第十三章 三角形 期中阶段性测试练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 期中阶段性测试 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的为（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．7，8，14 D．2，4，2 2．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B．C． D． 3．已知的内角分别为，，，下列条件： ①； ②； ③； ④．能判定是直角三角形的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中不正确的是（   ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的三条高所在直线交于一点 C．三角形的三条中线均交于三角形内部一点 D．三角形的角平分线是平分内角的射线 6．如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 8．如图，在中，，它的两条外角平分线交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．一个三角形的三个内角的大小不可能是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 10．小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．下列各图中，能使的选项是（   ） A． B． C． D． 12．下列图形具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 13．已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 14．有长度分别为、、、的四根彩色木条，任取三根组成一个三角形有（   ）种不同的组法． A．2 B．3 C．4 D．5 15．如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 16．如图，在锐角中，边上有E，D，F三点，，，垂足为F． （1）以为中线的三角形有 ；以为角平分线的三角形有 ；以为高的钝角三角形有 ． （2）若，则的度数为 ． 17．如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，则的度数为 ． 18．如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为 ． 19．如图，D是的边上一点，，，．则的度数为 ． 20．若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 21．如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 22．已知a，b，c 是的三边长，化简： 23．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 24．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 三、解答题 25．如图，已知的周长为33，是边上的中线，． (1)当时，求的长； (2)能否等于12？为什么？ 26．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 27．如图，求的度数． 28．如图1是路政部门利用曲臂升降机维修路灯时的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和曲臂的底座都与地面垂直，同时上曲臂与下曲臂的夹角，下曲臂与底座的夹角，求上曲臂与路灯的夹角的度数． 29．一块板材如图所示， 测得，，， 根据需要应为，工人师傅说板材不符合要求且只能改动，则增加或减少多少度？ 30．如图，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作 ，交于点D．若， 求和的度数． 31．如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． (1)若是中线， 则，则与的周长差为 ； (2)若是的角平分线，，则 ． (3)若是的高，，求的度数． 32．如图，在 中，，是边上的高，E，F 分别是，的中点，连接，，且，，． (1)求的长； (2)求的面积． 33．如图，是中 边上一点，连接，且． (1)图中共有几个三角形，分别是哪些? (2)是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”） (3)若，，求 的度数． 34．如图，点 P是两内角平分线的交点，N是两外角平分线的交点，延长交于点M． (1)①若 ，则 ②的数量关系是 ； (2)请探索证明与之间的数量关系； (3)在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求的度数． 35．如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 期中阶段性测试练习答案 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的为（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．7，8，14 D．2，4，2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解即可； 【详解】解：、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以能构成三角形，故本选项符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟知三角形高的定义是解题的关键．根据三角形高的定义即可得出结论． 【详解】解：边的高垂直于，且过点， 由图形可得，选项A、B、C三角板的摆放位置不正确，选项D三角板的摆放位置正确， 故选：D． 3．已知的内角分别为，，，下列条件： ①； ②； ③； ④．能判定是直角三角形的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形的内角和定理逐项判断即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴是钝角三角形，该选项不合题意； ②∵，， ∴，无法判断是否是直角三角形，该选项不合题意； ③∵，， ∴， ∴，； ∴是直角三角形，该选项符合题意； ④∵， ∴， ∴是锐角三角形，该选项不合题意； 故选：． 4．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是性质的熟练应用． 由三角形的中线将面积分成相等的两部分，得到阴影部分面积是整个三角形面积的二分之一，进而得求． 【详解】∵ 点 为 边的中点，， ∴， ∵E 为AC边的中点， ， ∵  为 边的中点， ， ， 故答案选： C． 5．下列说法中不正确的是（   ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的三条高所在直线交于一点 C．三角形的三条中线均交于三角形内部一点 D．三角形的角平分线是平分内角的射线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线．根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，故本选项不符合题意； B、三角形的三条高所在直线交于一点，正确，故本选项不符合题意； C、三角形的三条中线均交于三角形内部一点，正确，故本选项不符合题意； D、三角形的角平分线是线段，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 6．如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据可得，再利用平角的定义可求得，最后再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， 又， ． 故选：C． 7．如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了三角形稳定性的应用．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：B． 8．如图，在中，，它的两条外角平分线交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，角平分线和三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.根据三角形的外角的性质结合角平分线的定义得到，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行计算即可. 【详解】解：由题意，得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 故选：C. 9．一个三角形的三个内角的大小不可能是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，可能为三角形的三个内角的度数，不符合题意； B、，不可能是三角形的三个内角的度数，符合题意； C、，可能为三角形的三个内角的度数，不符合题意； D、，可能为三角形的三个内角的度数，不符合题意； 故选B． 10．小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中求角度，涉及平行线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到相关角度关系是解决问题的关键． 先由平行线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，最后根据外角性质表示出即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点在边上，，， ， 在中，，，则， 是的一个外角， ， 故选：B． 11．下列各图中，能使的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质求解即可判断． 【详解】解：只有选项B符合， 故选：B． 12．下列图形具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性逐项判断即可． 【详解】解：、图中含有四边形，故本选项不符合题意； 、图中含有四边形，故本选项不符合题意； 、图中含有四边形，故本选项不符合题意； 、图中都是三角形，故本选项符合题意； 故选：． 13．已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 14．有长度分别为、、、的四根彩色木条，任取三根组成一个三角形有（   ）种不同的组法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两短边之和大于第三边得，可组成三角形的组合有： ①、、； ②、、； ③、、； 故选：B． 15．如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴． 故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 16．如图，在锐角中，边上有E，D，F三点，，，垂足为F． （1）以为中线的三角形有 ；以为角平分线的三角形有 ；以为高的钝角三角形有 ． （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及三角形的内角和定理，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． （1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可； （2）根据三角形的内角和定理和垂直的定义进行计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴以为中线的三角形是； ∵ ∴以为角平分线的三角形是； ∵， ∴以为高的钝角三角形有、、， （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；；． 17．如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形高的定义和三角形内角和定理可得的度数，则可求出的度数，进一步由角平分线的定义可得度数，再由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理计算得出，再由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，点，在的两条边上运动， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图，D是的边上一点，，，．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合，推出，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为： 20．若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】19或23 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或， 故答案为：19或23． 21．如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 22．已知a，b，c 是的三边长，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c 是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 23．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 25．如图，已知的周长为33，是边上的中线，． (1)当时，求的长； (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)4 (2)不能等于12，理由见详解 【分析】本题考查了三角形的三边关系，与三角形的中线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，，算出，再结合是边上的中线，进行计算，即可作答． （2）假设，结合，得出，再结合是边上的中线，进行计算，得，运用三角形三边关系进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为33， ∴ ∵是边上的中线， ∴； （2）解：不能等于12，理由如下： 依题意，当时， ∵的周长为33， ∴ ∵， ∴，，这三边不能构成三角形， 26．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 27．如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和对顶角的性质，关键是灵活应用“角的转化”的思想． 通过连接，利用对顶角相等及三角形内角和将分散的角转化到同一个三角形中，进而求得几个角的和． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∴ ． 28．如图1是路政部门利用曲臂升降机维修路灯时的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和曲臂的底座都与地面垂直，同时上曲臂与下曲臂的夹角，下曲臂与底座的夹角，求上曲臂与路灯的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的判定及性质．延长，交于点，先由三角形外角的性质得到，再证明，即可得到． 【详解】解：延长，交于点， ，， ， ，， ∴， ． 29．一块板材如图所示， 测得，，， 根据需要应为，工人师傅说板材不符合要求且只能改动，则增加或减少多少度？ 【答案】减少 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，解题的关键是作出辅助线． 延长交于点，根据三角形内角和与三角形外角性质即可求得． 【详解】解：延长交于点，如图 ，， ， ， ， ， ． 故答案为：减少． 30．如图，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作 ，交于点D．若， 求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理求解可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，三个内角的平分线交于点O， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． (1)若是中线， 则，则与的周长差为 ； (2)若是的角平分线，，则 ． (3)若是的高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； （2）解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中，； 故答案为：； （3）解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 32．如图，在 中，，是边上的高，E，F 分别是，的中点，连接，，且，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中点与面积的关系． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）先求出，再根据中点得到求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴； （2）解：∵在 中，，E，F 分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 33．如图，是中 边上一点，连接，且． (1)图中共有几个三角形，分别是哪些? (2)是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”） (3)若，，求 的度数． 【答案】(1)图中共有个三角形，分别是，， (2)角平分线 (3) 【分析】（）根据三角形的定义解答 即可； （）根据角平分线的定义即可求解； （）由可得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有个三角形，分别是，，； （2）解：∵， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 34．如图，点 P是两内角平分线的交点，N是两外角平分线的交点，延长交于点M． (1)①若 ，则 ②的数量关系是 ； (2)请探索证明与之间的数量关系； (3)在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可；②求出，，即可得到答案； （2）根据角平分线定义得出，，根据，得出，同理得出，根据四边形内角和求出即可； （3）先证明， 根据，得出，分四种情况分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： ②∵N是两外角平分线的交点，延长交于点M． ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为： （2）解：；理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 即， 同理得：， ∴； （3）解：∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： 若，则， ∴； 若，则， ∴， ∴； 若，则， ∴； 若，则， ∴； 综上所述，的度数是或或或． 35．如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和定理即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $