检测05 函数的概念与性质（基础卷）-2025-2026学年高一上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测05 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法和即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 3．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案. 【详解】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A. 4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 5．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知：，， 所以二次函数的图象开口向下， 且对称轴为：， 故选：D. 6．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可. 【详解】设，则，又. 故选：A 7．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 8．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】分析函数的周期性，利用函数的周期性求的值. 【详解】由题意可得：， 用代替可得：， 两式相加得：. 所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 所以. 又，所以. 所以. 所以. 故选：D 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·四川·期中）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 10．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，， 当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确； 故选：AD. 11．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项. 【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 13．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，函数有最大值，当时，函数值为， 所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量大于， 当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为：. 14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 16. (15分) （2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）将代入即可求解； （2）解法1令，利用换元法即可求解；解法2配凑法由进而求解； （3）设，利用待定系数法即可求解； （4）利用方程组法即可求解. 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法， 所以． （3）设， 则， 所以，解得， 所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． 17. (15分) （24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 18. (17分) （24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 19. (17分) （24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【详解】（1）当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. （2）因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测05 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   6．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D．以上都不对 7．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·四川·期中）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 11．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 13．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 16. (15分) （2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 17. (15分) （24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 18. (17分) （24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 19. (17分) （24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $