检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷）-2025-2026学年高一上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：B. 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若不等式的解集为，则必有 D．命题“，使得.”的否定为“，使得.” 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，满足题意，但不成立，即充分性不成立； 例如，则， 即，满足题意，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于选项B：若，满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确； 对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确； 对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确. 故选：C. 6．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 7．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 8．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 【答案】AB 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 10．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 【答案】AD 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断. 【详解】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 14．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】 正数、、满足，， ，所以 同理：有得到，所以 两式相加： 即 又,即 即． 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·河南·阶段练习）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明. 【详解】证明：（1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． 16. (15分) （23-24高一上·安徽·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 17. (15分) （22-23高一上·山西大同·期末）已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解； （2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）当时，， 即， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为16. （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 18. (17分) （25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知，. (1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案； （2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. （2）由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 19. (17分) （24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7； (2)①36；②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若不等式的解集为，则必有 D．命题“，使得.”的否定为“，使得.” 6．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 8．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 10．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 13．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 14．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·河南·阶段练习）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 16. (15分) （23-24高一上·安徽·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 17. (15分) （22-23高一上·山西大同·期末）已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 18. (17分) （25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知，. (1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $