3.2.1 函数的最值（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的最大值与最小值，系统讲解定义、几何意义及值域关系，通过“定义条件能否去掉”“函数是否一定有最值”等问题链导入，搭建从单调性到最值应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析培养数学眼光与思维，如辨析小明结论深化值域与最值认知，图像法、二次函数分类讨论等题型渗透几何直观与逻辑推理，帮助学生精准理解概念，为教师提供结构清晰、题型丰富的教学资源。

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第2课时 函数的单调性 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 知识点　函数的最大值与最小值   最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有 f(x)____M f(x)____M (2)∃x0∈I，使得________ 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的_______ f(x)图象上最低点的_______ ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 1.在函数的最大值定义的两个条件中，能否去掉其中的一个？ 答：不能.若只有(1)，则M不一定是最大值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了.而最大值的核心就是不等式f(x)≤M，故也不能只有(2). 2.一个函数是否一定有最值？若有最值，它与值域有什么关系？ 答：不一定有最值，例如：y＝x，x∈(1，2). 若有最值，最小值即为值域中的最小值，最大值即为值域中的最大值. 3.关于函数的值域与最值的关系，小明得出下列两个结论： (1)若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b； (2)若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]. 小明的判断是否正确？ 答：小明的判断不完全正确. 函数的值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，(1)正确；f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，(2)错误. 题型一 ——图像法求最值 探究1 (1)图象法是求函数最值的常用方法，这种方法较为简单，但要求图象易得出. (2)求最值时，最大值与最小值都要交代明白，有没有，有的话，是多少. 巩固训练1　已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域. 巩固训练2 用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________. 6 题型二 ——二次函数的最值 例2　已知函数f(x)＝x2－4x－4. (1)若函数定义域为[3，4]，求函数的最值； 【解析】　 y＝x2－4x－4＝(x－2)2－8的图象开口向上，对称轴为x＝2. (1)当x∈[3，4]时，f(x)为增函数，最小值为f(3)＝－7，最大值为f(4)＝－4. (2)若函数定义域为[－3，4]，求函数的最值. 【解析】f(x)＝(x－2)2－8在[－3，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增， ∴最小值为f(2)＝－8. 又f(－3)＝17，f(4)＝－4， ∴最大值为17. (也可以通过比较－3和4到对称轴x＝2的距离，抛物线开口向上时，哪一个距离对称轴远哪一个对应的函数值就较大，抛物线开口向下时，哪一个距离对称轴近哪一个对应的函数值就较大) 探究2 求解二次函数f(x)在区间[m，n]上的最值，关键在于确定其图象的开口方向与对称轴的位置，确定函数在给定区间上的单调性，求出最值. 巩固训练 【多选题】若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A.2　　　　　　　　　 B.3 C.4 D.5 √ √ 【解析】函数y＝x2－4x－4的图象如图所示， 因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]， 结合图象可得2<a≤4， 结合a是正整数，所以B、C正确.故选BC. 题型三 ——单调性法求最值 探究3 利用单调性求最值： (1)要熟练掌握基本函数的单调性及其单调区间. (2)一般步骤： ①判断函数的单调性. ②利用单调性写出最值. (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. 巩固训练1 (－∞，2] 巩固训练2 随堂训练 1.【多选题】设函数f(x)的定义域为R，则下列四个命题中真命题是(　　) A.若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值 B.若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值 C.若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值 D.若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值 √ √ 2. 函数y＝x2－2x＋2在[－2，2]上的最大值、最小值分别为(　　) A.10，2　　　　　　　　 B.10，1 C.2，1 D.以上都不对 √ √ 5. f(x)＝x4－2x2－1，x∈[－1，2]的值域为________. [－2，7] 解析　令t＝x2，x∈[－1，2]，则t∈[0，4]， g(t)＝t2－2t－1＝(t－1)2－2， 则g(t)在[0，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增. ∴－2≤g(t)≤7. ∴f(x)的值域为[－2，7]. 能力提升 方法二显然是错的，问题也是出现在定义域上，因为运用“Δ≥0”时忽略了t的取值范围. 方法三是错的，原因也是出在定义域上. 方法四正确. 【讲评】利用基本不等式法、判别式法、配方法求值域时，都要注意函数的定义域. 强基训练 注意：当所求分式的结构为分子与分母一个一次、一个二次时可利用基本不等式求最值. 感谢观看与聆听 THANKS 例1　画出函数y＝eq \f(1,x)的图象，并求函数在以下区间上的值域. (1)[1，7]；(2)[－7，－1]；(3)[－5，0)∪(0，5]. 【解析】图象如图所示. (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，1)).(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,7))).(3)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,5)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)). 【分析】　eq \x(\a\al(去绝,对值))→eq \x(\a\al(分段,函数))→eq \x(作图)→eq \x(识图)→eq \x(结论) 【解析】y＝－|x－1|＋2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，))函数图象如图所示. 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2， 没有最小值，值域为(－∞，2]. 【解析】 在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象，如图.解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6). 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))所以函数f(x)的图象为图中的实线部分.观察图象知，点(4，6)即为f(x)的图象的最高点，故f(x)的最大值为6. 例3　(1)求函数y＝2x＋eq \r(x－1)的最值. 【解析】由x－1≥0得x≥1，即函数定义域为[1，＋∞). 因为函数y＝2x与y＝eq \r(x－1)在[1，＋∞)上都单调递增， 所以y＝2x＋eq \r(x－1)在[1，＋∞)上是增函数. 所以当x＝1时，ymin＝2×1＋eq \r(1－1)＝2. 即函数的最小值为2，没有最大值. ②当2≤x1<x2≤3时，1－eq \f(4,x1x2)>0，f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x)在[2，3]上单调递增. ∴f(x)的最小值为f(2)＝2＋eq \f(4,2)＝4. 又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋eq \f(4,3)＝eq \f(13,3)<f(1)， ∴f(x)的最大值为5. (2)求函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1，3]上的最大值与最小值. 【解析】∀x1，x2∈[1，3]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋eq \f(4,x1)－eq \f(4,x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2))). 又∵x1<x2， ∴x1－x2<0. ①当1≤x1<x2≤2时，1－eq \f(4,x1x2)<0，f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)在[1，2]上单调递减. 函数f(x)＝x－eq \r(2－x)的值域为__________. 【解析】∵函数定义域为(－∞，2]，y＝x和y＝－eq \r(2－x)在(－∞，2]上都单调递增， ∴当x＝2时，f(x)max＝2－eq \r(2－2)＝2. ∴函数值域为(－∞，2]. 已知函数f(x)＝eq \f(3,2x－1). ①证明：函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减； ②求函数f(x)在[1，5]上的最值. 【解析】①证明：∀x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝eq \f(3,2x1－1)－eq \f(3,2x2－1)＝eq \f(6(x2－x1),(2x1－1)(2x2－1)). 由于eq \f(1,2)<x1<x2，所以x2－x1>0，2x1－1>0，2x2－1>0 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减. ②由①知，函数f(x)在[1，5]上单调递减， 因此，函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间[1，5]的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq \f(1,3). 3.函数y＝eq \f(2,x＋1)在[2，3]上的最小值为(　　) A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.－eq \f(1,2) 解析　y＝eq \f(2,x＋1)在(－1，＋∞)上单调递减，所以它在[2，3]上也单调递减，当x＝3时，ymin＝eq \f(2,3＋1)＝eq \f(1,2).故选B. 4.已知函数y＝x＋eq \f(1,x)，x∈[1，2]，则函数的值域为________. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) 分式函数的最值 求函数y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))的值域时有以下四种方法，判断哪种方法是正确的. 方法一(基本不等式法)：y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))≥2， ∴值域为[2，＋∞). 方法二(判别式法)：设eq \r(x2＋2)＝t(t≥eq \r(2))，则y＝t＋eq \f(1,t)，即t2－ty＋1＝0，∴Δ＝y2－4≥0，∴y≥2或y≤－2(舍去). 方法三(配方法)：令eq \r(x2＋2)＝t(t≥eq \r(2))，则y＝t＋eq \f(1,t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(t)－\f(1,\r(t)))) eq \s\up12(2)＋2≥2. 方法四(单调性法)：令eq \r(x2＋2)＝t(t≥eq \r(2))，则y＝t＋eq \f(1,t)， 易证y＝t＋eq \f(1,t)在t≥eq \r(2)时是增函数， 所以当t＝eq \r(2)，即x＝0时，ymin＝eq \f(3\r(2),2). 故 y∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，＋∞)). 【解析】方法一是错的，因为当且仅当eq \r(x2＋2)＝eq \f(1,\r(x2＋2))时等号成立，而此时x2＝－1，无解.所以y≥2的结论是错的，此例告诫我们，利用基本不等式求值域，一定要检查应用基本不等式的条件与定义域是否一致. 求下列函数的值域. ①y＝eq \f(x2＋3x＋5,x＋1)；②y＝eq \f(x＋1,x2＋3x＋5). 【解析】①y＝eq \f((x＋1)2＋(x＋1)＋3,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(3,x＋1)＋1， 当x＋1>0时，y≥2eq \r(3)＋1，当且仅当x＝eq \r(3)－1时等号成立； 当x＋1<0时，y≤－2eq \r(3)＋1，当且仅当x＝－eq \r(3)－1时等号成立. 即函数的值域为(－∞，－2eq \r(3)＋1]∪[2eq \r(3)＋1，＋∞). ②当x＋1≠0时，令t＝eq \f(x2＋3x＋5,x＋1)， 则y＝eq \f(1,t)，t∈(－∞，－2eq \r(3)＋1]∪[2eq \r(3)＋1，＋∞). ∴y∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－2\r(3)＋1)，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2\r(3)＋1))). 当x＋1＝0时，y＝0， 即y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(3),11)，\f(2\r(3)－1,11))). $