精品解析：辽宁省朝阳市朝阳联盟2025-2026学年高二上学期10月联合考试数学试卷

2025~2026学年度上学期高二年级10月份联合考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔扣答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册～选择性必修第一册第二章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 不存在 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 已知集合，则真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 4. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A B. C. D. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（ ） A. B. 6 C. -6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线满足，且间距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A B. C. D. 10. 在中，记角的对边分别为，则（ ） A. 若，，，则解此三角形有两解 B. 若为锐角三角形，则 C. 的充要条件为 D. 若，则为等腰直角三角形 11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_____. 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 14. 已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 16. 已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 17. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高二年级10月份联合考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔扣答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册～选择性必修第一册第二章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程即可求解. 【详解】由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故选：D. 3. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由确定，再结合交集与真子集的概念即可求解. 【详解】由，得解得， 所以，又， 故， 即有2个元素，故的真子集个数为. 故选：A. 4. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当到直线的距离最大时，的面积最大，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 又圆心坐标为，所以，又半径为， 则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为. 故选：D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质以及充分与必要条件的判断即可. 【详解】取，则，故充分性不成立； 当时，一定有，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 7. 已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】正方体中心为，由正方体的棱长求出外接球和内切球的半径，由得到是正方体内切球的直径，从而得到，利用向量的三角形加法法则得到和，求解即可. 【详解】设正方体外接球半径为，内切球半径为，正方体的中心为，则， 所以，所以，即， 因为，所以是正方体内切球的直径，所以， 所以 . 故选：B. 8. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（ ） A. B. 6 C. -6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案. 【详解】设，由，得， 化简得， 若，此时不存在，舍去， 若，此时点坐标为，但不满足， 故不合要求，舍去， 若，即点在圆上， 圆心，半径. 圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得596， 所以或，即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 10. 在中，记角的对边分别为，则（ ） A. 若，，，则解此三角形有两解 B. 若为锐角三角形，则 C. 的充要条件为 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形可知A正确；根据锐角三角形定义和诱导公式可知B正确；根据三角形大边对大角及正弦定理可知C正确；利用正弦定理边化角可推导得到或，知D错误. 【详解】对于A，由余弦定理得：， 即，解得：或， 此三角形有两解，A正确； 对于B，为锐角三角形，，，， ，， ，B正确； 对于C，当时，，由正弦定理知：，充分性成立； 当时，由正弦定理知：，，必要性成立； 的充要条件是，C正确； 对于D，， 由正弦定理可得：，， ，或， 或，即为等腰三角形或直角三角形，D错误. 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系标点，根据题意可得．对于A：利用向量可得，即可判断垂直；对于B：利用向量可得，进而判断线面平行；对于C：分别求平面与平面的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断；对于D：求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 则，即． 对于选项A：若，，即， ，， 则，故，即A正确； 对于选项B：若，，则，， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：设平面的法向量，则 令，则，可得， 又因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的大小与无关，故C错误； 对于选项D：设平面的法向量为， 因为，，可得，即， 取，可得，，可得是平面的一个法向量， 因为，则点到平面的距离为， 又因为，可得，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】由， ，解得． 故答案为：． 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出函数草图，利用绝对值函数、对数函数、二次函数的性质得，，，结合对勾函数性质求零点之和的范围. 【详解】根据解析式可得草图如下： 要使互不相等的实数满足， 由图知：，，，且， 令，则或；令，则或；令，则； 令，则；令，则；令，则或； 所以， 所以，在上递增， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 【答案】（1）；. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求周期，令，，求得对称轴； （2）根据余弦函数单调区间求法求出单调区间. 【小问1详解】 的最小正周期为； 令，，解得，， 故的图象的对称中心为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 故的单调递减区间为，. 16. 已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. 【小问1详解】 整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; 【小问2详解】 当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 17. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1）. （2）480 （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【小问1详解】 由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. 【小问2详解】 由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. 【小问3详解】 由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 19. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 当四棱锥体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，所以 设平面的一个法向量为， 又，， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，， ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $