检测06 函数的概念与性质（能力卷）-2025-2026学年高一上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测06 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 2．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·河南·一模）已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知为奇函数，且对任意，都有，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 13．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 14．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 16. (15分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 17. (15分) （24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 18. (17分) （24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （21-22高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测06 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 2．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 因为函数任意且，都有， 所以函数在定义域上为单调递减函数， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 5．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 6．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 7．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（2023·河南·一模）已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用函数的周期性及函数的对称性进行计算求解. 【详解】由，得  ① 又函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，即  ② 联立①②两式，可得，所以， 所以函数的一个周期为8，又， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项. 【详解】A选项，对于，令，则，则， 所以，即的定义域为，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确； 故选：ACD. 10．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知为奇函数，且对任意，都有，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由为奇函数可得到的图象关于点对称，由得到的图象关于直线对称，结合两者得到的周期为8，进而化简即可求解. 【详解】由为奇函数，可得，即， 则的图象关于点对称，所以， 又，所以的图象关于直线对称， 结合得， 即，所以，所以 则是以8为周期的周期函数，所以， ，，， 故选：AB. 11．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 13．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 14．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案. 【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立， 则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合）， 又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意， 由，得，此时直线为，则，即对恒成立， 则，则，即实数m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 16. (15分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）（3）利用换元法即可求解. （4）利用方程组法即可得到答案； 【详解】（1）设． ∵， ，解得或， ∴或． （2）令则． ∵， ∴． （3）令，，则，即． ∵， ∴， ∴． （4）∵，① ∴．② 得， ∴． 17. (15分) （24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 18. (17分) （24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19. (17分) （21-22高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】(1)一次支付好，理由见解析 (2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【详解】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元, 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 学科网（北京）股份有限公司 $