③当a＞0、b＜0，|a|＞|b|时， ； ④当a＞0、b＜0，|a|＜|b|时， ； ⑤当a＜0、b＞0，|a|＞|b|时， ； ⑥当a＜0、b＞0，|a|＜|b|时， ； 故答案为：4． 【点评】本题考查了绝对值的化简和有理数的加减运算，正确进行计算是解题关键． 10．（2024-2025渠县校级期中）三个有理数a、b、c满足abc＞0，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质分几种情况解答即可． 【解答】解：∵abc＞0， ∴a，b，c都是正数或两个为负数数， ①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：1+1+1＝3； ②a，b，c有一个为正数数，另两个为负数时，设a＜0，b＜0，c＞0， 则1﹣1+1＝﹣1． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． 11．（2024-2025锦江区校级期中）阅读下列材料：．当a＞0时，；当a＜0时，．运用以上结论解决下面问题： （1）已知x，y是有理数，当xy＞0时，则 　2或﹣2　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，且xyz＜0，求的值． 【答案】（1）2或﹣2． （2）1或﹣3． （3）1或﹣3． 【分析】（1）由xy＞0，可判断存在x＞0，y＞0和x＜0，y＜0两种情形，分别化简求值即可； （2）当xyz＜0时，则x、y、z中必有一个为负，或者三个都为负，再分类讨论化简即可； （3）由x+y+z＝0，则得y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，x+y＝﹣z，又xyz＜0，则x、y、z中只有一个为负，其余为正，再分类讨论化简即可． 【解答】解：（1）∵xy＞0， 则当x＞0，y＞0时，1+1＝2； 当x＜0，y＜0时，1+（﹣1）＝﹣2； 故答案为：2或﹣2． （2）当xyz＜0时，则x、y、z中必有一个为负，或者三个都为负， 故1+1+1＝1， 或1﹣1﹣1＝﹣3． 综上，的值为1或﹣3． （3）∵x+y+z＝0， ∴y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，x+y＝﹣z， 又xyz＜0，则x、y、z中只有一个为负，其余为正， 则x为负时， 1﹣1+1＝1； y为负时， ＝﹣1+1+1＝1； z为负时， ＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； 综上， 为1或﹣3． 【点评】本题考查了绝对值的性质及化简，去绝对值符号时一定要先判断绝对值号里面数或式的符号，理解并掌握绝对值的化简是解题的关键． 12．（2024-2025姜堰区校级月考）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，　1　 ；当a＝﹣2时，　﹣1　 ； （2）若有理数a不等于零，求的值； （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】（1）1；﹣1； （2）1或﹣1； （3）±2或0．． 【分析】（1）直接求绝对值，利用有理数的除法计算即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况，结合有理数的除法运算法则求解即可； （3）分a、b同号和a、b异号求解即可． 【解答】解：（1）a＝3时，1；a＝﹣2时，1； 故答案为：1；﹣1； （2）a＞0时，； a＜0时，， ∴的值为1或﹣1； （3）当a，b同为正数时，； 当a，b异号时，0． 当a，b同是负数时，， ∴的值为±2或0． 【点评】本题考查绝对值的意义、有理数的四则混合运算，理解绝对值的意义是解答的关键． 【题型4】结合数轴位置化简绝对值 13．（2024-2025荔湾区校级期末）已知abc＜0，a+b+c＞0，且x，则x的值为（　　） A．0 B．0或1 C．0或﹣2或1 D．0或1或﹣6 【答案】A 【分析】由题意可得a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0，再运用绝对值知识对各种情况进行求解． 【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0， ∴a＜0，b＞0，c＞0或a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0， 当a＜0，b＞0，c＞0时， x ＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1 ＝0， 同理可得，当a＞0，b＜0，c＞0或a＞0，b＞0，c＜0， x＝0， ∴当abc＜0，a+b+c＞0时，x＝0， 故选：A． 【点评】此题考查了运用绝对值进行实数化简、计算的能力，关键是能根据题意确定a，b，c的符号情况，并能运用绝对值进行准确地计算． 14．（2024-2025冷水滩区校级月考）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：|3a+b|﹣|c﹣2a|+|c+2b|． 【答案】a+3b+2c． 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征，得出绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：由所给数轴可知， c＜0＜a＜b，且|b|＞|c|， 则3a+b＞0，c﹣2a＜0，c+2b＞0， 所以原式＝3a+b﹣（2a﹣c）+c+2b ＝3a+b﹣2a+c+c+2b ＝a+3b+2c． 【点评】本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 15．（2024-2025深圳期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　＜　 0，a+b　＜　 0，c﹣a　＞　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键． 16．（2024-2025西岗区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c　＝　 0；a+b　＜　 0；c﹣b　＞　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴上a、b、c三点的位置即可得出结论； （2）根据（1）中的结论去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）∵a、c两点在原点的异侧，|a|＝|c|， ∴a、c互为相反数， ∴a+c＝0； ∵a＜b＜0， ∴a+b＜0； ∵c＞0，b＜0， ∴c﹣b＞0． 故答案为：＝，＜，＞； （2）∵a+c＝0，a+b＜0，c﹣b＞0， ∴原式＝0﹣a﹣b+c﹣b＝﹣a﹣2b+c． 【点评】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 【题型5】多绝对值的零点分段化简 17．（2024-2025雁塔区校级月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x+y的取值范围． 【答案】﹣3≤x+y≤5． 【分析】先根据数轴上两点间距离的含义求出﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，进而可求出x+y的取值范围． 【解答】解：|x+1|+|x﹣2|表示在数轴上数x表示的点到数﹣1表示的点和数2表示的点的距离之和，此距离之和最小是2﹣（﹣1）＝3， |y﹣3|+|y+2|表示在数轴上数y表示的点到数﹣2表示的点和数3表示的点的距离之和，此距离之和最小是3﹣（﹣2）＝5， 由题意可得： ﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3， ∴x+y的最大值为2+3＝5，最小值为﹣1+（﹣2）＝﹣3． ∴x+y的取值范围为：﹣3≤x+y≤5． 【点评】本题考查了正负数、相反数、绝对值的基本概念，正确进行计算是解题关键． 18．（2024-2025凤凰县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　6　 ； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意给出的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝6； （2）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝±5， ∴x＝7或﹣3； （3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和， ∴﹣2≤x≤1， ∴x＝﹣2或﹣1或0或1． 故答案为（1）6；（2）7或﹣3； 【点评】本题考查绝对值的定义，涉及绝对值的几何意义． 19．（2024-2025白云区校级期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）x＜﹣1（2）﹣1≤x＜2（3）x≥2，从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值； （2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|； （3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解． 【答案】（1）|x+2|和|x﹣4|的零点值分别是x＝﹣2和x＝4；（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝6；当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；（3）整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． 【分析】（1）根据材料例题进行操作即可； （2）利用分内讨论的思想，当x＜﹣2时；当﹣2≤x＜4时；当x≥4时，进行讨论； （3）先求出﹣2≤x≤4，再取整数解即可． 【解答】解：（1）∵|x+2|＝0， ∴x+2＝0， ∴x＝﹣2． ∵|x﹣4|＝0， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4； （2）解：当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝6； 当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2； （3）解：∵|x+2|+|x﹣4|＝6， ∴﹣2≤x≤4， ∵x为整数， ∴方程的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． 【点评】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容． 20．（2024-2025西城区校级期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道|x|，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而在化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x+2|和|x﹣4|的零点值是 　﹣2和4　 ； （2）化简：|x+2|+|x﹣4|； （3）解方程：|x+2|+|x﹣4|＝10． 【答案】（1）﹣2和4； （2）当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，原式＝（x+2）﹣（x﹣4）＝6； 当x≥4时，原式＝（x+2）+（x﹣4）＝2x﹣2； （3）x＝﹣4或x＝6． 【分析】（1）根据零点值定义列方程求解； （2）根据零点值，分类讨论求解； （3）根据（2）中结论列方程求解． 【解答】解：（1）令x+2＝0和x﹣4＝0， 解得：x＝﹣2和x＝4， 故答案为：﹣2和4； （2）由x+2＝0得x＝﹣2，由x﹣4＝0得x＝4， ①当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； ②当﹣2≤x＜4时，原式＝（x+2）﹣（x﹣4）＝6； ③当x≥4时，原式＝（x+2）+（x﹣4）＝2x﹣2； （3）①当x＜﹣2时，方程可化为：﹣2x+2＝10，解得：x＝﹣4； ②当﹣2≤x＜4时，方程可化为：6＝10，无解； ③当x≥4时，方程可化为：2x﹣2＝10，解得：x＝6． 【点评】本题考查了绝对值，分类讨论是解题的关键． 【题型6】单绝对值的最值问题 21．（2024-2025肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质得出x的值． 【解答】解：∵|x+1|≥0， ∴当x+1＝0时，式子|x+1|+2取最小值， 解得：x＝﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 22．（2024-2025贵港期末）如果x为有理数，式子|x+1|﹣2025存在最小值，则这个最小值是（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．﹣2023 D．﹣2022 【答案】A 【分析】根据|x+1|≥0得出当x＝﹣1时，式子|x+1|﹣2025存在最小值． 【解答】解：由绝对值的非负性可得|x+1|≥0， ∴当x＝﹣1时，式子|x+1|﹣2025存在最小值，这个最小值是﹣2025， 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值性质是关键． 23．（2024-2025新城区校级月考）如果x为有理数，式子1066﹣|x﹣1066|存在最大值，则这个最大值是　1066　 ． 【答案】1066． 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【解答】解：∵x为有理数， ∴|x﹣1066|≥0， ∴|x﹣1066|的最小值是0，此时1066﹣|x﹣1066|存在最大值， 解得x＝1066， 即当x＝1066时，1066﹣|x﹣1066|有最大值，最大值为1066， 故答案为：1066． 【点评】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有|a|≥0是解答本题的关键． 24．（2024-2025长汀县期末）如果x为有理数，式子2025﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性得出|x+4|的最小值是0，从而得出式子2025﹣|x+4|的最大值． 【解答】解：∵|x+4|≥0， ∴|x+4|的最小值是0， ∴2025﹣|x+4|的最大值是2025﹣0＝2025， 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【题型7】多绝对值之和的最小值 25．（2024-2025南通校级月考）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）应用一：已知如图，点A在数轴上表示为﹣2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为　|x+2|　 ． （2）应用二：若点B表示的整数为x，则当x为　﹣1　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （3）应用三：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出|x+5|+|x﹣2|的最小值为　7　 ，此时所有符合条件的整数x的和为　﹣12　 ． （4）应用四：令M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|，则M的最小值为　11　 ，当M取得最小值时，整数x的值是　﹣2，﹣1，0，1　 ． 【答案】（1）|x+2|；（2）﹣1；（3）7；﹣12；（4）11；﹣2，﹣1，0，1． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和﹣2的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和﹣2的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|分为两组数之和，分别为|x+2|+|x﹣1|和|x+5|+|x﹣3|，分别表示x的范围，据此解答即可． 【解答】解：（1）AB两点的距离可以表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， 故答案为：|x+2|； （2）∵|x+4|与|x﹣2|的值相等， ∴表示x的数是表示4和﹣2的数的中点， ∴， 故答案为：﹣1； （3）解：当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|有最小值，最小值为x+5+2﹣x＝7， ∴整数x有﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ∴所有符合条件的整数x的和为﹣5+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2 ＝﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+1+2 ＝﹣12， 故答案为：7；﹣12； （4）将M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|分为两组： |x+5|+|x﹣3|（最小值为3﹣（﹣5）＝8，x在﹣5到3之间）； |x+2|+|x﹣1|（最小值为1﹣（﹣2）＝3，x在﹣2到1之间）； 由上述可得，当x在﹣2到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为8+3＝11， ∴整数x的值为﹣2到1之间的整数：﹣2，﹣1，0，1． 故答案为：11；﹣2，﹣1，0，1． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． 26．（2024-2025海安市期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么|a﹣b|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑|5﹣（﹣6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示﹣6和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而|5﹣（﹣6）|＝11，因此不难看出|5﹣（﹣6）|就是数轴上表示﹣6和5两点间的距离，|a﹣b|的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． （1）当|x|＝2时，求出x的值； （2）设Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； （3）设Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，当Q的值最小时，求整数x所有可能的值的和． 【答案】（1）x或； （2）Q的最大值为11； （3）6075． 【分析】（1）当|x|＝2时，则x±2解方程，求出x的值即可； （2）由Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，分三种情况讨论，求得最大值即可； （3）Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，分三种情况讨论，求取得最小值时x的范围即可． 【解答】解：（1）当|x|＝2时， 则x±2， 解得：x或； （2）Q＝|x+6|﹣|x﹣5|存在最大值为11； 理由：分三种情况： 当x≤﹣6时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣6+x﹣5＝﹣11； 当﹣6＜x≤5时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝x+6+x﹣5＝2x+1， 则﹣11＜2x+1≤11； 当x＞5时，Q＝|x+6|﹣|x﹣5|＝x+6﹣（x﹣5）＝11； ∴Q的最大值为11； （3）Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|， 当x＜﹣2024时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝﹣x﹣2023﹣2024﹣x+2（2026﹣x） ＝﹣4x+5＞8091 当﹣2024≤x＜﹣2023时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝﹣x﹣2023+2024+x+2（2026﹣x） ＝4053﹣2x， 而8099≤4053﹣2x＜8101， 当﹣2023≤x≤2026时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝x+2023+2024+x+2（2026﹣x） ＝8099， 当＞2026时， Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x| ＝x+2023+2024+x+2（x﹣2026） ＝4x﹣5＞8099， ∴Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|的值最小时为8099， 此时﹣2023≤x≤2026， ∴整数x所有可能的值的和为： ﹣2023﹣2022﹣2021﹣2020﹣...﹣2﹣1+0+1+2+...+2023+2024+2025+2026 ＝0+2024+2025+2026 ＝6075． 【点评】本题考查非负数的性质、数轴、绝对值的意义，分类讨论是解题的关键有一定的难度，理解题意是解决问题的关键． 27．（2024-2025平顶山月考）在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|． 实际上，数轴上表示数﹣3的点与原点的距离可记作|﹣3﹣0|；数轴上表示数﹣3的点与表示数2的点的距离可记作|﹣3﹣2|，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离可记作　5　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间距离可记作　4　 ； （2）数轴上表示x与﹣1的两点A和B之间的距离可记作　|x+1|　 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为　1或﹣3　 ； （3）依据上题思路，可求得|x+1012|+|x﹣1013|的最小值为　2025　 ． 【答案】（1）5，4； （2）|x+1|，1或﹣3； （3）2025． 【分析】（1）数轴上两个数点之间的距离就是大数减小数； （2）不知道数字的就利用将两个数的差放入绝对值，再进行计算； （3）当x是﹣1012～1013范围内的数时，能取到最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离：7﹣2＝5， 数轴上表示1和﹣3的两点之间距离：1﹣（﹣3）＝1+3＝4， 故答案为：5，4； （2）数轴上表示x与﹣1的两点A和B之间的距离可记作：|x+1|， 当|x+1|＝2时， x+1＝2，解得，x＝1， x+1＝﹣2，解得，x＝﹣3， 故答案为：|x+1|，1或﹣3； （3）当﹣1012≤x≤1013时，能取到最小值，|x+1012|+|x﹣1013|＝1013﹣（﹣1012）＝2025． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离利用绝对值的几何意义进行训练． 28．（2024-2025如皋市校级月考）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么A到B的距离是　4　 ，A到C的距离是　8　 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　|x+3|+|x﹣1|　 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是　5或﹣3　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是　4　 ； 当x的值取在　1≤x≤3　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是　2　 ； 当x的取值是　3　 时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是　4　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值． 【答案】（1）4，8； （2）|x+3|+|x﹣1|； （3）①5或﹣3；②4，1≤x≤3，2，3，4； （4）1025156． 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据数轴上两点距离的计算方法得到A、B之间的距离为|x+3|，A、C之间的距离为|x﹣1|即可； （3）①分两种情况进行解答即可；②根据x的不同取值范围得出答案即可； （4）当x＝1013时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值，再计算（1+2+3+…+1011+1012）×2即可． 【解答】解：（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么A到B的距离是|﹣5﹣（﹣1）|＝4，A到C的距离是|﹣5﹣3|＝8， 故答案为：4，8； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|， 故答案为：|x+3|+|x﹣1|； （3）①当x＜﹣1时，|x﹣3|+|x+1|＝8即3﹣x﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣3， 当x＞3时，|x﹣3|+|x+1|＝8即x﹣3+x+1＝8，解得x＝5， 所以满足的x的所有值是5或﹣3， 故答案为：5或﹣3； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是|﹣3﹣1|＝4， 故答案为：4； 当x的值取在1≤x≤3的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是|﹣1﹣（﹣3）|＝2， 故答案为：1≤x≤3，2； 当x的取值是3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是|1﹣5|＝4， 故答案为：3，4； （4）当x＝1013时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值为（1+2+3+…+1011+1012）×2＝1025156． 【点评】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 【题型8】多绝对值之差的最大值 29．（2024-2025江北区校级月考）已知有理数x，y满足|x+2|+|3﹣x|+|y﹣4|+|1+y|＝10，则x﹣y的最大值是　4　 ． 【答案】4 【分析】先计算|x+2|+|3﹣x|的最小值，|y﹣4|+|1+y|最小值，然后根据题意确定x，y的取值范围，最后求x﹣y的最大值． 【解答】解：∵|x+2|+|3﹣x|＝|x﹣（﹣2）|+|x﹣3|， ∴|x+2|+|3﹣x|表示求x到﹣2，3的距离的和， ∴当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|3﹣x|的最小值为3﹣（﹣2）＝5， 如图： ； ∵|y﹣4|+|1+y|＝|y﹣4|+|y﹣（﹣1）|， ∴|y﹣4|+|1+y|表示求y到﹣1，4的距离之和， ∴当﹣1≤y≤4时，|y﹣4|+|1+y|的最小值为4﹣（﹣1）＝5， 如图： ； ∵|x+2|+|3﹣x|+|y﹣4|+|1+y|＝5+5＝10， ∴|x+2|+|3﹣x|+|y﹣4|+|1+y|的最小值为10， 即﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤4， 当x﹣y取最大值时，x取最小值，y取最大值， ∴当x＝3，y＝﹣1时，x﹣y的最大值为3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了绝对值的几何意义，绝对值的性质，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 30．（2024-2025长寿区期中）当x满足条件 x≤﹣1　 时，|x﹣1|﹣|x+1|取得最大值，最大值为 　2　 ；当x满足条件 x＝2　 时，取得最小值，最小值为 　　 ． 【答案】x≤﹣1；2；v＝2；． 【分析】根据绝对值的代数意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【解答】解：根据题意可知， 当x＜﹣1时， |x﹣1|﹣|x+1|＝﹣x+1+x+1＝2为定值； 当﹣1≤x＜1时， |x﹣1|﹣|x+1|＝﹣x+1﹣x﹣1＝﹣2x，故x＝﹣1时，有最大值2； 当x≥1时， |x﹣1|﹣|x+1|＝x﹣1﹣x﹣1＝﹣2为定值； 故当x＜1时，|x﹣1|﹣|x+1|有最大值，且最大值为2； 当x＜﹣3时， ； 当﹣3≤x≤2时， ，则x＝2时，有最小值； 当x＞2时， ； 故当x＝2时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：x≤﹣1；2；x＝2；． 【点评】本题考查了绝对值的几何意义，掌握|m﹣n|是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离是解题关键． 31．（2024-2025南部县校级期中）下列说法正确的有（　　） ①已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则的值为1； ②若a、b、c为非零有理数，且，则的值为1或﹣3； ③已知x≤5，则|x+1|﹣|x﹣5|的最大值是6，最小值是﹣6； ④若|a|＝|b|且，则式子． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由abc＞0可得a、b、c同时为正数或两负一正，进而由b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c代入计算即可判断①；由得a、b、c同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分﹣1≤x≤5和x＜﹣1化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由|a|＝|b|得a＝b或a＝﹣b，再分别计算可判断④，综上即可求解． 【解答】解：①由题意可得：b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 又∵abc＞0， ∴a、b、c同时为正数或两负一正， 当a、b、c同时为正数时， ； 当a、b、c两负一正时， ； ∴原式的值为﹣3或1，故①错误； ②∵， ∴a、b、c同时为负数或两正一负， 当a、b、c同时为负数时， ； 当a、b、c两正一负时， ， ∴的值为1或﹣3，故②正确； ③当﹣1≤x≤5时， |x+1|﹣|x﹣5|＝x+1﹣（5﹣x）＝2x﹣4， 此时最大值为2×5﹣4＝6，最小值为2×（﹣1）﹣4＝﹣6； 当x＜﹣1时， |x+1|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣1﹣（5﹣x）＝﹣6； ∴x≤5时，|x+1|﹣|x﹣5|的最大值是6，最小值是﹣6，故③正确； ④当|a|＝|b|时，则a＝b或a＝﹣b， 当a＝b时，a﹣b＝0，与矛盾，不合题意； 当a＝﹣b时，a+b＝0，， ∴，或，， ∴，， ∴，故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 32．（2024-2025武进区校级月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　3　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　4　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x＝ 　1或﹣3　 ． （2）探索规律 ①求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 　1　 ； ②|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是 　5　 ； （3）知识迁移：|x+3|﹣|x﹣4|的最大值是 　7　 ． 【答案】（1）①3，4；②|x+1|，1或﹣3； （2）①1；②5； （3）7． 【分析】（1）①根据绝对值的几何意义计算即可得解；②由题意可得|x+1|＝2，解方程即可得解； （2）①根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解；②根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解； （3）根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解． 【解答】解：（1）①根据绝对值的几何意义计算可得： |5﹣2|＝3，|﹣3﹣1|＝4． 故答案为：3，4； ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，解得x＝1或x＝﹣3，即那么x为1或﹣3； 故答案为：|x+1|，1或﹣3； （2）①当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣2|＝1﹣x+2﹣x＝3﹣2x＞1， 当1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1， 当x＞2时，|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＞1， 故|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是1． 故答案为：1； ②当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2+1﹣x+3﹣x＝2﹣3x＞8， 当﹣2≤x＜1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+1﹣x+3﹣x＝6﹣x＞5， 当1≤x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+3﹣x＝4+x≥5， 当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7， 故|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是5； 故答案为：5； （3）当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣3﹣（4﹣x）＝﹣x﹣3﹣4+x＝﹣7， 当﹣3≤x≤4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（4﹣x）＝x+3﹣4+x＝2x﹣1≤7， 当x＞4时，|x+3|﹣|x﹣4|＝x+3﹣（x﹣4）＝x+3﹣x+4＝7， 故|x+3|﹣|x﹣4|最大值是7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型9】绝对值的实际应用问题 33．（2024-2025碑林区校级月考）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 发现问题：|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P分别表示的是﹣1，2，x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． 解决问题： （1）数轴上，点4到点﹣3的距离是　7　 ． （2）|x+3|+|x﹣4|的最小值是　7　 ． （3）实际应用：在2025年的九三阅兵仪式上，无人运输车及其它智能装备成为同学们关注的焦点．已知某品牌无人运输车的载重量为120千克，某区只有一台该品牌的无人运输车负责配送物资．现有A、B、C、D四个物资接收点位于同一直线上，相邻两个接收点之间的距离均为30千米，各接收点的物资需求分别为：A点240千克、B点360千克、C点360千克、D点120千克．为优化运输效率，在该直线上选址设立一个物资运输基地P，请问，将基地P设在何处，才能使运输车向所有接收点运输所需物资的总路程最短？并求出此最短总路程． 【答案】（1）7； （2）7； （3）基地P设在B点时，总路程最短，最短总路程为420千米． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式（两数差的绝对值）计算； （2）利用绝对值的几何意义，|x+3|+|x﹣4|的最小值表示有理数x到﹣3的距离与表示x到4的距离之和； （3）通过建立数轴，利用绝对值的几何意义，设基地P的位置为x，分区间讨论总路程的函数表达式，计算各区间内的路程并比较，确定当x＝30时总路程最短． 【解答】解：（1）|4﹣（﹣3）|＝7； 故答案为：7； （2）要使|x+3|+|x﹣4|的值最小， 即x到﹣3和4的距离最短， ∴最小值是﹣3到4的距离7； 故答案为：7； （3）设A点在数轴上的位置为0，则B点位置为30，C点位置为60，D点位置为90，设基地P的位置为x． 总路程S＝（240÷120）×2|x﹣0|+（360÷120）×2|x﹣30|+（360÷120）×2|x﹣60|+（120÷120）×2|x﹣90|， 当x≤30时， 化简得S＝﹣10x+720， ∴当x＝30时，S＝﹣10×30+720＝420， 当30＜x≤60时， 化简得S＝2x+360， ∴当x＝30时，S＝2×30+360＝420， 当60＜x≤90时， 化简得S＝14x﹣360， ∴当x＝60时，S＝14×60﹣360＝480， 综上，当x＝30，（基地P设在B点）时，总路程最短，最短总路程为420千米． 【点评】本题考查数轴与绝对值的几何意义及实际应用，解题关键是利用数形结合思想，结合绝对值的几何意义分析问题． 34．（2024-2025宜兴市校级月考）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． 例如数轴上表示数3和8的两点距离为|3﹣8|＝　4　 ； |x+4|的意义可理解为数轴上表示数x 和数　﹣4　 的两点之间的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在　点A、点B之间　 处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在　点B 处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在　点B、点C之间　 处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ （3）结论应用（填空）： ①代数式|x+2|+|x﹣6|的最小值是　8　 ，此时x的范围是　﹣2≤x≤6　 ； ②代数式|x﹣3|+|x+5|+|x+4|的最小值是　8　 ，此时x的值为　﹣4　 ； ③代数式|x﹣7|+|x+5|+|x+3|+|x﹣4|的最小值是　19　 ，此时x的范围是　﹣3≤x≤4　 ． 【答案】（1）5；x；﹣4； （2）①点A、点B之间； ②点B③点B、点C之间； （3）①8；﹣2≤x≤6； ②8；﹣4； ③19；﹣3≤x≤4． 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【解答】解：（1）|3﹣8|＝|﹣5|＝5， |x+4|＝|x﹣（﹣4）|， |x+4|的意义可理解为数轴上表示数x和﹣4这两点的距离． 故答案为：5；x；﹣4． （2）①当点P在点A左边，PA+PB＝2AP+AB， 当点P在点B右边，PA+PB＝2PB+AB， 当点P在点A、点B之间，PA+PB＝AB， 所以当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A、点B之间． ②当点P在点C右边，PA+PB+PC＝AC+BP+2PC， 当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC＝AC+BP， 当点P在点A左边，PA+PB+PC＝2PA+AC+BP， 当点P在点A、点B之间时，PA+PB+PC＝AC+BP， 当点P与点B重合时，PA+PB+PC＝PA+PC＝AC，距离最小， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小． 故答案为：点B． ③当点P在点A左边，PA+PB+PC+PD＝4PA+2AB+CB+AD， 当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC+PD＝BC+AD， 当点P在点D右边时，PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2DC+4PD， 当点P在点A、点B之间时，PA+PB+PC+PD＝2PB+BC+AD， 当点P在点C、点D之间时，PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2PC， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：点B、点C之间． （3）①由探究材料2得，当﹣2≤x≤6时，|x+2|+|x﹣6|＝x+2+6﹣x＝8， ∴有最小值，最小值为8． 故答案为：8；﹣2≤x≤6． ②由探究材料2得，这是在求点x到﹣5、﹣4、3三点的最小距离， ∴当x＝﹣4时，有最小值为|x﹣3|+|x+5|+|x+4|＝|﹣4﹣3|+|﹣4+5|+|﹣4+4|＝8．即最小值为8． 故答案为：8；﹣4． ③由探究材料2得，这是在求点x到﹣5、﹣3、4、7四点的最小距离， ∴当﹣3≤x≤4时，有最小值为|x﹣7|+|x+5|+|x+3|+|x﹣4|＝7﹣x+x+5+x+3+4﹣x＝19，即最小值为19． 故答案为：19，﹣3≤x≤4． 【点评】本题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上进一步的延伸是解决此题的关键． 35．（2024-2025皇姑区校级月考）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|，例如，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，、B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离为 　7　 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若|x﹣4|＝2，则x＝ 　2或6　 ； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x＝ 　1　 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A，B，C表示的数分别为a，b，c． ①|a﹣b|+|b﹣c|＝ 　6　 ； ②若|b﹣2a|＝5，则点C表示的数为 　3或13　 ； ③已知a＜b＜c，且某个点表示的数x在a，c之间，那么|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为c﹣a，且数x的点与数b的点重合．若该数轴上另有两个点P，Q，它们分别表示有理数p，q，其中点Q在线段AC上，当|p﹣a|+|p﹣c|＝10且|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小时，则P，Q两点之间的距离为 　4或6　 ． 【答案】（1）7；（2）①2或6；②1；（3）①6；②3或13；③4或6． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）①|x﹣4|＝2表示的是数轴上数x表示的点与数4表示的点的距离为2，据此分数x在数4的左侧和数x在数4的右侧两种情况，讨论求解即可；②根据题意可得数x表示的点到数﹣3的点的距离与数x表示的点到数5的点的距离相等，据此结合两点中点计算公式求解即可； （3）①根据数轴上点的位置可得a﹣b，b﹣c的值，据此代值计算即可；②根据题意可得|b﹣a﹣a|＝|2﹣a|＝5，解方程求出a的值即可求出c的值，进而可得答案；③根据题意可得点Q与点B重合，根据|p﹣a|+|p﹣c|＝10得到PC＝10，据此分点P在点Q左侧和点P在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝|7|＝7， ∴数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离为7． 故答案为：7； （2）①当数x在数4的左侧时，x＝4﹣2＝2， 当数x在数4的右侧时，则x＝4+2＝6， ∴x的值为2或6． 故答案为：2或6； ②∵|x+3|＝|x﹣5|， ∴数x表示的点到数﹣3的点的距离与数x表示的点到数5的点的距离相等， ∴． 故答案为：1； （3）①由题意得，a﹣b＝﹣2，b﹣c＝﹣4， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|﹣2|+|﹣4|＝2+4＝6． 故答案为：6； ②∵|b﹣2a|＝5，b﹣a＝2， ∴|b﹣a﹣a|＝|2﹣a|＝5， ∴2﹣a＝5或2﹣a＝﹣5 ∴a＝﹣3或a＝7， ∵c＝a+6＝﹣3+6＝3或c＝a+6＝7+6＝13， ∴点C表示的数为3或13． 故答案为：3或13； ③∵点Q在线段AC上， ∴|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|的最小值为c﹣a，此时点Q与点B重合， ∵|p﹣a|+|p﹣c|＝10， ∴PC＝10， ∵AC＝c﹣a＝6， ∴点P不可能在线段AC上； 当点P在点A左侧时，则PA+PC＝PA+PA+AC＝10， ∴2PA+6＝10， ∴PA＝2， ∴PB＝PA+AB＝2+2＝4，即PQ＝4； 当点P在点C右侧时，则PA+PC＝AC+PC+PC＝10， ∴2PC+6＝10， ∴PC＝2， ∴PB＝PC+BC＝2+4＝6，即PQ＝6； 综上所述，P，Q两点之间的距离为4或6． 故答案为：4或6． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 36．（2024-2025自贡校级月考）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）|x﹣3|可理解为x 与　3　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若|x+3|＝3，则x的值为　﹣6或0　 ； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　5　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的值最小值为　8　 ； 【拓展应用】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民3000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民1000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）x，3； （2）﹣6或0； （3）①5；②8； （4）当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 【分析】（1）绝对值的几何意义，|x﹣a|表示x与a的差的绝对值，可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）|x﹣a|表示x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离，x可能在a的左侧或者右侧，分别求值即可； （3）|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，分别讨论x在﹣2的左侧、3的右侧或者﹣2和3中间时，距离之和的大小即可； （4）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为x，然后根据题目条件用x表示总成本，由（3）可得实验室建在A、C之间（包含A、C）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【解答】解：（1）|x﹣3|表示x与3的差的绝对值，可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：x，3． （2）|x+3|＝3表示x与﹣3的差的绝对值为3，即x与﹣3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3，当x在﹣3的左边时，x的值为﹣3﹣3＝﹣6；当x在﹣3的右边时，x的值为﹣3+3＝0； 故答案为：﹣6或0． （3）①|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，当x＜﹣2或x＞3时，|x﹣3|+|x+2|＞5，则|x﹣3|+|x+2|的最小值是5，当﹣2≤x≤3时，|x﹣3|+|x+2|的值为3﹣（﹣2）＝5； 故答案为：5． ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|表示在数轴上x对应的点分别与﹣3、﹣6和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当x＝﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的值为2﹣（﹣6）＝8，当x≠﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|＞8，则|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值是8； 故答案为：8． （4）以市民广场O为原点，A、B、C分别为﹣5、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， 总运输和包装成本为3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|，由（3）知﹣5≤x≤3时，总成本可能取到最小值， 当1＜x≤3时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝3（x+5）+2（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4x+16， 当﹣5≤x≤1时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝3（x+5）﹣2（x﹣1）﹣（x﹣3）＝20， ∵1＜x≤3 ∴4x+16＞20． 则当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义和带绝对值的化简计算，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的计算是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/31 0:15:27；用户：陈剑清（小初高数学）；邮箱：18659079182；学号：39903391 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专练02 绝对值的性质与几何意义 【题型1】利用绝对值的非负性求值 1．（2024-2025平顶山月考）若|a+9|+|b﹣8|＝0，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（2024-2025温江区校级月考）如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1 3．（2024-2025灞桥区校级月考）若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a﹣b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 4．（2024-2025未央区校级月考）已知|a+3|与|b﹣2|互为相反数． （1）则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）若|x+a|＝b，求x的值． 【题型2】已知参数范围化简绝对值 5．（2024-2025西湖区校级月考）若有理数a＞0，b＜0，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 6．（2024-2025紫阳县月考）若a＜0，且|a|＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 7．（2024-2025昭平县期末）已知a＜0，则计算|2﹣a|＝（　　） A．2+a B．2﹣a C．a﹣2 D．2 8．（2024-2025房山区期末）若1＜a＜4，则化简|1﹣a|+|4﹣a|的结果为（　　） A．2a﹣5 B．5﹣2a C．3 D．﹣3 【题型3】未知参数范围化简绝对值 9．（2024-2025雁塔区校级月考）可能的值有 　 　 个． 10．（2024-2025渠县校级期中）三个有理数a、b、c满足abc＞0，求的值． 11．（2024-2025锦江区校级期中）阅读下列材料：．当a＞0时，；当a＜0时，．运用以上结论解决下面问题： （1）已知x，y是有理数，当xy＞0时，则 　 　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，且xyz＜0，求的值． 12．（2024-2025姜堰区校级月考）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，　 　 ；当a＝﹣2时，　 　 ； （2）若有理数a不等于零，求的值； （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【题型4】结合数轴位置化简绝对值 13．（2024-2025荔湾区校级期末）已知abc＜0，a+b+c＞0，且x，则x的值为（　　） A．0 B．0或1 C．0或﹣2或1 D．0或1或﹣6 14．（2024-2025冷水滩区校级月考）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：|3a+b|﹣|c﹣2a|+|c+2b|． 15．（2024-2025深圳期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　 0，a+b　 　 0，c﹣a　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 16．（2024-2025西岗区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c　 　 0；a+b　 　 0；c﹣b　 　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 【题型5】多绝对值的零点分段化简 17．（2024-2025雁塔区校级月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x+y的取值范围． 18．（2024-2025凤凰县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　 　 ； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 19．（2024-2025白云区校级期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）x＜﹣1（2）﹣1≤x＜2（3）x≥2，从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值； （2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|； （3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解． 20．（2024-2025西城区校级期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道|x|，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而在化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）|x+2|和|x﹣4|的零点值是 　 　 ； （2）化简：|x+2|+|x﹣4|； （3）解方程：|x+2|+|x﹣4|＝10． 【题型6】单绝对值的最值问题 21．（2024-2025肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 22．（2024-2025贵港期末）如果x为有理数，式子|x+1|﹣2025存在最小值，则这个最小值是（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．﹣2023 D．﹣2022 23．（2024-2025新城区校级月考）如果x为有理数，式子1066﹣|x﹣1066|存在最大值，则这个最大值是　 　 ． 24．（2024-2025长汀县期末）如果x为有理数，式子2025﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【题型7】多绝对值之和的最小值 25．（2024-2025南通校级月考）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）应用一：已知如图，点A在数轴上表示为﹣2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为　 　 ． （2）应用二：若点B表示的整数为x，则当x为　 　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （3）应用三：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出|x+5|+|x﹣2|的最小值为　 　 ，此时所有符合条件的整数x的和为　 　 ． （4）应用四：令M＝|x﹣1|+|x+5|+|x﹣3|+|x+2|，则M的最小值为　 　 ，当M取得最小值时，整数x的值是　 　 ． 26．（2024-2025海安市期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么|a﹣b|的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑|5﹣（﹣6）|的几何意义，在数轴上分别标出表示﹣6和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而|5﹣（﹣6）|＝11，因此不难看出|5﹣（﹣6）|就是数轴上表示﹣6和5两点间的距离，|a﹣b|的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． （1）当|x|＝2时，求出x的值； （2）设Q＝|x+6|﹣|x﹣5|，请问Q是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； （3）设Q＝|x+2023|+|2024+x|+2|2026﹣x|，当Q的值最小时，求整数x所有可能的值的和． 27．（2024-2025平顶山月考）在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|． 实际上，数轴上表示数﹣3的点与原点的距离可记作|﹣3﹣0|；数轴上表示数﹣3的点与表示数2的点的距离可记作|﹣3﹣2|，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离可记作　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间距离可记作　 　 ； （2）数轴上表示x与﹣1的两点A和B之间的距离可记作　 　 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为　 　 ； （3）依据上题思路，可求得|x+1012|+|x﹣1013|的最小值为　 　 ． 28．（2024-2025如皋市校级月考）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么A到B的距离是　 　 ，A到C的距离是　 　 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　 　 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是　 　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是　 　 ； 当x的值取在　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是　 　 ； 当x的取值是　 　 时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是　 　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2025|的最小值． 【题型8】多绝对值之差的最大值 29．（2024-2025江北区校级月考）已知有理数x，y满足|x+2|+|3﹣x|+|y﹣4|+|1+y|＝10，则x﹣y的最大值是　 　 ． 30．（2024-2025长寿区期中）当x满足条件 　 　 时，|x﹣1|﹣|x+1|取得最大值，最大值为 　 　 ；当x满足条件 　 　 时，取得最小值，最小值为 　 　 ． 31．（2024-2025南部县校级期中）下列说法正确的有（　　） ①已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则的值为1； ②若a、b、c为非零有理数，且，则的值为1或﹣3； ③已知x≤5，则|x+1|﹣|x﹣5|的最大值是6，最小值是﹣6； ④若|a|＝|b|且，则式子． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2024-2025武进区校级月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　 　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　 　 ，如果|AB|＝2，那么x＝ 　 　 ． （2）探索规律 ①求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 　 　 ； ②|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是 　 　 ； （3）知识迁移：|x+3|﹣|x﹣4|的最大值是 　 　 ． 【题型9】绝对值的实际应用问题 33．（2024-2025碑林区校级月考）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 发现问题：|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P分别表示的是﹣1，2，x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． 解决问题： （1）数轴上，点4到点﹣3的距离是　 　 ． （2）|x+3|+|x﹣4|的最小值是　 　 ． （3）实际应用：在2025年的九三阅兵仪式上，无人运输车及其它智能装备成为同学们关注的焦点．已知某品牌无人运输车的载重量为120千克，某区只有一台该品牌的无人运输车负责配送物资．现有A、B、C、D四个物资接收点位于同一直线上，相邻两个接收点之间的距离均为30千米，各接收点的物资需求分别为：A点240千克、B点360千克、C点360千克、D点120千克．为优化运输效率，在该直线上选址设立一个物资运输基地P，请问，将基地P设在何处，才能使运输车向所有接收点运输所需物资的总路程最短？并求出此最短总路程． 34．（2024-2025宜兴市校级月考）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． 例如数轴上表示数3和8的两点距离为|3﹣8|＝　 　 ； |x+4|的意义可理解为数轴上表示数　 　 和数　 　 的两点之间的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在　 　 处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在　 　 处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在　 　 处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ （3）结论应用（填空）： ①代数式|x+2|+|x﹣6|的最小值是　 　 ，此时x的范围是　 　 ； ②代数式|x﹣3|+|x+5|+|x+4|的最小值是　 　 ，此时x的值为　 　 ； ③代数式|x﹣7|+|x+5|+|x+3|+|x﹣4|的最小值是　 　 ，此时x的范围是　 　 ． 35．（2024-2025皇姑区校级月考）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|，例如，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，、B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离为 　 　 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若|x﹣4|＝2，则x＝ 　 　 ； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x＝ 　 　 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A，B，C表示的数分别为a，b，c． ①|a﹣b|+|b﹣c|＝ 　 　 ； ②若|b﹣2a|＝5，则点C表示的数为 　 　 ； ③已知a＜b＜c，且某个点表示的数x在a，c之间，那么|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为c﹣a，且数x的点与数b的点重合．若该数轴上另有两个点P，Q，它们分别表示有理数p，q，其中点Q在线段AC上，当|p﹣a|+|p﹣c|＝10且|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小时，则P，Q两点之间的距离为 　 　 ． 36．（2024-2025自贡校级月考）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）|x﹣3|可理解为　 　 与　 　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若|x+3|＝3，则x的值为　 　 ； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　 　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的值最小值为　 　 ； 【拓展应用】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民3000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民1000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $