22.3 相似三角形的性质 课后练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册

22.3 相似三角形的性质 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E是AC的中点，连结DE，且DE＝BC，CD＝2，则AD＝（　　） A．4 B． C． D． 2．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（　　） A． B． C． D．1 3．如图，在正方形ABCD中，AB＝14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD于点F，连结AE，记，若，则GH的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 4．已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：9，则△ABC与△DEF的对应高之比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若CD＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C． D．4 6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 7．如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　） A． B． C． D． 8．为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁CD顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝72米，那么轩辕阁的高度约为（　　） A．54米 B．60米 C．96米 D．144米 9．如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段AB于点P，若使点P能够把线段AB分成1：2两部分，则这个点可以是（　　） A．D B．E C．F D．G 10．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，在AC上取一点E，使EC＝3AE，D为AB中点，EB与DC交于点F，若，∠ADE＝30°，则BF的长度是（　　） A． B． C． D． 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝2，BD＝3，则AD＝　 　 ． 12．如图①所示，在小孔成像的实践探究活动中，随着物距和像距的调节可得到蜡烛火焰的放大或缩小倒立的实像．图形的位似变换也具有放大或缩小的性质，图②为有一实物高度AB＝1.5m，l1，l2分别表示物距和像距，当l1：l2＝1：2时，此时实物AB的像A′B′的高度为 　 　 m． 13．如图，矩形ABCD中，AH⊥BD于H，点P在BD上，∠APH＝2∠BAH，连接CP．若AB＝6，AD＝8，则线段CP的长等于 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若，则 　 　 ． 15．如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 　 　 cm． 16．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 　 　 步． 17．在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接DF，过点F作FE⊥DF交DC的延长线于点E，交BC于点G．若G为EF中点，，则CG＝ 　 　 ；EF＝ 　 　 ． 18．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画线段EF，点E，F分别在AC，BC边上，且． （2）在图②中作格点△AMN与△ABC相似，使△AMN与△ABC的相似比． 19．小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离PQ的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆AB，在点A处架设一根横杆CD，杆CD可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得PQ与AB之间的距离QB为29.4m，小凌绕点A转动杆CD，通过观测发现当点D恰好位于点D'时（此时点C位于点C′），雕塑的顶端P在D'C'的延长线上．测得AB＝2.5m，点D'到CD的距离为2m，点D'到AB的距离为4.2m．PQ⊥QB，AB⊥QB，CD∥QB，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离PQ． 20．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E． （1）求证：△ABD∽△DAF． （2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长． 21．请用无刻度的直尺和圆规按要求作图： （1）如图1，在△ABC中，点P为边AB上一点．过点P求作一条直线l，交AC于点Q，使△APQ∽△ABC．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在△ABC中，分别在边AB、边AC上求作点P、Q，使△AQP∽△ABC且相似为1：2．（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图3，在△ABC中，分别在边AB、边AC上求作点P、Q，使△AQP∽△ABC且相似为1：3．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 22．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G． （1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由； （2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值； （3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B C A A C C 11．1． 12．3． 13．5或． 14．． 15．24． 16．300． 17．2，4． 18．解：（1）线段EF如图所示： （2）△AMN如图所示： 19．解：延长DC交PQ于点M，过点D′作D′N⊥AB于N，则四边形AMQB是矩形，AN＝2m，D′N＝4.2m，AM＝QB＝29.4m，MQ＝AB＝2.5m， ∵AB∥PQ， ∴∠NAD′＝∠P， ∵∠AND′＝∠PMA＝90°， ∴△AND′∽△PMA， ∴PM：AN＝MA：ND′， ∴PM：2＝29.4：4.2， ∴PM＝14m， ∴PQ＝PM+MQ＝16.5m， ∴《长恨歌》群雕最高点到地面距离PQ的长为16.5m． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°， ∴∠ADB+∠ABD＝90°， ∵AF⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∵∠ADB+∠DAF＝90°， ∴∠ABD＝∠DAF， 又∵∠BAD＝∠ADF， ∴△ABD∽△DAF； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD∥BC， ∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC+CG， ∴CG＝2AD， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△GCF， ∴2， 又∵CD＝8， ∴CF，DF， ∵△ABD∽△DAF， ∴， ∴， ∴AD， ∴BG＝3AD＝8， 在Rt△ABG中， AG16， ∴AG的长为16． 21．解：（1）如图，直线l，点Q即为所求； 由作图可知：∠APQ＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△APQ∽△ABC； （2）如图，PQ即为所求； 由作图可知：，∠AQP＝∠B， 由作图可知：，∠AQP＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△AQP∽△ABC，相似比为：； （3）分别以A，B为圆心，以AB 的长为半径画弧，交于点D，连接AD，BD，作∠BAD，∠ABD的角平分线，交于点O，作∠AOF＝∠BAO，交AB于点F，以A为圆心，AF的长为半径，交AC于点Q，作∠AQP＝∠ABC，交AB于点P，即可，如图： 由作图可知：AD＝BD＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAD＝∠ABD＝60°， ∵AO，BO为角平分线， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∠AOF＝∠BAO＝30°， ∴AF＝OF，∠BOF＝∠AOB﹣∠AOF＝90°， ∴BF＝2OF＝2AF， ∴， ∴， ∵∠AQP＝∠ABC，∠BAC＝∠PAQ， ∴△AQP∽△ABC，且相似比为：． 22．解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADE，理由如下： ∵AB2 ＝BE•DC， ∴， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，， ∴△ABE∽△DCA． ∵△ABE∽△DCA， ∴∠AED＝∠DAC． ∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC， ∴∠DAE＝∠C． ∴△ADE∽△CDA； （2）∵△ADE∽△CDA， 又∵DF平分∠ADC， ∴， 设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a， ∴， 解得：AD＝2a， ∴； （3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠DAE＝∠C＝45° ∵DG⊥AE， ∴∠DAG＝∠ADF＝45°， ∴AG＝DGAD2aa， ∴EGa， ∴AE＝AG+EG＝（）a， ∵∠AED＝∠DAC， ∴△ADE∽△DFA， ∴， ∴DF4（）a， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/30 21:49:50；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $