圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练-2025-2026学年上学期人教版九年级数学

圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 考点目录 切线长定理 切线的证明 正多边形和圆 弧长和扇形的计算 考点一 切线长定理 例1.(25-26九年级上江苏阶段练习)如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E, PA、PB分别与CD交于点C、D,若PA=10,则△PCD的周长为() 、A D B A.10 B.12 C.16 D.20 【答案】D 【详解】解：~PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,PA、PB分别与CD交于点C、D, :.AC=CE,DE=DB,PA=PB, ~△PCD的周长：PC+CD+PD,CD=CE+DE,PA=10, :.PC+CD+PD=PA+PB=10+10=20, 故选：D 例2.(25-26九年级上江苏泰州阶段练习)如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P,C,D.若 AB=8,AC=5,则BD的长是() B A.5 B.3 C.2 D.1.5 【答案】B 【详解】解：AC、AP为⊙O的切线， .AC=AP=5, BP、BD为⊙O的切线， 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 :BP=BD, :.BD PB=AB-AP=8-5=3. 故选：B. 例3.(24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习)如图，ABC的内切圆⊙I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F ,若OI的半径为r,∠A=a,则(AF+BD-AB)的值和∠FDE的大小分别为() B D A.2r,90°-u B.0,90°-a C.2,90°-a D.0,90°_C 2 【答案】D 【详解】解：如图，连接F,IE. F ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, BF=BD,AF=AE,IF⊥AB,IE⊥AC, ·AF+BD-AB=AF+BF-AB=AB-AB=0,∠AFI=∠AEI=90°， ∴∠EIF=180°-a, A∠EDF=∠EF=90°- 2. 故选：D 例4.(25-26九年级上浙江台州阶段练习)如图，直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且 AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm.则⊙O的直径为()cm. A.4.8 B.6 C.8 D.9.6 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 【答案】D 【详解】解：连接OF, E D G 根据切线长定理得：BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=LOCG; AB∥CD, .∠ABC+LBCD=I80°， ∴∠0BF+∠0CF=90°， ∠B0C=90°， ~0B=6cm,0C=8cm, ÷BC=√0B2+0C2=V82+62=10(cm), ~OF⊥BC, OF=OBxOC=6x8=4.8cm BC 10 ∴⊙0的直径为9.6cm. 故选：D. 例5.(24-25九年级上新疆阿克苏期末)如图，PA,PB分别切⊙O于点A,B,PA=2,∠P=60°，那么AB的长 为 B 【答案】2 【详解】解：PA,PB分别切⊙O于点A,B, ·PA=PB, ∠P=60°， ∴△ABP是等边三角形， :AB=PA=2, 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 故答案为：2 例6.(24-25八年级下·北京·期末)如图，⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D,E,F.若CF=7,AB=9,则 ABC的周长为 B D A 【答案】32 【详解】解：：⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, .AD=AE,CE=CF,BD=BF, .C.ABC=AB+BC+AC =AB+BF +FC+AE +CE =AB+BD+FC+AD+CF =2AB+2CF =2×9+2×7 =32. 故答案为：32 变式1.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC=7cm,⊙O是 它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的周 长为() D 01 A.12cm B.11cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 【答案】C 【详解】解：设⊙O与AB、BC、AC、直线MN分别相切于点D、E、F、H, :△ABC的周长为24cm,BC=7cm, 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 B A:.AB+AC=AD+BD+CF+AF=24-7=17(cm), BD=BE,CF=CE, :BD CF BE CE BC =7cm, ..AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=17-7=10(cm), HM DM,HN=FN :AM MN AN AM HM HN AN AM +D M +FN AN AD+AF =10cm :剪下的三角形的周长为10cm, 故选：C. 变式2.(25-26九年级上·江苏阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相 切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为() D G M 9 A.2 B.25 c.43 3 3 D:3 【答案】D 【详解】解：连接OE,OF,ON,OG,如图所示， E D 在矩形ABCD中， ∠A=∠B=90°，CD=AB=4, AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点， LAE0=∠AF0=∠0FB=∠BG0=90°， ∴四边形AFOE,FBG0是正方形， 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 .AF=BF AE=BG=2, ∴DE=3, DM是⊙O的切线， ∴DN=DE=3,MN=MG, ∴CM=5-2-MN=3-MN 在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2, (3+NM)2=(3-NM)2+42, 4 3, ∴.NM= 413 ∴.DM=3+。= 33 故选：D 变式3.(25-26九年级上江苏徐州阶段练习)如图，EA、ED是⊙O切线，切点为A、D,B、C在⊙O上，若 ∠E=68°，则∠BAE+∠BCD为 B ●O C 【答案】236°/236度 【详解】解：连接AD, A 3 B ●O :EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D,点B、C在⊙O上， D :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠BAD+LBCD=180°， :EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D, 根据切线长定理得出：AE=DE, LE=68°， ·∠EAD=∠EDA=56°， 6 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 ∠BAE+LBCD=∠BAD+∠DAE+∠BCD=180°+56°=236°， 故答案为：236° 变式4.(25-26九年级上·江苏南京阶段练习)已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为」 【答案】1 【详解】解：如图所示，在ABC中，BC=3,AB=4,∠ABC=90°，⊙O是ABC的内切圆，且与AB,AC,BC 分别切于点D,点E,点F, 由勾股定理得AC=√AB2+BC2=5; 由切线的性质可得DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF, 又∠ABC=90°， 四边形BDOF是矩形， 矩形BDOF是正方形， .BD=BF=OD 设BD=BF=OD=x,则AD=4-x,CF=3-x, 由切线长定理可得AE=AD=4-x,CE=CF=3-x, AC=AE+CE, “4-x+3-x=5, x=1, 0D=1, 该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1. D > 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 考点二 切线的证明 例1.(2024安徽·模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上的一点（不与A,B重合），连接AD,点 C为弧BD的中点，过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F. (1)求证：FC是半圆O的切线： (2)若AF=6,AC=4√3，求阴影部分的面积. F B 【答案】（①）见解析 a65-r 【详解】(1)证明：点C为弧BD的中点， ·BC=DC, LB0C=∠D0C, ∠B0C=∠D0c, 1 2 2 0A=OC,∠0AC+∠0CA=∠B0C, ÷∠0CA=∠0AC=∠B0C, 1 LDAC-DOC. ∠OCA=∠DAC, ∴0C∥AD, ~CF⊥AD交AD的延长线于点F, ∠F=90°， ∠0CF=180°-∠F=90°， ~0C是⊙O的半径，且FC⊥0C, ∴FC是半圆O的切线. (2)解：连接CD,如图： 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 D B ×∠F=90°，AF=6,AC=4V5, cos∠DAC=AE=6V5 AC 43 2 ∠DAC=30°， .∠B0C=∠D0C=2∠DAC=60°， ∠A0D=180°-∠B0C-∠D0C=60°， 0A=0D=0C, ∴△AOD和△COD都是等边三角形， ∴.OA=DA=OC=DC=OD, 四边形OADC是菱形， DC∥AB, LCDF=∠0AD=60°， ∠DCF=90°-∠CDF=30°， :CF=4C=)x4W5=23, 1 2 2 DF=CF.30=2x=2. 0D=AD=AF-DF=6-2=4, 5x=8a4DcF-4x25=45.5m-Dr.F=2x25=25 2 :S月影=S,D0c+SDFc-S期彩D0c,S扇形DOc= 60×元×428 360 3元， ∴S期影=45+2W5-8元=6v5-8元 元， 3 3 阴影部分的面积是65-8. 3 例2.(25-26九年级上江苏南京·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的 ⊙O经过AB上的点D,且BD=BC. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若AD=8,AE=4,求CE的长. 9 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 B D 【答案】（①）见解析 (2)12 【详解】(1)证明：在△B0D和△BOC中， BD=BC OB=OB, OD=OC ·BOD≌BOC(SSS), ∴.∠BD0=∠BC0=90°， OD⊥AB, 又0D是⊙O的半径， AB是⊙O的切线； (2)解：设0D=0E=r,则0A=OE+AE=r+4, 由(1)可得∠0DA=90, 由勾股定理得OA=OD2+AD2, (r+4)2=r2+82, 解得r=6, CE=20E=2r=12. 例3.(25-26九年级上江苏无锡阶段练习)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD,AE是 ⊙O的弦，∠AEC=30°. (I)求证：直线AD是⊙O的切线； (2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为10，求AE的长. OM D E 【答案】(1)见解析 10圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 圆：切线长定理、切线的证明、正多边形和圆、弧长和扇形的计算专项训练 考点目录 切线长定理 切线的证明 正多边形和圆 弧长和扇形的计算 考点一 切线长定理 例1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 例2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 例3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 例5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 例6．（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 变式1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 变式2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，、是切线，切点为、，、在上，若，则为 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 考点二 切线的证明 例1．（2024·安徽·模拟预测）如图，是半圆O的直径，D是半圆O上的一点（不与A，B重合），连接，点C为弧的中点，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 例2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 例4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，内接于，，，与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 变式1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则_________． 变式2．（2025·湖北·模拟预测）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 变式3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，以为直径的⊙O交BC于点D，，垂足为点E． (1)求证：直线与相切： (2)当时，求线段的长． 变式4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 考点三 正多边形和圆 例1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 例3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如果正六边形的半径为6，则该正六边形的边长为（   ）． A．3 B．6 C．12 D． 例4．（2024·广东·模拟预测）如图，正五边形与相切于点，若的半径为5，则劣弧的长为 ． 例5．（2024·湖南株洲·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 例6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 变式1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知正六边形的半径为2，则这个正六边形的周长是（   ） A．8 B．12 C． D． 变式2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（    ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 变式3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 变式4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长之比为 ． 变式5．（2025·广东广州·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 ． 考点四 弧长和扇形的计算 例1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·云南丽江·一模）半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 例4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）用一个圆心角为，半径为30的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 例5．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 例6．（25-26九年级上·北京海淀·阶段练习）如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 变式1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2024·广东·模拟预测）用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）一个扇形的弧长为6，半径为3，则该扇形的面积为 ． 变式5．（2025·甘肃武威·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 米． 变式6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $