精品解析：四川省双流中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年度四川省双流中学高2023级高三上学期10月月考 数学学科试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.考生需要将选择题部分用2B铅笔填涂，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规范书写非选择题部分. 2.不得折叠，污染，破坏答题卡. 一、单选题.（共40分） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的内角的对边分别为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则一定为钝角三角形 B. 若，则解此三角形必有一解 C. 若，则一定为等腰三角形 D. 若是锐角三角形，则 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C. 记第n行的第i个数为，则 D. 第30行中第12个数与第13个数之比为 二、多选题：下面每道题均有多个选项符合题意，全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分，共18分. 9. 若的图象在，处的切线分别为，，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 直线，在轴上的截距之差的绝对值为2 D. 直线，在轴上的截距之积可能为 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题.（共15分） 12. 已知正实数满足，那么的最大值为_________． 13. 圆与圆的公共弦长为______. 14. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最大时，三棱锥外接球的体积为______. 四、解答题.（77分）（在作答时，请写清楚详细的过程） 15. 已知数列，若_________________． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解． ①； ②，，； ③，点，在斜率是2的直线上． 16. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． （1）证明：平面PAD； （2）在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右焦点且. （1）求的值及椭圆的方程； （2）设直线平行于为原点)，且与椭圆交于两点A、. (i)当面积最大时，求的方程； (ii)当A、两点位于直线的两侧时，求证：直线是的平分线. 19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． （1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； （2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度四川省双流中学高2023级高三上学期10月月考 数学学科试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.考生需要将选择题部分用2B铅笔填涂，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规范书写非选择题部分. 2.不得折叠，污染，破坏答题卡. 一、单选题.（共40分） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与常用数集的关系一一判定选项即可. 【详解】易知，即A错误； ，即B正确； ，即C错误； ，即D错误. 故选：B 2. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由得 则对应点（-3，-2）位于第三象限． 故选C． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 3. 的内角的对边分别为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则一定为钝角三角形 B. 若，则解此三角形必有一解 C. 若，则一定为等腰三角形 D. 若是锐角三角形，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将式子化简结合余弦定理即可判断A，由正弦定理即可判断B，由余弦定理化简即可判断C，由正弦函数的单调性结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，若，即， 化简可得，由正弦定理可得，所以，即，故正确； 对于B，若，由正弦定理可得，因为，则，即三角形只有一解，故正确； 对于C，若，由余弦定理可得，整理可得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于D，若是锐角三角形，则,所以，即，所以，即，同理可得，所以，故正确； 故选：C 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：. 5. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立； 若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立； 所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题. 6. 已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为， 则，且， 所以，，， 依题意为等腰三角形，， 所以，化简得，又， 所以，即， 解得，又，所以， 即椭圆的离心率为. 故选：B 7. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则 有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即 且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数 与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可. 8. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C. 记第n行的第i个数为，则 D. 第30行中第12个数与第13个数之比为 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，利用组合数性质即可求解；选项B、D，利用杨辉三角中数的排列规律即可判断；选项C，先用杨辉三角确定，再结合二项式定理可得. 【详解】对A，由可得 ，故A错误； 对B，第2023行有2024项，中间两项最大，即和， 也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误； 对C，第n行的第i个数为，所以，故C正确； 对D，第30行中第12个数与第13个数之比为 ，故D错误． 故选：C． 二、多选题：下面每道题均有多个选项符合题意，全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分，共18分. 9. 若的图象在，处的切线分别为，，且，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 直线，在轴上的截距之差的绝对值为2 D. 直线，在轴上的截距之积可能为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据及导数的几何意义得，再借助于基本不等式即可判断A、B，写出、的方程，得到、在轴上的截距，由此判断C，D. 【详解】对于A、B：由题意可得，当时，， 当时，，所以的斜率分别为， 因为，所以，得， 故A正确. 因为，所以， 因为，所以取不到最小值，故B错误． 对于C、D：的方程为，即， 令，得，所以在轴上的截距为， 的方程为，可得在轴上的截距为， 所以在轴上的截距之差为，故C正确. 在轴上的截距之积为，故D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题关键是找到，各选项均是建立在此结论的基础上，由可求的最小值；转化为的问题都可以利用计算. 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D. 【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在P使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：ABC 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据三角形重心的向量性质及向量的加减法求得结果；对于B，根据三角形的外心性质结合向量的数量积求得结果；对于C，由欧拉线定理得，即，结合三角形重心的向量性质进行计算即可；对于D，利用正余弦定理及向量的数量积公式进行计算. 【详解】对于A，的重心为，有，且，， 故，故A正确. 对于B，的外心为，有 ，故B错误； 对于C，由欧拉线定理得，即，又， 所以，故C正确； 对于D，因为，，， 所以由余弦定理 又，所以，如图，， 由正弦定理可得，所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 三角形的三条垂直平分线交于一点，即为外心，外心是三角形外接圆的圆心. （1）； （2），；. 三、填空题.（共15分） 12. 已知正实数满足，那么的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意和基本不等式可得，解不等式即可求出． 【详解】∵， ∴， 整理可得， 解得， ∴ 当且仅当即且时取等号， ∴的最大值为， 故答案为：． 13. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 14. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最大时，三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取为的中点，为的中点，连接，证明平面平面，从而可得点在线段上，再说明直线与平面所成角最大时，点的位置，再利用坐标法求出三棱锥外接球的半径，结合球的体积公式即可得解. 【详解】解：取为的中点，为的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 所以点在线段上， 因为垂直平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 由，则当最小时，直线与平面所成角最大， 此时为的中点， 如图以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设三棱锥外接球球心的坐标为， 则，解得， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题.（77分）（在作答时，请写清楚详细的过程） 15. 已知数列，若_________________． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解． ①； ②，，； ③，点，在斜率是2的直线上． 【答案】（1）选①或者选②或者选③， （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可； 若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可； 若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式； （2）利用裂项相消求和即可 【小问1详解】 若选①，由， 所以当，， 两式相减可得：， 而在中，令可得：，符合上式， 故． 若选②，由（，）可得：数列为等差数列， 又因为，，所以，即， 所以． 若选③，由点，在斜率是2的直线上得：， 即， 所以数列为等差数列且． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以 ． 16. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，的值，由此即可得解； （2）首先，由题意得出总存在，即的值域包含，由此即可列出不等式组求解. 【小问1详解】 ，，， 所以函数图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得，， 若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得， 即对任意的，总存在使得，即， 又， 从而的值域包含， 当时，的值域为， 所以，解得， 当时，的值域为， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． （1）证明：平面PAD； （2）在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在PD上找中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点， ∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，从而证明，线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，利用二面角大小列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又， 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 由F为棱PC上一点，设， ， 设平面FAD的法向量为， 由可得，解得：， 令，则，则， 取平面ADC的法向量为， 则二面角的平面角满足：, 解得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 18. 已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右焦点且. （1）求的值及椭圆的方程； （2）设直线平行于为原点)，且与椭圆交于两点A、. (i)当面积最大时，求的方程； (ii)当A、两点位于直线的两侧时，求证：直线是的平分线. 【答案】（1），； （2）(ⅰ)； (ii) 要证直线为是的平分线，转化为证明， 因此结论成立. 【解析】 【分析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组即可求得c和椭圆的标准方程； (2)(i)根据几何关系表示出的面积，求其最大值即可得到l的方程； (ii)要证直线为是的平分线，转化为证明. 【小问1详解】 设，，则，， ∵，解得， 由在椭圆上，可得，又，解得，， 则椭圆的方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)解：由于，设直线的方程为，，，，， 由可得， 则△，解得， ，， 则， 又点到的距离， ∴， 当且仅当，即时，等号成立. ∴直线的方程为； (ii)略 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． （1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； （2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 【答案】（1）得分布列为： X 1 2 3 P （2）①；②．【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求的分布列； （2）设投掷次后，数据仍在中的概率为，则可得，，利用构造法可求通项. 【小问1详解】 的可能取值为1，2，3 ，， 所以得分布列为： X 1 2 3 P 【小问2详解】 ①由题意，当投掷3次骰子后，点数大于3的概率为，若点数大于4的概率为， 数据在中，共有4种情况： ，其概率为； ，概率为； ，概率为； ，概率为； 所以投掷3次后，数据在中的概率为． ②设投掷次后，数据在中的概率为， 所以当时，， ， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $