期中备考之特殊的平行四边形压轴题训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

期中备考之特殊的平行四边形压轴题训练 一．选择题 1．如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD+S△APB； ④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 3．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 4．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④ 5．在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点，则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形ABCD由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的n个有“公共部分”，则n的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MNMC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（　　） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（　　） A．1 B． C．2 D． 10．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN：S四边形CNFB＝2：5；⑤∠ADF＝∠BMF．其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题 11．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为　 　 ． 12．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD； ③∠CHG＝∠DAG；④HGAD．其中正确的有 　 　 ． 13．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 　 　 ． 14．在矩形ABCD中，AB＝1，AD，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BE于E，延长AF、EC交于点H，那么下列结论：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．其中正确结论的序号是　 　 ． 15．在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．当AB＝3，BC＝4时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，t的值为　 　 ． 16．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1＝BB1＝CC1＝DD1a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2＝B1B2＝C1C2＝D1D2A1B1，…．依此规律继续下去，则正方形AnBn∁nDn的面积为 　 　 ． 三．解答题 17．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题： （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　 　 ，数量关系为 　 　 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 18．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F． （1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE，求AB的长； （2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DFAF． 19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE＝BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M． （1）求证：∠BFC＝∠BEA； （2）求证：AM＝BG+GM． 20．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF． （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上， EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长． （3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．直接写出下列两题的答案： ①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝　 　 ； ②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝　 　 （用n的代数式表示）． 参考答案 一．选择题 1．解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°， ∵AE⊥AP， ∴∠EAP＝90°， ∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP， ∵AE＝AP＝1， ∴△ABE≌△ADP（SAS）， ∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP， ∵△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°，EPAE， ∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AEB＝135°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°， ∴EB⊥ED， ∴①正确； ∴BE1＝AE， ∴②不正确； ∵△ABE≌△ADP， ∴S△ABE＝S△ADP， ∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB， ∴EP，∠AEP＝45°， ∵∠AEB＝135°， ∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°， ∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPBAE×APEP×BE1×11， ∴③正确； 如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O， 则∠O＝90°， ∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°， ∴△BOE是等腰直角三角形， ∴OE＝OBBE， ∴AO＝AE+OE＝1， 在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1）2+（）2＝2， ∴S正方形ABCD＝AB2＝2； ∴④正确； 故选：A． 2．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点． 则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°， ∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°， ∴∠PAF＝∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选：B． 3．解：∵DF＝BD， ∴∠DFB＝∠DBF， ∵AD∥BC，DE＝BC， ∴∠DEC＝∠DBC＝45°， ∴∠DEC＝2∠EFB， ∴∠EFB＝22.5°，∠CGB＝∠CBG＝22.5°， ∴CG＝BC＝DE， ∵DE＝DC， ∴∠DEG＝∠DCE， ∵∠GHC＝∠CDF+∠DFB＝90°+22.5°＝112.5°， ∠DGE＝180°﹣（∠BGD+∠EGF）， ＝180°﹣（∠BGD+∠BGC）， ＝180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2， ＝180°﹣（180°﹣45°）÷2， ＝112.5°， ∴∠GHC＝∠DGE， ∴△CHG≌△EGD， ∴∠EDG＝∠CGB＝∠CBF， ∴∠GDH＝∠GHD， ∴S△CDG＝S▭DHGE． 故②③正确， 故选：D． 4．解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点 ∴四边形DEBF为平行四边形 ∴DE∥BF故①正确 ②由①知四边形DEBF为平行四边形 ∵AD⊥BD E为边AB的中点 ∴DE＝BE＝AE ∴四边形BEDF是菱形故②正确 ③∵AG∥DB AD∥BGAD⊥BD ∴AGBD为矩形 ∴AD＝BG＝BC 要使FG⊥AB，则BF＝BC＝BG 不能证明BF＝BC，即FG⊥AB不恒成立 故③不正确 ④由③知BC＝BG ∴S△BFG ∵F为CD中点 ∴S△FCGS平行四边形ABCD ∴S△BFG 故④正确． 故选：D． 5．解：如图所示，小正方形与9个小正方形有“公共部分”是的n的值最大，为6． 故选C． 6．解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°， ∴MN， ∴MN2＝MC2+NC2． 当MNMC时， MN2＝2MC2， ∴MC2＝NC2 ∴MC＝NC． ∴BM＝DN 易证△ABM≌△ADN（SAS）． ∴∠BAM＝∠DAN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＝22.5°，故①正确； ②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE， 则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， 则在△EAN和△MAN中， ∴△EAN≌△MAN（SAS）， ∴∠AMN＝∠AED， ∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°， ∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°， ∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°， 故②正确； ③：∵△EAN≌△MAN， ∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN， ∴△MNC的周长为： MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC， ∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变． 综上①②③都正确． 故选：D． 7．解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠ABP＝∠CBD 又∵NP⊥AB，PE⊥BC， ∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF， ∴NP＝EP， ∴AN＝PF 在△ANP与△FPE中， ∵， ∴△ANP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP（故①④正确）； △APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM ∴∠PMF＝∠ANP＝90° ∴AP⊥EF，（故②正确）； ∵四边形PECF为矩形， ∴PF∥BC，PF＝BC， ∴∠DPF＝45°， ∴PDPFCE， 故⑤不正确； ∵AP＝EF，AD＝BC＝PE+CE，PDCE， ∴只有PE＝CE或PE＝（1）CE时，△APD才是等腰三角形， 故③不正确； 故正确的是：①②④． 故选：B． 8．解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD， ∵△DFE为等边三角形， ∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE， ∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°， ∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°， ∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°， ∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°， ∴∠ADF＝∠EFC， ∴∠BDE＝∠EFC， 故结论①正确； ②如图，连接OE， 在△DAF和△DOE中， ， ∴△DAF≌△DOE(SAS)， ∴∠DOE＝∠DAF＝60°， ∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠COE＝∠DOE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△ODE≌△OCE(SAS)， ∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE， 故结论②正确； ③∵∠ODE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF， 故结论③正确； ④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′， ∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°， ∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′， ∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2， ∴点E运动的路程是2， 故结论④正确； 故选：D． 9．解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM， ∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'， 根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O ∵在正方形ABCD中，AB＝4 ∴ACAB＝4， ∵O为AC中点 ∴OA＝OC＝2 ∵N为OA的中点 ∴ON ∴ON'＝CN' ∴AN'＝3 ∵BM＝3 ∴CM＝4﹣3＝1 ∵∠MCN'＝∠BCA ∴△MCN'∽△BCA ∴∠CMN'＝∠ABC＝90° ∵∠MCN'＝45° ∴△MCN'为等腰直角三角形 ∴MN'＝CM＝1 ∴PM﹣PN的值为1． 故选：A． 10．解：①∵ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠DAF＝∠EDC, ∵DF⊥CE， ∴∠EDM+∠DEM＝90°， ∵∠DEM+∠DCE＝90°, ∴∠ADF＝∠DCE， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE， 故本选项正确； ②∵△ADF≌△DCE， ∴DE＝AF， ∵AE＝DE， ∴AE＝AF， 在△ANF和△ANE中 ， ∴△ANF≌△ANE， ∴NF＝NE， ∵NM⊥CE， ∴NE＞MN， ∴NF＞MN， ∴MN＝FN错误， 故本选项错误； ③∵AF∥CD， ∴∠CDN＝∠NFA，∠DCN＝∠NAF， ∴△DCN∽△FAN， 又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形， ∴AFABDC， ∴， ∴CN＝2AN， 故本选项正确； ④连接CF， 设S△ANF＝1， 则S△ACF＝3，S△ADN＝2， ∴S△ACB＝6， ∴S四边形CNFB＝5， ∴S△ADN：S四边形CNFB＝2：5， 故本选项正确； ⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF＝∠G， 根据②的结论F为AB中点，即AF＝BF， 在△DAF与△GBF中， ， ∴△DAF≌△GBF（AAS）， ∴BG＝AD，又AD＝BC， ∴BC＝BG， 又∵∠ADF＝∠DCE，∠ADF+∠CDM＝90°， ∴∠DCE+∠CDM＝90°， ∴∠DMC＝∠CMG＝90°， ∴△CMG是直角三角形， ∴MB＝BG＝BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠G＝∠BMF， 因此∠ADF＝∠BMF，故选项正确． 所以正确的有①③④⑤共4个． 故选：C． 二．填空题 11．解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH 则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM 在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN 在△DAN和△DCF中 ； ∴△DAN≌△DCF（SAS） ∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45° 又∵∠DAC＝45° ∴∠NAE＝90° ∴AN2+AE2＝NE2 ∵∠GDH＝45°， ∴∠NDE＝45° 在△DNE和△DFE中 ∴△DNE≌△DFE ∴NE＝EF 又∵AN＝CF ∴CF2+AE2＝EF2 故答案为：EF2＝AE2+CF2． 12．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点， ∴BE＝CF， 在△BCE与△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF，（SAS）， ∴∠ECB＝∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠CDF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点， ∴HGCDAD，故④正确； 如图，连接AH， 同理可得：AH⊥DF， ∵HG＝HDCD， ∴DK＝GK， ∴AH垂直平分DG， ∴AG＝AD，故②正确； ∴∠DAG＝2∠DAH， 同理：△ADH≌△DCF， ∴∠DAH＝∠CDF， ∵GH＝DH， ∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF， ∴∠CHG＝∠DAG．故③正确． 综上所述：正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④． 13．解：如图，设AN和BD交于点Q， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴BD4， ∵BM＝2AM， ∴BM+AM＝AB＝4， ∴AM＝BN，BM， ∵AD∥BN， ∴DQ＝3BQ， ∴DQ＝3，BQ， ∵O是BD的中点， ∴OD＝2， ∴OQ＝DQ﹣OD， 在△ADM和△BAN中， ， ∴△ADM≌△BAN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BAN， ∵∠PAD+∠BAN＝90°， ∴∠PAD+∠ADM＝90°， ∴∠APD＝90°， ∵∠DAM＝90°，AM，AD＝4， ∴DM， ∵S△ADMAD•AMDM•AP， ∴AP， ∴PM， ∴PD＝DM﹣PM， ∵△ADM≌△BAN， ∴AN＝DM， ∵， ∴NQ，AQ， ∴PQ＝AQ﹣AP， 如图，过点O作OG⊥DM于点G， ∵OG∥PQ， ∴DGDP，OGQP， ∴PG＝DP﹣DG， ∴OP． 故答案为：． 14．解：∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，AO＝OC，OD＝OB，AC＝BD， ∴AO＝OB＝OD， ∵AB＝1，AD，由勾股定理得：AC＝2， ∴∠ABD＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB，∠BAO＝∠AOB＝60°， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝45°， ∵∠DAF＝∠AFB， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BF＝AB＝OB，∴②正确； ∵CE⊥BD，∠DOC＝∠AOB＝60°， ∴∠ECO＝30°， ∵∠FAC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠H＝∠ACE﹣∠CAF＝15°＝∠CAF， ∴AC＝CH，∴③正确； ∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①错误； ∵∠CEO＝90°，∠ECA＝30°， ∴OEOCOD＝DE， BE＝3DE，∴④正确． 故答案为：②③④． 15．解：如图1，设直线AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分． ∵EH∥BM， ∴， ∴， ∴t． 如图2，设直线长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分， ∵∠D＝∠MCK＝90°，∠AMD＝∠KMC， ∴△ADM≌△KCM（ASA）， ∴AD＝CK＝4， ∵EH∥BK， ∴， ∴， ∴t． 如图3，当点E在线段AC上时，设直线AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分， ∵∠D＝∠MCN＝90°，∠AMD＝∠NMC， ∴△ADM≌△NCM（ASA）， ∴AD＝CN＝4． 在Rt△ABC中，AC5， ∵EF∥AB， ∴， ∴， ∴EF（8﹣t）， ∵EH∥CN， ∴， ∴， 解得t． 如图4，当E点AC上，且正方形EFGH在AC的左边时， 由， ∴， 解得t＝6． 综上所述，满足条件的t的值或或或6． 故答案为：或或或6． 16．解：在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知；，即正方形A1B1C1D1的面积； 在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知：；即正方形A2B2C2D2的面积 … ∴正方形AnBn∁nDn的面积． 故答案为：． 三．解答题（共4小题） 17．解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分） 故答案为：垂直、相等． ②成立，理由如下：…（3分） ∵∠FAD＝∠BAC＝90° ∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中， ∵ ∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分） ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝90° ∴CF⊥BD …（7分） （2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分） 过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分） 则∵∠ACB＝45° ∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45° ∵AG＝AC，AD＝AF， ∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠GAD＝∠FAC， ∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分） ∴∠ACF＝∠AGD＝45° ∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90° ∴CF⊥BC …（12分） 18．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x， ∵BA＝BC，∴BA＝3x． 在Rt△ABM中，E为斜边AM中点， ∴AM＝2BE＝2． 由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2， 即40＝x2+9x2，解得x＝2． ∴AB＝3x＝6． （2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点． ∵DF平分∠CDE， ∴∠1＝∠2． ∵DE＝DA，DP⊥AF ∴∠3＝∠4． ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴∠2+∠3＝45°． ∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°． ∴AH＝AF． ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAH． 又AB＝AD， ∴△ABF≌△ADH（SAS）． ∴AF＝AH，BF＝DH． ∵Rt△FAH是等腰直角三角形， ∴HFAF． ∵HF＝DH+DF＝BF+DF， ∴BF+DFAF． 19．证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠BFC＝∠BEA； （2）连接DG，在△ABG和△ADG中， ， ∴△ABG≌△ADG（SAS）， ∴BG＝DG，∠2＝∠3， ∵BG⊥AE， ∴∠BAE+∠2＝90°， ∵∠BAD＝∠BAE+∠DAM＝90°， ∴∠2＝∠3＝∠DAM， ∵GM⊥CF， ∴∠BCF+∠1＝90°， 又∠BCF+∠BFC＝90°， ∴∠1＝∠BFC＝∠2， ∴∠1＝∠3， 在△ADG中，∠DGC＝∠3+45°， ∴∠DGC也是△CGH的外角， ∴D、G、M三点共线， ∵∠3＝∠DAM（已证）， ∴AM＝DM， ∵DM＝DG+GM＝BG+GM， ∴AM＝BG+GM． 20．（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠EAB+∠AEB＝90°． ∵∠EOB＝∠AOF＝90°， ∴∠FBC+∠AEB＝90°， ∴∠EAB＝∠FBC， ∴△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF； （2）解：方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M， 过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴EF＝BN，GH＝AM， ∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN， ∴∠NO′A＝90°， 故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN， ∴GH＝EF＝4； 方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N， 得FM＝GN，由（1）得，∠HGN＝∠EFM， 得△FME≌△GNH， 得FE＝GH＝4． （3）①∵是两个正方形，则GH＝2EF＝8，②4n． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/30 20:57:32；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $