3.3幂函数 预习案+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3《幂函数》的预习案 学习目标 理解幂函数的定义，能根据定义判断幂函数。掌握常见幂函数的图象和性质，能分析幂函数的单调性、奇偶性等性质。会利用幂函数的图象和性质解决简单的比较大小、定义域、值域等问题。 教学重点、难点 重点：幂函数的定义，常见幂函数的图象和性质。 难点：幂函数性质的综合应用，不同幂函数图象和性质的区别与联系。 预习问题 问题1、请写出幂函数的定义，并判断函数、是否为幂函数。 答案：幂函数的定义是一般地，形如（为常数）的函数叫做幂函数。函数不是幂函数，因为其系数不是1；函数不是幂函数，因为它不是形如的形式。 问题2、画出幂函数、、、、的图象，观察它们的图象特征，总结幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性质。 答案：：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为R，偶函数，在上单调递减， 在上单调递增。 ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为，非奇非偶， 在上单调递增。 ：定义域为，奇函数， 在和上分别单调递减。 问题3、结合幂函数、、、、的图象，总结幂函数的共有性质 【答案】 幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方． 问题4、判断 “幂函数和都是偶函数” 这一说法是否正确？若不正确，说明理由。 答案：不正确；理由：①，定义域为，关于原点对称，且，是偶函数；②，定义域为，不关于原点对称，不满足奇偶性的判断前提，故不是偶函数。 问题5、有同学认为 “幂函数的定义域是，且在和上都单调递减，所以它在整个定义域上是单调递减函数”，这种说法对吗？请举例反驳。 答案：不对；反驳：取，，满足，但，，即，不满足 “单调递减函数中‘自变量大则函数值小’ ” 的定义； 易错点：混淆 “区间上的单调性” 与 “定义域上的单调性”，幂函数时，仅在和上分别单调递减，不能合并为 “定义域上单调递减”。 问题6、判断 “若幂函数过点，则它在上一定单调递增” 这一结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，举例说明。 答案：成立；理由：幂函数过，说明在定义域内，故；根据幂函数性质，当时，在上一定单调递增。 问题7：已知幂函数在上单调递减，且图象过第二象限，试判断的取值情况，并举例说明。 答案：且为负偶数或负分数中分子为偶数、分母为奇数的情况，此时函数为偶函数，图象关于y轴对称，故分布在第二象限（如，对应函数，定义域为，是偶函数，图象过第二、四象限）。 问题8、比较和的大小，和的大小，说明依据。 答案：，因为幂函数在上单调递增，且； ，因为幂函数在上单调递减，且。 问题9、如何判断一个函数是否为幂函数？ 答案：(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． 知识梳理 1、幂函数的定义：一般地，形如（为常数）的函数叫做幂函数。 2、常见幂函数的图象与性质 ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为R，偶函数，在上单调递减， 在上单调递增。 ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为，非奇非偶， 在上单调递增。 ：定义域为，奇函数， 在和上分别单调递减。 3、幂函数的性质总结 （1）幂函数的图象都过点； （2）当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减。 （3）幂函数的奇偶性由决定，当为整数时，可根据整数的奇偶性判断；当为分数时，可根据定义域和与的关系判断。 预习检测 1、（多选题）关于幂函数的定义，下列说法正确的是（） A.形如（，为常数）的函数都是幂函数 B.幂函数的系数必须为1。 C. 幂函数的形式为（为常数）。 D. 函数是幂函数 答案：BCD 解析：选项 A 错误，因为幂函数的系数必须为1；选项 B、C 是幂函数的定义，确；选项 D，符合幂函数的形式，是幂函数，正确。 2、（多选）关于幂函数的性质，下列说法正确的是（） A.所有幂函数的图象都过点 B. 当时，幂函数在上单调递增 C.幂函数在定义域上是减函数 D. 幂函数的奇偶性由决定 答案：ABD 解析：选项 A，对于，当时，，所以所有幂函数的图象都过点，正确；选项 B 是幂函数的单调性性质，正确；选项 C 错误，在和上分别单调递减，不是在定义域上整体为减函数；选项 D，幂函数的奇偶性由的取值决定，正确。 3、（多选）关于幂函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数是偶函数，且在上单调递减 B. 当时，函数是奇函数，且图象过点 C. 当时，函数定义域为，且在该区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 答案：AC 解析：A 正确，是偶函数，递减、递增；B 错误，定义域不含 0，图象不过；C 正确，定义域，单调递增；D 错误，值域为，故正确答案为 ACD。 4、函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B．经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.故选：C. 5、如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 【答案】2、、、 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，当时，幂函数在上单调递减，并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大，所以、、、相对应的依次为2、、、.故答案为：2、、、. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 3.3 幂函数 一、学习目标 理解幂函数的定义，能根据定义判断幂函数。掌握常见幂函数的图象和性质，能分析幂函数的单调性、奇偶性等性质。会利用幂函数的图象和性质解决简单的比较大小、定义域、值域等问题。 二、教学重点难点 重点：幂函数的定义，常见幂函数的图象和性质。 难点：幂函数性质的综合应用，不同幂函数图象和性质的区别与联系。 三、预习问题 问题1、请写出幂函数的定义，并判断函数、是否为幂函数。 答案：幂函数的定义是一般地，形如 为常数）的函数叫做幂函数。函数不是幂函数，因为其系数不是1；函数不是幂函数，因为它不是形如 的形式。 问题2、画出幂函数 的图象，观察它们的图象特征，总结幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性质。 答案： ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为R，偶函数，在 上单调递减， 在 上单调递增。 ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为 ，非奇非偶，在 上单调递增。 ：定义域为 ，奇函数， 在 和 上分别单调递减。 问题3、结合幂函数 的图象，总结幂函数的共有性质。 【答案】 幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． ③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． 问题3、结合幂函数 的图象，总结幂函数的共有性质。 【答案】幂函数的性质 ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方． 问题4、判断 “幂函数 和 都是偶函数” 这一说法是否正确？若不正确，说明理由。 答案：不正确；理由：①，定义域为，关于原点对称，且，是偶函数；②，定义域为，不关于原点对称，不满足奇偶性的判断前提，故不是偶函数。 问题5、有同学认为 “幂函数 的定义域是 ，且在 和 上都单调递减，所以它在整个定义域上是单调递减函数”，这种说法对吗？请举例反驳。 答案：不对；反驳：取，，满足，但，，即，不满足 “单调递减函数中‘自变量大则函数值小’ ” 的定义； 易错点：混淆 “区间上的单调性” 与 “定义域上的单调性”，幂函数时，仅在 和 上分别单调递减，不能合并为 “定义域上单调递减”。 问题6、判断 “若幂函数 过点 ，则它在 上一定单调递增” 这一结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，举例说明。 答案：成立；理由：幂函数过 ，说明 在定义域内，故 ；根据幂函数性质，当 时， 在 上一定单调递增。 问题7：已知幂函数 在 上单调递减，且图象过第二象限，试判断的取值情况，并举例说明。 答案：且为负偶数或负分数中分子为偶数、分母为奇数的情况，此时函数为偶函数，图象关于y轴对称，故分布在第二象限（如，对应函数，定义域为，是偶函数，图象过第二、四象限）。 问题8、比较 和 的大小， 和 的大小，说明依据。 答案：，因为幂函数 在 上单调递增，且 ； ，因为幂函数 在 上单调递减，且 。 问题9、如何判断一个函数是否为幂函数？ 答案： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足： ①指数为常数， ②底数为自变量x， ③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． 幂函数的性质： ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为R，偶函数，在 上单调递减， 在 上单调递增。 ：定义域为R，奇函数，在R上单调递增。 ：定义域为 ，非奇非偶，在 上单调递增。 ：定义域为 ，奇函数， 在 和 上分别单调递减。 知识梳理： 1、幂函数的定义是一般地，形如 为常数）的函数叫做幂函数。 3、幂函数的性质总结 幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． ③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． 六、自探检测 1、（多选题）关于幂函数的定义，下列说法正确的是（） A.形如 （ ， 为常数）的函数都是幂函数 B.幂函数的系数必须为1。 C. 幂函数的形式为 （ 为常数）。 D. 函数 是幂函数 答案：BCD 解析：选项 A 错误，因为幂函数的系数必须为1；选项 B、C 是幂函数的定义，确；选项 D，符合幂函数的形式，是幂函数，正确。 2、关于幂函数的性质，下列说法正确的是（） A.所有幂函数的图象都过点 B. 当 时，幂函数在 上单调递增 C.幂函数 在定义域上是减函数 D. 幂函数的奇偶性由 决定 答案：ABD 解析：选项 A，对于，当时，，所以所有幂函数的图象都过点，正确；选项 B 是幂函数的单调性性质，正确；选项 C 错误， 在和 上分别单调递减，不是在定义域上整体为减函数；选项 D，幂函数的奇偶性由的取值决定，正确。 3、（多选）关于幂函数的性质，下列说法正确的是（ ） 当 时，函数是偶函数，且在 上单调递减 当 时，函数是奇函数，且图象过点 当 时，函数定义域为 ，且在该区间上单调递增 D. 当 时，函数的值域为 答案：AC 解析：A 正确， 是偶函数，递减、 递增；B 错误， 定义域不含 0，图象不过；C 正确， 定义域为 ，单调递增；D 错误， 值域为，故正确答案为 ACD。 4、函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】 ，定义域为 ，排除A，B．经过定点 ， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.故选：C. 5、如图是幂函数 的部分图象，已知 取 、2、 、 这四个值，则与曲线 、 、 、 相对应的 依次为 ． 【答案】2、 、 、 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当 时，幂函数在 上单调递增，当 时，幂函数在 上单调递减，并且在直线 的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数 依次增大，所以 、 、 、 相对应的 依次为2、 、 、 . $ 3.3《幂函数》的预习案 学习目标 理解幂函数的定义，能根据定义判断幂函数。掌握常见幂函数的图象和性质，能分析幂函数的单调性、奇偶性等性质。会利用幂函数的图象和性质解决简单的比较大小、定义域、值域等问题。 教学重点、难点 重点：幂函数的定义，常见幂函数的图象和性质。 难点：幂函数性质的综合应用，不同幂函数图象和性质的区别与联系。 预习问题 问题1、请写出幂函数的定义，并判断函数、是否为幂函数。 问题2、画出幂函数、、、、的图象，观察它们的图象特征，总结幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性质。 问题3、结合幂函数、、、、的图象，总结幂函数的共有性质 问题4、判断 “幂函数和都是偶函数” 这一说法是否正确？若不正确，说明理由。 问题5、有同学认为 “幂函数的定义域是，且在和上都单调递减，所以它在整个定义域上是单调递减函数”，这种说法对吗？请举例反驳。 问题6、判断 “若幂函数过点，则它在上一定单调递增” 这一结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，举例说明。 问题7：已知幂函数在上单调递减，且图象过第二象限，试判断的取值情况，并举例说明。 问题8、比较和的大小，和的大小，说明依据。 问题9、如何判断一个函数是否为幂函数？ 知识梳理 1、幂函数的定义：一般地，形如（为常数）的函数叫做幂函数。 2、常见幂函数的图象与性质 3、幂函数的性质总结 预习检测 1、（多选题）关于幂函数的定义，下列说法正确的是（） A.形如（，为常数）的函数都是幂函数 B.幂函数的系数必须为1。 C. 幂函数的形式为（为常数）。 D. 函数是幂函数 2、（多选）关于幂函数的性质，下列说法正确的是（） A.所有幂函数的图象都过点 B. 当时，幂函数在上单调递增 C.幂函数在定义域上是减函数 D. 幂函数的奇偶性由决定 3、（多选）关于幂函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数是偶函数，且在上单调递减 B. 当时，函数是奇函数，且图象过点 C. 当时，函数定义域为，且在该区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 4、函数的图象是（    ） A． B． C． D． 5、如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $