精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

大港一中高一年级第一次形成性检测数学试卷 一.选择题：本题共20小题，每小题4分，共80分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，那么是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，那么（ ） A. ， B. C. D. 5. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 6. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，则①；②；③；④中正确个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知a，，若，则为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 12. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 13. 已知，求的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 15. 若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 17. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 使不等式成立的一个充分条件是 C. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 D. 若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是 18. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 19. 已知实数、，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2 20. 已知函数 为定义在R 上的减函数，下列说法不正确的是（ ） A. m的取值范围为 B. 若， 则a的取值范围是 C. D. 对任意满足条件的实数m，均有函数的值域为 二.填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.请将正确的答案填写到答题纸上. 21. 函数的定义域为______． 22. 已知，则的最大值为______. 23. 已知函数，则______． 24. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 25. 函数的单调减区间是_____________． 26. 已知，为正实数，且，则的最小值为______． 27. 若，则函数的最小值为______，此时______. 28. 已知函数在上单调递增，则不等式的解集为________. 29. ，用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为______. 30. 已知函数则在区间上的最大值__________，最小值__________________. 三.解答题：本大题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 31. 已知函数 且 （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）求函数在区间上的最大值. 32. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港一中高一年级第一次形成性检测数学试卷 一.选择题：本题共20小题，每小题4分，共80分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：A. 2. 已知命题：，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】量词命题的否定是改变量词，否定结论， 故“”的否定是“”. 故选：C. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合的补集，然后求出的不等式的解集，最后根据交集的概念进行求解即可. 【详解】因为集合，所以. 因为，解不等式得. 因为，所以. 所以. 故选：C. 4. 已知集合，，那么（ ） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】集合，， 故选：D 5. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据容斥原理计算． 【详解】由容斥原理知两个兴趣小组至少参加一个的人数为， 故选：C． 6. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把集合具体化，图中阴影部分表示，然后利用集合的运算法则计算即可. 【详解】，， 故，图中阴影部分表示， 故. 故选：D 7. 已知集合，则①；②；③；④中正确个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】由， 则，，，. 故选：C 8. 已知a，，若，则为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相等集合的意义，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得且，由，得，则， 所以. 故选：A 9. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，进而求得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 所以集合的子集个数为. 故选：D 10. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】当时，成立，故充分性满足， 当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 11. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，当且仅当即时取等； 故，即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最值，属于基础题型. 12. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 13. 已知，求的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助不等式的同向可加性计算即可得. 【详解】由，则，则， 又，则. 故选：A. 14. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质及特殊值法逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，由，可得，故A错误； 对于B，若， 则，故B正确， 对于C，若， 则 ，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以，即，故D错误. 故选：B. 15. 若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而可求得的取值范围. 【详解】由命题 “”为真命题，即不等式在上恒成立， 所以，当，可得，所以. 故选：D. 16. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出的充要条件，利用充分必要条件概念判断. 【详解】，即，等价于，解得， 所以的充要条件为， 使“”成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 17. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 使不等式成立的一个充分条件是 C. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 D. 若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】验证充分性和必要性判断选项AC；验证充分性判断选项B；由二次不等式的解集求参数范围判断选项D. 【详解】对于A，若，当时，，故由不能推出； 若，例如，，此时不成立， 故由也不能推出， 即是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，当时，则，， 所以不是不等式成立的充分条件，故B错误； 对于C，由解得，记集合， 设为集合， 若“”的一个必要不充分条件是“”， 即B是A的必要不充分条件，则是的真子集， 故需满足或，解得， 经检验，当时，是的真子集，符合题意， 故实数的取值范围是，故C正确； 对于D，关于x的不等式在上的解集是空集， 则，解得 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：C. 18. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 19. 已知实数、，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用“1”的代换化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故选：A 20. 已知函数 为定义在R 上的减函数，下列说法不正确的是（ ） A. m的取值范围为 B. 若， 则a的取值范围是 C. D. 对任意满足条件的实数m，均有函数的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】因为， 对于A，当时，， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即，解得， 即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故B正确； 对于C，∵， 即对所有的都成立， 因为函数是定义在上的减函数， 所以，恒成立，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以在上单调递减，又，所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：D. 二.填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.请将正确的答案填写到答题纸上. 21. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得函数定义域. 【详解】由题，且，则定义域为：. 故答案为： 22. 已知，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则由二次函数的性质可知其对称轴为， 又，且该二次函数开口向下，所以在对称轴上此时函数的最大值，为. 故答案为：. 23. 已知函数，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】令可求解. 【详解】令得：. 故答案为：6 24. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性确定最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数解析式可知在上单调递减， 所以最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的和为， 故答案为： 25. 函数的单调减区间是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对勾函数的单调性直接写出单调递减区间. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数的单调减区间是：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查对勾函数的有关知识，属基础题. 26. 已知，为正实数，且，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】，为正实数，且， ， 当且仅当，即时，等号成立，又， 故时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4 27. 若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 28. 已知函数在上单调递增，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递增， ，所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 29. ，用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数新定义及一次、二次函数的图象，数形结合确定的单调递减区间. 【详解】根据已知函数解析式，可得如下示意图，为实线部分图象， 由图知，的单调递减区间为. 故答案为： 30. 已知函数则在区间上的最大值__________，最小值__________________. 【答案】；. 【解析】 【分析】结合对称轴分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述，，. 故答案为：；. 三.解答题：本大题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 31. 已知函数 且 （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）0 （2） 由（1）知 ，故 ， 在区间  上，任取  且 ， 考虑函数值差： ， ， ， 分母： （恒正）；分子中： ，故 ， 且在区间  上，当  时，有 ， 故，即. 由单调性定义，函数在  上递增. （3）1 【解析】 【分析】（1）将  代入函数即得答案； （2）用函数单调性定义证明即可； （3）利用基本不等式可求最值. 【小问1详解】 将  代入函数：， 得：，解得：. 故 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知 ，定义域为 . 因为，所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2， 此时. 32. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $