21.4 二次函数的应用 课后练习2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.4 二次函数的应用 一．选择题 1．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（　　） A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月 2．如表中，记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的6组对应值，其中﹣5＜x1＜x2＜1＜x3＜3，根据表中信息，当x≤0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为（　　） x … ﹣5 x1 x2 1 x3 3 … y … m 0 2 0 n m … A．3＜k B．3＜k C．k≤4 D．k＜4 3．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盆台面上有一瓶洗手液，如图a．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压至如图b位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD，小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　） A．12cm B．12cm C．6cm D．6cm 4．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①AB＝30m；②池底所在抛物线的解析式为；③若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m；④池塘最深处到水面CD的距离为3.2m；其中结论错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 6．某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+10x+125，则销售这款商品每天的最大利润为（　　） A．125元 B．150元 C．175元 D．200元 7．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝﹣6t2+15t，则汽车刹车后到停下来需要（　　）秒． A． B． C． D． 8．竖直上抛的小球的高度h（m）与运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，若小球在上抛后第3s与第7s时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　） A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s 9．如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点C为原点建立平面直角坐标系，若AB＝16，CD＝5，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 10．2022年蹦床世锦赛在保加利亚索菲亚落幕，在收官日进行的女子网上个人决赛中，中国选手、山西运动员胡译乘以55.810分获得铜牌，这是中国队在本届世锦赛上收获的第二枚奖牌．胡译乘在蹦床上的一跳，高度y（米）与时间x（秒）之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若她在第2秒与第5秒时高度相等，则她跳的高度最高时是在（　　） A．第2秒 B．第3秒 C．第3.5秒 D．第4秒 二．填空题 11．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．当AB＝5时，花圃面积为　 　 m2，花圃ABCD面积的最大值为　 　 m2． 12．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为14米，则篱笆围成的矩形面积最大为 　 　 平方米． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点．点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为 　 　 ． 14．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线（其中y为垂直高度，x为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离OA为　 　 m． 15．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米，饲养场达到的最大面积为　 　 平方米． 16．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 　 　 元． 三．解答题 17．我校在每年中考后都会为毕业生举办毕业典礼活动，现计划在毕业典礼现场设计一个如图所示的抛物线型拱门入口，要在拱门上粘贴“毕”，“业”，“典”，“礼”四个大字（分别记作A，B，C，D），要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m如图所示： （1）请在图2上建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式； （2）求点C到AD的距离． 18．某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 19．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围； （3）当抛物线y＝x2+bx+c上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求m的值； （4）点M在抛物线y＝x2+bx+c上，其横坐标为1﹣m，过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点M作MN⊥x轴于点N，分别连接PM、PN、QM，当△PQM的面积是△PNM面积的一半且点P、M均在x轴上方时，直接写出m的值 20．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”．根据该约定，完成下列各题． （1）下列函数是“T函数”的有 　 　 ．（填序号） ③y＝x+1；②y＝2024x2+3；③y＝||；④y＝﹣x2+2x+2024． （2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是“T函数”，将此“T函数”进行平移． ①得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（c＜0）图象与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且满足∠ACO＝∠ABC，求平移后新函数的解析式； ②若得到新的二次函数y＝ax2+bx+c图象顶点落在直线y＝2x上，当2≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，直接写出平移后新函数的顶点坐标； （3）关于x的“T函数”L：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y形状相同，函数的最小值为1，若点，，点D为函数L上任意一点，当∠PDQ＜30°时，直接写出点D的纵坐标y的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C B B B C B C 二．填空题 11．45，． 12．49． 13．16． 14．6． 15．192． 16．350． 三．解答题 17．解：（1）建立坐标系，如图所示， 由图可得点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0）， 则顶点E的坐标为（0，0.6）， ∴y＝ax2+0.6， 将点B的坐标代入上式，得a+0.6＝0， 解得：a＝﹣0.6， ∴y＝﹣0.6x2+0.6； （2）由题意得，点D的横坐标为2， ∴代入y＝﹣0.6x2+0.6得，y＝﹣1.8， ∴0﹣（﹣1.8）＝1.8（m）， ∴点C到AD的距离1.8m． 18．解：（1）设商城每次降价的百分率为x， 依题意得：20（1﹣x）2＝16.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为10%． （2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个， 则利润：w＝（20﹣y﹣14）（40+10y）， 整理得：w＝﹣10（y﹣1）2+250， 当y＝1时，获得利润最大，最大为250元， 此时每个商品的定价为20﹣1＝19（元）， 答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元． 19．解：（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）根据抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4可得对称轴为直线x＝1， 由图得，抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值， ∵3﹣1＜1﹣（﹣2）， ∴相较于x＝3时y的取值，x＝﹣2时y的取值更大， ∴在﹣2＜x≤3的范围内，x＝﹣2时y取最大值（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5； 当x＝1时，y取最小值为：12﹣2﹣3＝﹣4， 故当﹣2＜x≤3时，﹣4≤y＜5； （3）①点P在点A左侧时（m＜0），P、A两点之间部分的y值随着x的增大而减小， 即在P点时抛物线取最大值，在A点时抛物线取最小值， ∵P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为时，A（0，﹣3）， ∴P的纵坐标为，即， 解得：（不合题意，舍去），； ②当0≤m≤2时，P、A两点之间部分的最大值为﹣3，最小值为m2﹣2m﹣3或﹣4， 显然最小值是﹣4时不合题意， ∴最小值为m2﹣2m﹣3， ∴， 解得：，（此时P、A两点之间部分的最小值是﹣4，舍去）； ③当m＞2时，P、A两点之间部分的最大值为m2﹣2m﹣3，最小值为﹣4， ∴， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 综上所述，或； （4）或．理由如下： 由题意得：M（1﹣m，m2﹣4），N（1﹣m，0），P（m，m2﹣2m﹣3），Q（0，m2﹣2m﹣3）， ∴S△PQM， ∴S△PNM， ∵△PQM的面积是△PNM面积的一半， ∴， 整理得：|m2﹣4|＝2|m|， 当m2﹣4＝2m时，解得：m＝﹣1±； 当m2﹣4＝﹣2m时，解得：m＝1±； 当m＝1或﹣1时，P，M，均在x轴上方， 当m或时，不满足P，M在x轴上方，舍去， ∴m＝1或﹣1． 20．解：（1）①y＝x+1的图象上不存在两点关于y轴对称，不是“T函数”； ②y＝2024x2+3的图象关于y轴对称，是“T函数”； ③的图象关于y轴对称，是“T函数”； ④y＝﹣x2+2x+2024的图象关于x＝1对称，不是“T函数”； 故答案为：②③； （2）①∵二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是“T函数”， ∴抛物线关于y轴对称， ∴k2﹣1＝0且k+1≠0， 解得：k＝1， ∴k+1＝2， ∴y＝2x2+1， 设平移后的解析式为y＝2x2+bx+c， 当x＝0时，y＝c， 当y＝2x2+bx+c＝0时，设A，B的横坐标为x1；x2， 则C（0，c），，， ∵AB＝2， ∴， 整理得：b2﹣8c＝16， ∵∠ACO＝∠ABC，∠AOC＝∠BOC， ∴△ACO∽△CBO， ∴， ∴OC2＝OA•OB，即：， 解得：c＝0（舍去）或（舍）或， 当时，b2＝12， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：或； ②∵新的二次函数y＝ax2+bx+c图象顶点落在直线y＝2x上， 设平移后抛物线顶点坐标为（m，2m）， 则新的二次函数解析式为y＝2（x﹣m）2+2m， 分三种情况讨论： 1°当m≤2时， 则当x＝2时，ymin＝2（2﹣m）2+2m， 当x＝4时，ymax＝2（4﹣m）2+2m， ∴2（4﹣m）2+2m﹣[2（2﹣m）2+2m]＝6， 解得m2，故舍去； 2°，当m≥4时， 则当x＝2时，ymax＝2（2﹣m）2+2m， 当x＝4时，ymin＝2（4﹣m）2+2m， ∴2（2﹣m）2+2m﹣[2（4﹣m）2+2m]＝6， 解得m4，故舍去； 3°当2＜m≤3时， 则当x＝m时，ymin＝2m， 当x＝4时，ymax＝2（4﹣m）2+2m， ∴2（4﹣m）2+2m﹣2m＝6， 解得m＝4或m＝43（舍去） 此时顶点坐标为（4，8﹣2）； 4°当3＜x＜4时， 则当x＝m时，ymin＝2m， 当x＝2时，ymax＝2（2﹣m）2+2m， ∴2（2﹣m）2+2m﹣2m＝6， 解得m＝2或m＝23（舍去）， 此时顶点坐标为（2，4+2）； 综上，平移后新函数的顶点坐标为（4，8﹣2）或（2，4+2）； （3）yD＞2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/30 21:19:05；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $