期中培优：空间向量与立体几何11种高频考点专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

期中培优：空间向量与立体几何11种高频考点专项训练 期中培优：空间向量与立体几何11种高频考点专项训练 考点目录 空间向量的线性运算 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 空间向量的应用：空间位置关系问题 空间向量的应用：空间角度问题 空间向量的应用：空间距离问题 空间向量的综合提升：动点问题 空间向量的综合提升：边长缺失问题 空间向量的综合提升：最值与范围问题 空间向量的综合提升：翻折问题 空间向量的综合提升：交线、截面、轨迹问题 考点一 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 6．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）如图，在平行六面体中，设分别是，的中点. (1)用向量表示； (2)化简：. 考点二 空间向量的数量积 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图，在平行六面体中，是的中点，，，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·浙江金华·阶段练习）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东·阶段练习）如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西·阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）    A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 5．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习·多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）． A． B．与夹角是 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 6．（25-26高二上·广东江门·阶段练习·多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱的中点，则 . 8．（25-26高三上·北京·阶段练习）如图，正三棱柱的每条棱长均为2，、分别是、的中点，则的长等于 ． 9．（25-26高二上·湖南·阶段练习）空间内不共面的三条直线满足，且，记，已知，则 ． 10．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且二面角的大小为，则 ． 11．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且． (1)求证：平面平面 (2)求的长度： (3)求证：平面． 12．（25-26高二上·湖北随州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，. (1)求AE的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 13．（25-26高二上·广东江门·阶段练习）三棱柱中，分别是上的点，且，设． (1)试用表示向量； (2)若，求的长． 14．（25-26高二上·湖北·阶段练习）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 考点三 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 3．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知向量，，若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 5．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习·多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（25-26高二上·陕西·阶段练习·多选）已知空间中三点，则正确的有（    ） A．平面的一个法向量是 B．与是共线向量 C．与夹角的余弦值是 D．点到直线的距离是 8．（25-26高二上·山东·阶段练习·多选）下列结论正确的是（   ） A．若向量，，，则，，共面 B．若直线的方向向量为，平面的法向量，则 C．若向量，则在上的投影向量为 D．若空间三点，，，则点到直线的距离为 9．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 10．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知空间向量，且，则实数 . 11．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）已知向量，，． (1)若，求； (2)求． 12．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知空间向量满足. (1)若与的夹角为60°，求 (2)若，求向量的坐标. 13．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求线段中点的坐标，和线段的长度； (2)求直线和直线夹角的余弦值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)求； (3)求在方向上的投影向量． 考点四 空间向量的应用：空间位置关系问题 1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 2．（25-26高二上·广东·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（25-26高二上·广东河源·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高三上·广东广州·阶段练习·多选）已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥的体积为 6．（2025·河南·模拟预测·多选）正方体的棱长为分别是棱的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．点到平面的距离为 7．（25-26高二上·广东江门·阶段练习）已知平面的法向量为，直线的方向向量为，且，则实数 ． 8．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 9．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 10．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段练习）在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则 . 11．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 12．（25-26高二上·河北·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，二面角为120°. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)探究平面与平面是否垂直. 13．（25-26高二上·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，、、分别为的中点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点使平面成立？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 14．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 考点五 空间向量的应用：空间角度问题 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）在正三棱锥中，，D，E分别是棱的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·模拟预测·多选）在边长为2的正方体中，M为边的中点，N为边的中点.则（    ） A． B．平面 C．直线所成角的余弦值为 D．直线所成角的余弦值为 6．（25-26高二上·贵州·阶段练习·多选）如图，已知正方体的棱长为a，E是棱上的动点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．点E到直线的距离为 C．直线与所成角的范围为 D．二面角的大小为 7．（25-26高二上·天津·阶段练习）若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是 ． 9．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. (1)若，请证明：平面； (2)若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 10．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知在三棱柱中，，，，，记，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，①用，，表示，并求；②求异面直线与所成角的余弦值． 11．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点． (1)求证：平面SCD； (2)求平面SAB与平面SCD夹角的大小． 12．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 13．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，E在线段（不包含端点）上，F是线段的中点. (1)证明：. (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. (3)为何值时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值？ 14．（25-26高二上·安徽亳州·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 考点六 空间向量的应用：空间距离问题 1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，和所在平面垂直，且，，则点到平面的距离是 . 6．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，.则点到平面的距离 . 7．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 8．（25-26高二上·广东河源·阶段练习）已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 . 9．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：； (2)若，求到平面的距离. 10．（25-26高二上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E、F分别是与AB的中点. (1)求平面的法向量； (2)求与截面所成角的正弦值； (3)求点B到截面的距离. 11．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点， (1)求点O到直线的距离. (2)求点O到平面的距离. 12．（25-26高三上·天津南开·阶段练习）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点F到平面的距离. 考点七 空间向量的综合提升：动点问题 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 2．（25-26高二上·湖北随州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求到直线的距离. (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. (1)证明：平面SAD； (2)求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； (3)线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 5．（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 6．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 考点八 空间向量的综合提升：边长缺失问题 1．（24-25高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱锥中，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若底面，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 2．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 3．（24-25高三下·河北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，是棱的中点，若侧棱底面，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)求的值； (2)求平面与平面所成角的大小. 4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面，平面平面，． (1)证明：； (2)设，，若二面角的平面角为，求. 考点九 空间向量的综合提升：最值与范围问题 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，分别为线段的中点． (1)线段上一点，满足，求证：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形．，且为的中点． (1)证明：． (2)若是侧棱上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 3．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 4．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小； (3)如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 6．（2025·云南·模拟预测）在平面五边形中，如图1所示，，，．将平面四边形沿翻折成空间图形，使D，E分别至点，，连接，，如图2所示，其中，都为动点． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面四边形沿旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积； (3)求二面角的余弦值的最小值． 考点十 空间向量的综合提升：翻折问题 1．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 2．（24-25高三下·云南昭通·期中）如图甲，正方形的边长为2，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图乙），连接，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 3．（25-26高三上·广东·开学考试）在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． (1)若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． (2)记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 4．（25-26高二上·吉林通化·开学考试）如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且， ，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，设，记几何体的体积为． (1)求证：平面； (2)若平面平面． ①求证：平面； ②当取得最大值时，求的值． 5．（24-25高二下·湖南·期中）如图，矩形中为中点，将沿着折叠至. (1)证明：平面； (2)设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 6．（2025·江西·模拟预测）如图，平面五边形ABCDE中，，设AB的中点为F，将四边形AEDF沿DF折起至四边形PQDF，使得二面角为． (1)求五面体BCDFPQ的体积； (2)判断在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后是否一定依然平行，并结合平面五边形ABCDE经折叠得到五面体BCDFPQ的变化，证明你的判断； (3)求PC与平面CDQ所成角的正弦值． 考点十一 空间向量的综合提升：交线、截面、轨迹问题 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习·多选）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 2．（25-26高二上·海南·阶段练习·多选）已知正方体的棱长为2，动点满足，.下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，的最大值为 C．当时，则到平面的距离的取值范围是 D．当，且时，则的轨迹总长度为． 3．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习·多选）如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点满足，则的轨迹的长度为 4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）在棱长为4的正方体中，分别为棱上的动点，且.则下列结论正确的是（    ） A．平面//平面 B．当时，平面截该正方体所得的截面为梯形 C．三棱锥体积的最大值为 D．三棱锥外接球半径的最小值为 5．（25-26高二上·四川成都·阶段练习·多选）在棱长为1的正方体中，有，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到直线的距离为1 C．四棱锥外接球表面积为 D．动点在正方体的表面上，满足，则的轨迹长为 6．（25-26高二上·山东日照·阶段练习·多选）已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（   ） A．当时，直线平面 B．当，，时，点到直线的距离为 C．当时，点的轨迹构成的平面图形的面积为 D．当且时，点的轨迹长度为 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：空间向量与立体几何11种高频考点专项训练 期中培优：空间向量与立体几何11种高频考点专项训练 考点目录 空间向量的线性运算 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 空间向量的应用：空间位置关系问题 空间向量的应用：空间角度问题 空间向量的应用：空间距离问题 空间向量的综合提升：动点问题 空间向量的综合提升：边长缺失问题 空间向量的综合提升：最值与范围问题 空间向量的综合提升：翻折问题 空间向量的综合提升：交线、截面、轨迹问题 考点一 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵G是的重心，∴. ， . 故选：B 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意 ， 又，，，． 故选：B 4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知. 故选：D. 5．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1） （2）； （3）. 6．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）， 因为分别是，的中点， 所以 ； （2） . 考点二 空间向量的数量积 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图，在平行六面体中，是的中点，，，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在平行六面体中，设， 因为，，，，，是的中点， ， 所以， 由题意，，，， ， ， 所以， 解得或（舍去）， 所以的长为4． 故选：D． 2．（25-26高二上·浙江金华·阶段练习）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3．（25-26高二上·广东·阶段练习）如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于， 则， 由二面角为直二面角，且垂直于，，则， 又，故，则有、， 则有，则， 则. 故选：A. 4．（25-26高二上·陕西·阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）    A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】B 【详解】对于A，由题意可知，则 ，所以，故A错误； 对于B，，所以，故B正确； ， 则，向量与的夹角是，故C错误； 对于D，设与所成的角为， ，. 所以，故D错误. 故选：B 5．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习·多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）． A． B．与夹角是 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ，即，故A正确； 对于B，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，故B错误； 对于C， ， ，即，故C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则，即， 取，，，所以， 所以， ， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD 6．（25-26高二上·广东江门·阶段练习·多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】设棱长为，则， . 所以， 而， 所以，所以，所以A正确； 所以B错误； . ，所以， 所以向量与的夹角为，所以C正确； . 所以，所以D正确. 故选：ACD. 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱的中点，则 . 【答案】 【详解】因为是棱的中点，所以， 所以. 因为， 所以.， 所以， 所以，则. 故答案为： 8．（25-26高三上·北京·阶段练习）如图，正三棱柱的每条棱长均为2，、分别是、的中点，则的长等于 ． 【答案】 【详解】 ， ， 所以. 故答案为： 9．（25-26高二上·湖南·阶段练习）空间内不共面的三条直线满足，且，记，已知，则 ． 【答案】 【详解】如图， 由得， 由得， 由可得， 由可得， 而，得． 由得， 即，即，解得， 故由勾股定理得， 故答案为：． 10．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为3，且二面角的大小为，则 ． 【答案】 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，且， 在正方形中，， 则为二面角的平面角，即， 故 . 故答案为：. 11．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且． (1)求证：平面平面 (2)求的长度： (3)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）根据平行六面体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 根据平行六面体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 由于，平面， 所以平面平面. （2）设，，， 由于四边形为菱形，设，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 因为，计算： ， 所以， 又因为，、平面． 所以平面. 12．（25-26高二上·湖北随州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，.    (1)求AE的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； （2），， 则， ， ， 所以 即异面直线与所成的角的余弦值. 13．（25-26高二上·广东江门·阶段练习）三棱柱中，分别是上的点，且，设． (1)试用表示向量； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在三棱柱中，由且， 可得 . （2）解：因为， 由（1）知， 则 ， 所以. 14．（25-26高二上·湖北·阶段练习）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）， 则 . 故. 考点三 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，， 因为， 所以，解得，则. 故选：A 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由点，可得， 因为是直线的方向向量，所以存在实数，使得， 则，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知向量，，若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】向量，，若，则， 所以，，故. 故选：A． 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】C 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 5．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可得， 则， 则， ，故， 则以为邻边的平行四边形的面积为 ， 故选：A 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习·多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【详解】A：当时，，解得，A错误； B：当时，，即，解得，B正确； C：当时，则有，，C正确； D：当时，，D错误， 故选：BC. 7．（25-26高二上·陕西·阶段练习·多选）已知空间中三点，则正确的有（    ） A．平面的一个法向量是 B．与是共线向量 C．与夹角的余弦值是 D．点到直线的距离是 【答案】AD 【详解】由题设， A，设平面的法向量为，则，即，令，则，故正确. B，根据与的坐标，因为，则它们不是共线向量，故错误； C，由，故错误； D，由，，所以点到直线的距离为，故正确. 故选：AD 8．（25-26高二上·山东·阶段练习·多选）下列结论正确的是（   ） A．若向量，，，则，，共面 B．若直线的方向向量为，平面的法向量，则 C．若向量，则在上的投影向量为 D．若空间三点，，，则点到直线的距离为 【答案】ACD 【详解】A中，，所以，，共面，故A正确； 中，，所以，所以或，所以B错误； C中，在上的投影向量为，故C正确； D中，，，所以， ，， 所以在上的投影为， 所以点到直线的距离为，所以D正确。 故选：ACD 9．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【详解】因为， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知空间向量，且，则实数 . 【答案】2 【详解】已知空间向量，且， 则，解得. 故答案为：2 11．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）已知向量，，． (1)若，求； (2)求． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）因为向量，，且， 所以，解得，. （2）由向量，， 得. 12．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知空间向量满足. (1)若与的夹角为60°，求 (2)若，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为， 所以. 因为，且与的夹角为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以. 当向量同向时，，则； 当向量反向时，，则. 综上，向量的坐标为或. 13．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求线段中点的坐标，和线段的长度； (2)求直线和直线夹角的余弦值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)线段中点的坐标为，线段的长度为， (2)直线和直线夹角的余弦值为， (3)点的坐标为. 【详解】（1）因为，， 所以线段中点的坐标为， 由已知， 所以， 所以线段的长度为， （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以直线和直线夹角的余弦值为， （3）因为，，， 所以， 因为点在直线上， 设， ， ， 因为，所以， 所以， 解得：，故， 所以点的坐标为. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)求； (3)求在方向上的投影向量． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以； （2）因为向量，所以， 则； （3）由在方向上的投影向量为. 考点四 空间向量的应用：空间位置关系问题 1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【详解】因为，所以与不平行，所以与不垂直； 因为，所以与不垂直，所以与不平行，也不在平面内. 所以与相交但不垂直. 故选：D 2．（25-26高二上·广东·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为， 对于A选项，若，则，即，解得，A错； 对于B选项，若，则，即，解得，B错； 对于C选项，若，则，，即， 故或，C错； 对于D选项，若，则，所以，即， 故，D对. 故选：D. 3．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以. 故选：C 4．（25-26高二上·广东河源·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高三上·广东广州·阶段练习·多选）已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥的体积为 【答案】BD 【详解】对于A选项，在正方体中建立空间直角坐标系，则，，，，所以，， 所以与不共线，所以与不平行，故A错误； 对于B选项，，，所以，， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可求得， 所以，所以与不垂直， 所以不平行于平面，故C错误；    对于D选项，过点作，与相交于点，则四点共面， 又分别是、的中点，所以点为上靠近点的四等分点，所以，所以，所以， 又， 所以，故D正确.    故选：BD 6．（2025·河南·模拟预测·多选）正方体的棱长为分别是棱的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】BC 【详解】    建立如图所示的空间直角坐标系：正方体棱长为2， 则, 所以， 因为，所以不成立，A选项错误； ，所以，B选项正确； ， ， 所以平面的一个法向量为 ， 又因为，所以平面，所以平面，C选项正确； ，则 , 设平面的法向量为 ， 所以 ，取，则，故； 由, 设点到平面的距离为，则，D选项错误； 故选：BC. 7．（25-26高二上·广东江门·阶段练习）已知平面的法向量为，直线的方向向量为，且，则实数 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 8．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 9．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【答案】/2.5 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 10．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段练习）在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【解答】因为，所以与平行， 可得，可得，解得， 所以. 故答案为：. 11．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点为，连接，因为， 所以，因为侧面底面， 因为侧面底面，平面， 所以底面，又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以，， ， 所以. （2）， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 12．（25-26高二上·河北·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，二面角为120°.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)探究平面与平面是否垂直. 【答案】(1) (2)不垂直 【详解】（1）取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，则，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为，所以二面角的平面角为，则， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 过在平面内作平面，可得，， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 所以， 所以； 所以直线与平面所成角的正弦值； （2）由于， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面不垂直. 13．（25-26高二上·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，、、分别为的中点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点使平面成立？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面是边长为2的正方形，底面， 得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，而， 因此平面，而平面， 所以直线平面. （2）由（1）得，，设异面直线与所成角为， 则，， 所以异面直线与所成角的正弦值. （3）由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 假设线段上存在点，使平面，设， 则，，由平面，得， 因此，解得，而， 所以线段上不存在点使平面成立. 14．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【详解】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 考点五 空间向量的应用：空间角度问题 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 可设，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，； 当时，， 设，可得，所以，所以， 因为，所以，则 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为. 故选：B. 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）在正三棱锥中，，D，E分别是棱的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，故， 则，则，同理，.    而D，E分别是棱AB，PC的中点， 则， 故 ， 则， 即异面直线PD与BE所成角的余弦值是， 故选：B 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点建立如图4所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，，，，，则. 因为为线段上的动点，不妨设， 则得，所以， 则， 因为，所以，进而， 所以，故当最大值时， 所以直线与直线所成角余弦值的最大值为. 故选：D    4．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，以为原点，为轴，为轴，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， ， ，即， 同理，即 设，则， ， ，解得， 直线与平面夹角的正弦值等于点到平面的距离与的比值，即． 故选：B． 5．（2025·福建·模拟预测·多选）在边长为2的正方体中，M为边的中点，N为边的中点.则（    ） A． B．平面 C．直线所成角的余弦值为 D．直线所成角的余弦值为 【答案】AD 【详解】对于A，取的中点，连接，可得 在正方形中，因为为的中点，可得，所以 因为平面，平面，所以平面，所以A正确； 对于B，连接，设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 因为，所以与平面不垂直，所以B错误； 对于C，由向量，设与平面所成的角为， 可得，其中 所以，即与平面所成角的余弦值为， 所以C不正确； 对于D，由向量，设直线所成角为 ， 则，其中 所以，即直线所成角的余弦值为 ， 所以D正确. 故选：AD.    6．（25-26高二上·贵州·阶段练习·多选）如图，已知正方体的棱长为a，E是棱上的动点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．点E到直线的距离为 C．直线与所成角的范围为 D．二面角的大小为 【答案】AB 【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，不正确. 故选：AB 7．（25-26高二上·天津·阶段练习）若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 【答案】/0.4 【详解】异面直线 的方向向量分别是， ，， ， 异面直线与的夹角， ． 故答案为：． 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，过作交与， 设，， ，， 设，， 又和为异面直线，所以， 直线的一个方向向量为， ，设异面直线和所成角为， 则， 又，所以， 故答案为：. 9．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点.    (1)若，请证明：平面； (2)若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面.    （2）由题意得平面且， 因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题易知，平面，所以为平面的法向量. 设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系， 可知，，， 有，. 令，则，， 即平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则有. 10．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知在三棱柱中，，，，，记，，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，①用，，表示，并求；②求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，；②. 【详解】（1）由已知四边形为平行四边形． 又，， 所以， 故，即， 所以四边形为矩形． （2）①由已知 又，故． ， ②同理， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 11．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点． (1)求证：平面SCD； (2)求平面SAB与平面SCD夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为侧棱底面，底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，点M是棱SC的中点，所以， 又，平面SCD，所以平面SCD. （2）连接，取AD的中点E，连接BE， 由，，， 有且， 则四边形为矩形， 则，，，所以， 又，可得，则有，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）可得平面SCD，所以平面SCD的一个法向量， 由，又，，平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面SAB与平面SCD夹角为， 则、 又，所以，即平面SAB与平面SCD夹角的大小为． 12．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）    过作，垂足为， 因为，为中点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则，， 所以平面的一个法向量， 又因为，， 所以， 所以平面. （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 则， 所以二面角的正弦值为. 13．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，E在线段（不包含端点）上，F是线段的中点. (1)证明：. (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. (3)为何值时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：取棱的中点，连接. 因为，且是棱的中点，所以. 因为，且是棱的中点，所以. 因为平面平面，且， 所以平面. 因为平面，所以. （2）由题意知，，，， 故，, 即得为等腰三角形，则A在上的射影为的中点， 以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 可得， 则. 设平面的法向量为， 则，令，得，. 因为，所以，所以， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）因为为线段的中点，所以， 则. 设，则， 故. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. 因为， 即时，取到最大值， 所以当且仅当，即时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值. 14．（25-26高二上·安徽亳州·期中）在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． （3）由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 考点六 空间向量的应用：空间距离问题 1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，，， 因为，所以，即为直角三角形， 又，， 所以的面积； 设平面的法向量为，则， 取得， 所以点到平面的距离， 则三棱锥的体积是. 故选：B 2．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系,如图所示，则，从而， 故点到直线的距离是. 故选：A.    3．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则， 因为为的重心，，所以， 所以，则， 故点到直线的距离为. 故选：A 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，因， 则与同方向的单位向量为，又，则， 则AB边上的高即点到直线的距离. 故选：A. 5．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，和所在平面垂直，且，，则点到平面的距离是 . 【答案】/ 【详解】因为和所在平面垂直，且， 在平面内，过点作，因为平面平面， 所以平面， 再在平面内，在上取点，使得， 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为且， 可得，，，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以点到的距离为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，.则点到平面的距离 . 【答案】 【详解】 因为两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， ， 令，则， 则顶点到平面的距离， 即点到平面的距离为． 故答案为： 7．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 8．（25-26高二上·广东河源·阶段练习）已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，    所以，，设平面的法向量为， 则，取，则， 而，故， 则点到平面的距离为. 故答案为： 9．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：； (2)若，求到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故，    所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 10．（25-26高二上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E、F分别是与AB的中点. (1)求平面的法向量； (2)求与截面所成角的正弦值； (3)求点B到截面的距离. 【答案】(1)法向量坐标为（与其共线的非零向量均可） (2) (3) 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，即平面的法向量坐标为.（与其共线的非零向量均可） （2）由（1）得，设与截面所成角为， 则， 所以与截面所成角的正弦值为. （3）由（1）得， 则点B到截面的距离. 11．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点， (1)求点O到直线的距离. (2)求点O到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 所以. 所以点到直线的距离为. （2）如图，，， 则， 设平面的法向量为， 则即，取， 而，故. 12．（25-26高三上·天津南开·阶段练习）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接，交于点O， 由P，O分别为和的中点，得，而平面，平面， 所以平面. （2）由直线平面，，以所在的直线为x轴， 以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系. 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以平面的一个法向量为，又 设直线与平面所成角的正弦值，则. （3），， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，又， 所以点F到平面的距离. 考点七 空间向量的综合提升：动点问题 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点. 【详解】（1）记中点为，连接，，    则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以，又因为，所以， 且，平面，所以平面. （2）由（1）知，平面，且. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则，令，得. ，令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 2．（25-26高二上·湖北随州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求到直线的距离. (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，为线段的中点. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，， 到直线的距离. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， ，，，，， ，，，， ， ， 设平面的法向量， 则，令，则， ，解得：， 当为线段中点时，平面. 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M，N分别为棱SB，SC的中点. (1)证明：平面SAD； (2)求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值； (3)线段SD上是否存在点Q，使得平面平面ADNM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在； 【详解】（1）ABCD为正方形，， M，N分别为棱SB，SC的中点，，， 平面SAD，平面SAD，平面SAD； （2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面ADNM的法向量为， 则，即. 令，则，. 设直线SD与平面ADNM所成角为， 则 直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为； （3）假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM. 设，则. ， . 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，即. 若平面平面ADNM，则， 即，解得. 假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM， 且. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）取中点，如图，连接， ∵是中点,∴且， 又，，∴且， ∴是平行四边形,∴， ∵平面，平面，∴平面；    （2）∵，，， ∴，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是，则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以．    5．（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以. 以为坐标原点，、、为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）假设线段上存在点满足题意， 设（）， 则，所以. 设平面的法向量， 则，即 令，则，，所以. 设二面角的平面角为， 则，解得或. 经检验，符合条件的， 即当时，二面角的余弦值为.    6．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取的中点N， 连接， 如图所示：   为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. （2）    由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点，    所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 考点八 空间向量的综合提升：边长缺失问题 1．（24-25高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱锥中，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若底面，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在线段上取一点，使得，连接、，如下图所示： 在中，、分别为线段、上的点，且， 所以，且， 又因为，则，即且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 由题意可得，解得， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 易知平面的一个法向量为，所以，， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 2．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 3．（24-25高三下·河北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，是棱的中点，若侧棱底面，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)求的值； (2)求平面与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 连接， 由直角梯形满足，，，， 可得，， 所以可得， 取的中点，连接， 计算可得，，所以， 所以， 所以，以为轴，为轴，为轴建立坐标系， 令， ，，，， 所以， ，， 令平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 计算得或， 即或， 又， 所以； （2）因为侧棱底面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 可得平面， 又平面， 可得， 又因为，点是棱的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量， 由于，，，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的大小为. 4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面，平面平面，． (1)证明：； (2)设，，若二面角的平面角为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）易知两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，其中， 因为且，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为二面角平面角为， 所以， 整理得，解得 又因为，所以，即的长为. 考点九 空间向量的综合提升：最值与范围问题 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，分别为线段的中点．    (1)线段上一点，满足，求证：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为四棱锥的底面是边长为2的正方形， 所以，因此建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则， ，，， 设平面的法向量为， 于是有， 因为， 所以平面； （2）平面的法向量为，， 则有， 由（1）可知平面的法向量为， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，或，舍去， 点的坐标为， 平面的法向量为，， 所以 设直线与平面所成角为， 所以； （3）由（1）可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 当时，代数式有最小值， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形．，且为的中点． (1)证明：． (2)若是侧棱上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接.因为底面为边长为4的正三角形， 且为的中点，所以， 又，所以，且， 在中，， 由余弦定理可得 解得， 在中，因为，所以． 因为平面，且，所以平面， 又平面，所以． （2）解：由（1）知平面，因为，所以， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，则． 设平面的法向量为，则即 取，则，则平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则 ， 当时，取得最大值，最大值为． 3．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以.    （2）由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 4．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小； (3)如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或； (3). 【详解】（1）连接交于点，连接，在平面内过作，垂足为， 因为，所以垂足不与点重合，如图： 又因为平面平面，平面平面平面，则平面， 又因为平面，所以． 在正方形中，．平面平面， 则平面，又因为平面，所以．      （2）方法一：在平面内，过作，垂足为，连接， 由（1）得，平面，因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以易知是二面角的平面角，， 在边长为1的正方形中，， 所以， 在Rt中，， 在中，， ，解得或， （i）当，又因为，在中，满足，则． 又因为平面，所以平面． 因为平面，则，所以， 又因为平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等， 过作，垂足为．又因为易证平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 在Rt中，，所以到平面的距离为． 设与平面所成角为，则， 又因为，则．    （ii）当，在中，得：， 如图，在中，，    Rt中，， 因为， 设到平面的距离为，所以， 得：，解得，所以到平面的距离为， 设与平面所成角为，又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 方法二：以为轴，以为轴，过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则， 设，则．因为， 所以①． 因为，所以②． 因为平面，所以平面法向量， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为二面角为，所以③． 由①②③解得，或，即或． （i）当时， 设平面法向量则即 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为， ．又因为，所以． （ii）当时，． 设平面法向量， 则，即， 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为．又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． （3）法一：因为面，所以面． 所以．以为正交基建立空间直角坐标系． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，且平面平面，所以， 设，， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为平面，所以平面法向量． 因为二面角为，所以， 即，解得，即．    设，设平面法向量， ，则，不妨取，则．所以． ，设平面法向量， ，则不妨取，则，所以. 则， 设 ， ．当且仅当时，，即最小值为． 法二：求出的过程同法一， 将补成正方体，平面平面，所以即为． 又因为，过作，垂足为，因为平面， 所以为二面角的平面角． 在中，④，⑤， 由④⑤得：， 则，得． 则，解得， 当且仅当时，，此时，即最小值为．    5．（24-25高二下·上海·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 6．（2025·云南·模拟预测）在平面五边形中，如图1所示，，，．将平面四边形沿翻折成空间图形，使D，E分别至点，，连接，，如图2所示，其中，都为动点． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面四边形沿旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）连接，在平面四边形中，，则四边形为菱形， 由，得为正三角形，，而， 则，，由，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，四边形是菱形，，作于，交延长线于， 菱形沿旋转一周所得几何体，是绕直角边所在直线一周得的圆锥， 矩形绕直线一周得的圆柱并挖去绕直线一周得的圆锥的组合体， ，该几何体的表面积为. （3）在平面内过作，而，则是二面角的平面角， 在平面内过作，则，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得， ，令，得， 设二面角的平面角为，由几何图形及可得为锐角， 则 ，令，， ，当且仅当时取等号， 所以二面角的余弦值的最小值为. 考点十 空间向量的综合提升：翻折问题 1．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵，平面平面， 又二面角为直二面角，则平面平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，，则，，， 则， 由勾股定理得， ∵平面，平面，， ∴平面. （2）解法一：设交于F点，连接， 由（1）得平面， 平面， ， ∵平面， ∴，， 设平面与平面夹角为，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴二面角的正切值为. 解法二：由（1）知， 以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题设及（1）得，，，，， 平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 由得，令，得， 设二面角的大小为，则， ∴二面角的正弦值为， ∴二面角的正切值为. 2．（24-25高三下·云南昭通·期中）如图甲，正方形的边长为2，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图乙），连接，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，易得为的中位线， 故，且. 又，，故，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，过作于点，由已知平面平面， 且平面平面，则平面， 又在中， 所以， 所以， 同理，到的距离为，到的距离为， 所以到的距离为，到的距离为. 如图所示，以点为原点，以为轴，为轴， 过点作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量， 则，得. 设平面的法向量为， 则，得. 所以， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 3．（25-26高三上·广东·开学考试）在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． (1)若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． (2)记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 【答案】(1) (2)① 2；② 【详解】（1）在平面四边形ABCD中，作，，交AC延长线于E，由题意知：， 因为，，所以， 即三角形是直角三角形， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 故：； （2）以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，， （ⅰ）设二面角大小为，， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 故可设，． 设外接球球心坐标，半径为， 则两式相减，化简得：， 所以：， 上式中，令，， 则， 令，令，所以， 所以， 令， 因为，所以由对勾函数性质可知，的最小值是， 而 ， 即的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是， 所以， 因为，等号成立当且仅当，即， 又因为，所以，即， 解得，， 所以， （ⅱ）因为，由（i）可知此时，， 因为，所以，，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 故所求异面直线所成角为． 4．（25-26高二上·吉林通化·开学考试）如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且， ，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，设，记几何体的体积为．    (1)求证：平面； (2)若平面平面． ①求证：平面； ②当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【详解】（1）证明：根据题意可知， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面．    （2）①证明：过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，且是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面． 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面． ②法一：    直角梯形中，，，且， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 设点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式．∴． 几何体的体积为 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 在中，， 在中，，∴，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 法二：    直角梯形中，，且在平面上， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以点到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 设点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴． 几何体的体积为 ． 过点作的垂线交直线于，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， ， 令，可得， ，设平面的法向量为， ， 令，可得， 因为平面平面，所以，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 5．（24-25高二下·湖南·期中）如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.    (1)证明：平面； (2)设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，即， ∵，所以，即， 又平面，所以平面； （2）（i）∵,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以    以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∵，∴,∴， 设平面的法向量为， 则  即 令得,∴， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. （ii）由（i）知，， ,即(三等分点)， 又∵平面， ∴，∴(三等分点)， ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴即(四等分点)， ∴ 又∵ ∴. 6．（2025·江西·模拟预测）如图，平面五边形ABCDE中，，设AB的中点为F，将四边形AEDF沿DF折起至四边形PQDF，使得二面角为．      (1)求五面体BCDFPQ的体积； (2)判断在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后是否一定依然平行，并结合平面五边形ABCDE经折叠得到五面体BCDFPQ的变化，证明你的判断； (3)求PC与平面CDQ所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）在平面五边形ABCDE中，因为，所以， 又，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 所以在五面体BCDFPQ中， 所以为二面角的平面角，所以， 如图，分别取BC，DF的中点M，N，连接MN，QM，QN， 则五面体BCDFPQ分割为直三棱柱与四棱锥， 直三棱柱的体积为，    点Q到平面DCMN的距离， 四棱锥的体积为， 所以五面体BCDFPQ的体积为； （2）否， 理由如下：    连接交于点，因为，为的中点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，即， 折叠成为五面体BCDFPQ后，AC对应PC，DE对应DQ， 因为P，Q，D三点共面，而点C不在平面PQD内，故直线PC与DQ不可能平行， 故在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后不一定平行； （3）以F为坐标原点，FP，FD所在直线分别为x，z轴，平面PFB中过点F作垂直于PF的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设为平面CDQ的法向量， 则， 可以取， 设PC与平面CDQ所成的角为， 则， 故PC与平面CDQ所成角的正弦值为. 考点十一 空间向量的综合提升：交线、截面、轨迹问题 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习·多选）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】BCD 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系：，，，，. 设，，则点坐标为. 对于A：不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，A错误； 对于B：，， 若，则，即，解得，又， 故不存在这样的点，使得，B正确； 对于C：取平面的法向量为,， 则， 设直线与平面的夹角为，， 则，则，. 又，故，即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C正确； 对于D：时，，，， 设平面的法向量，，则， 不妨设，则，，是平面的一个法向量， 显然球心，， 则到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D正确， 故选：BCD.    2．（25-26高二上·海南·阶段练习·多选）已知正方体的棱长为2，动点满足，.下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，的最大值为 C．当时，则到平面的距离的取值范围是 D．当，且时，则的轨迹总长度为． 【答案】BCD 【详解】 对于A，当时，，即点在边上， 将平面翻折到与平面共面，连接,交于点, 此时，三点共线，取得最小值,而，故A错误； 对于B，当时，，则， 因，则，当且仅当时，取得最大值，故B正确； 对于C，如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则, 当时，， 即,则，, 设平面的法向量为， 则，故可取， 则到平面的距离为， 因，则，故，故C正确； 对于D，当时，由空间向量共面定理，可知点在面内运动， 连接,设与平面交于点,连接, 由正方体的性质，可得,且平面，点为正三角形的中心， 因，则,故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内的部分. 设的内切圆半径为，由三角形面积相等：，解得， 因，故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内的三段弧，如图所示. 在中，,,可得， 由对称性可得，,故的轨迹总长度为，故D正确. 故选：BCD. 3．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习·多选）如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点满足，则的轨迹的长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为动点在正方体内及其边界上运动， 且，，则动点的运动轨迹为线段. 由于，平面，所以平面. 故三棱锥的体积为定值，A正确. 对于B，在正方形中，. 在正方体中，因为平面，又平面，所以. 因为，，，且，平面，所以平面. 动点在正方体内及其边界上运动，且， 所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确. 对于C，设边上的高为，则. 由正弦定理可得，所以，故. 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，. 设，，，，则，. 又，则有，整理得， 所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面. 又，所以，故C错误. 对于D，由，设，，，则， 即，化简得，表示以为球心，半径为的球. 又，，则，即， 化简得，表示以为球心，半径为的球. 两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为， 则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确. 故选：ABD 4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）在棱长为4的正方体中，分别为棱上的动点，且.则下列结论正确的是（    ） A．平面//平面 B．当时，平面截该正方体所得的截面为梯形 C．三棱锥体积的最大值为 D．三棱锥外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面//平面，所以A正确； 对于B：当时，由，正方体的棱长为4， 得，则为等腰直角三角形， 延长交延长线于，延长交延长线于，连接交于， 延长交延长线于，连接， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以和均为等腰直角三角形，所以， 因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，因为平面，平面， 所以∥平面， 因为平面，平面平面，所以∥， 所以∥，所以，所以， 所以和为等腰直角三角形， 所以，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以， 设分别交直线于，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以点在线段上，点在线段上， 所以平面截该正方体所得的截面为六边形，所以B错误； 对于C：因为，正方体的棱长为4， 所以， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值，所以C正确； 对于D：以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为为直角三角形，为斜边，所以外接圆的圆心为的中点， 设三棱锥外接球的球心为，则平面， 所以设，则， 因为，所以， 化简整理得， 所以当时，取得最小值，此时三棱锥外接球的半径取得最小值为 ，所以D正确. 故选：ACD 5．（25-26高二上·四川成都·阶段练习·多选）在棱长为1的正方体中，有，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到直线的距离为1 C．四棱锥外接球表面积为 D．动点在正方体的表面上，满足，则的轨迹长为 【答案】AC 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，由，可知为的中点，    则， 所以， 对于A，设平面的一个法向量为，则， 取，所以，即， 设直线与平面所成角为， 则，故A正确； 对于B，点到直线的距离为 ，故B错误； 对于C，不妨设四棱锥外接球的球心为，球半径为r， 易知球心在底面的投影为正方形的中心，可设， 则， 解得，即，故C正确； 对于D，设， 所以有， 整理得， 所以的轨迹是以为球心，为半径的球体，    所以P能在侧面或侧面及底面上， 设球体与正方体的棱分别交于点， 易知, 若P在底面上，即，则， 此时该圆与底面正方形所交的弧所对圆心角为，所以， 同理若P在侧面上，即，则， 此时该圆与正方形所交的弧所对圆心角为，所以， 若在侧面上，即，则， 此时该圆与正方形所交的弧所对圆心角为，所以， 综上则的轨迹长为，故D错误. 故选：AC 6．（25-26高二上·山东日照·阶段练习·多选）已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（   ） A．当时，直线平面 B．当，，时，点到直线的距离为 C．当时，点的轨迹构成的平面图形的面积为 D．当且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，由题意知，，又， 则， 所以 又平面，平面，且， 所以平面，A正确； 对于B，由题意得，，， 则点到直线的距离 ，故B错误； 对于C，已知，，， 取，可知点在的轨迹构成的平面图形上， 同理取，可知点在的轨迹构成的平面图形上， 取，可知点在的轨迹构成的平面图形上， 则点所确定平面与正方体的截面即为的轨迹构成的平面图形， 即为如图所示正六边形，为所在棱的中点， 正六边形的边长为， 则该平面图形面积为，故C正确； 对于D，因为，所以， ，故， 即，故点在平面上，连接，交平面于点， 则，， 因为， 故，又，所以平面， 且，又，故， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $