4.1 函数 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

函数 4.1函数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 关于x轴y轴对称点的坐标 2 课前复习 新课探索 常量与变量 3 新课探索 函数的定义 函数的表示方法 函数图像的定义 函数图像的做法 函数的解析式 题型练习 函数的概念 8 题型练习 求自变量的取值范围 求自变量的值或函数值 函数的表示方法 函数的解析式 从函数图像获取信息 易错点 17 易错点 总结 18 总结 课前复习 一、关于x轴y轴对称点的坐标 关于x轴对称的点，横坐标x值不变，纵坐标y值变为相反数；即点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b) 关于y轴对称的点，纵坐标y值不变，横坐标x值变为相反数。即点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b) 新课探索 一、常量与变量 1.变量和常量的定义： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 2.判断方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的、可以互相转化； ③字母不一定就是变量. 【练习】在圆的周长公式C=2πr中，变量是__,常量是___. 答案：C r 2π 分析：∵在圆的周长公式C=2πr中，C与r是改变的，π是不变的；∴变量是C,r,常量是2π. 二、函数的定义 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 注意 ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应。 【练习】下列图像不表示y是x的函数的是（） A B C D 答案：B、 分析：根据函数的定义可知，只有B不能表示函数关系. 故选：B. 三、函数的表示方法 (1)列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； (2)解析法能准确地反映函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然； (3)图象法能直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律. 【练习】如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是 ( ) A 凌晨4时气温最低为-3℃ B 14时气温最高为8℃ C 从0时至14时，气温随时间增长而上升 D 从14时至24时，气温随时间增长而下降 答案：C、 分析：A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点-3,∴凌晨4时气温最低为-3℃,故本选项正确； B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8,∴14时气温最高为8℃,故本选项正确； C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项错误； D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确. 故选：C. 四、函数图像的定义 对于一个函数，如果把自变量与因变量的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。 注意 ①函数图像上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图像上； ③判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法是： 将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图像上。 【练习】下列哪个点在函数y=-x+3的图象上( ) A (-5,8) B (0.5,3 ) C (3,6) D (1,1) 答案：A、 分析：A、∵当x=-5时，y=5+3=8,二此点在函数图象上，故本选项正确； B、∵当x=0.5时，y=-0.5+3=2.5≠3,二此点不在函数图象上，故本选项错误； C、∵当z=3时，y=-3+3=0≠6,二此点不在函数图象上，故本选项错误； D、∵当x=1时，y=-1+3=2≠1,二此点不在函数图象上，故本选项错误. 故答案为A. 五、函数图像的做法 描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表：在自变量的取值范围内有代表性的取值，并求出相应的函数值； 2.描点：建立平面直角坐标系，以表格中每一个自变量的值为横坐标，与其对应的函数值为纵坐标，逐一描出各个点。 3.连线：按横坐标由小到大的顺序用平滑的曲线依次连接所描各点。 【练习】画出函数的y=2x, y=-2x, y=2x+1函数图像. 解析： 六、函数的解析式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 例如，y=x+9时表示y是c的函数，若写成x=y-9就表示x是y的函数.注意 ①函数解析式是等式. ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量. 【练习】长方形的周长为24厘米，其中一边为x(其中x>0),面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系可以写为( ). A y=(12-x)·x B y=(12-x)² C y=x² D y=2(12-x) 答案：A、 分析：长方形的一边是x cm,则另一边长为(12-x)cm,则y=(12-x)·r, 故答案是y=(12-x)·x,选A. 题型练习 1、 函数的概念 1．如图，下列图象中，能表示是的函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：如图，下列图象中，能表示是的函数的有， 故选：B． 2．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【答案】D 【分析】本题的解题思路是逐一分析每个选项，看是否满足对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在圆的面积公式中，对于r的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是r的函数，表述正确，不符合题意； B、在匀速运动公式中，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数，表述正确，不符合题意； C、根据光的反射定律，反射角等于入射角，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值（等于）与之对应，所以是的函数，表述正确，不符合题意； D、在表达式中，当时，对于的每一个确定的值，都有两个值，不满足函数定义中“唯一确定”的条件，所以不是的函数，表述不正确，符合题意． 故选：D． 2、 求自变量的取值范围 3．在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【分析】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意． 故选． 4．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， ， ∴， 故选：C． 3、 求自变量的值或函数值 5．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 6．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查程序框图，解题的关键是根据题意得到的值． 根据条件可先求得，再根据的值分情况讨论即可． 【详解】当输入， ， ，解得， 当输出的值为时，有两种情况， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 故选：A． 4、 函数的表示方法 7．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 8．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． 5、 函数的解析式 9．某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式的判断，观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故，经验证，符合表格中数据， 故选：C． 10．若每6个台阶就升高1米，则上升高度（米）与上升的台阶数（个）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数解析式，根据题意直接写出数量关系即可得到答案． 【详解】解：∵每6个台阶就升高1米， ∴当上升的台阶数是m个时，上升的高度为（米）， 即， 故选：D． 6、 从函数图像获取信息 11．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 【详解】解：A、从早上6时开始气温逐渐下降，至9时以后才逐渐升高，该选项错误，不符合题意； B、当日温度为的时间点有3个，该选项错误，不符合题意； C、当日气温均在以上，该选项正确，符合题意； D、当日气温在以下的时长约为个小时，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 12．位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（   ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．小陆家距离基地350千米 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效的获取信息，根据速度等于路程除以时间，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，小陆家距离研学基地225千米，选项B的判定错误，选项B符合题意； 汽车经过80分钟后到达服务区，选项C的判断正确，选项C不合题意； 他们在服务区休息了（分钟），选项A的判断正确，选项A不合题意； 在服务区休息前的行驶速度：， 休息后的行驶速度：， 则在服务区休息前的行驶速度比休息后快，选项D的判定正确，选项D不合题意； 故选：B． 易错点 1、函数概念理解不清：忽略“两个变量”“对于自变量每一个确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应”，误判函数关系. 2、自变量取值范围忽略：实际问题中未考虑x的实际意义（如非负、整数等）；纯数学问题中忽略整式函数自变量取全体实数的前提. 3、实际应用中关系错误：找不出自变量与因变量；列函数关系式时遗漏数量关系；误解图像上点的实际意义. 4、函数与方程联系不清：误将一次函数与x轴交点纵坐标当作方程kx+b=0的解（应为横坐标）. 总结 常量与变量 1.变量和常量的定义： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 2.判断方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的、可以互相转化； ③字母不一定就是变量. 函数的定义 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 注意 ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应。 函数的表示方法 (1)列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； (2)解析法能准确地反映函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然； (3)图象法能直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律. 函数图像的定义 对于一个函数，如果把自变量与因变量的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。 注意 ①函数图像上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图像上； ③判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法是： 将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图像上。 七、函数图像的做法 描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表：在自变量的取值范围内有代表性的取值，并求出相应的函数值； 2.描点：建立平面直角坐标系，以表格中每一个自变量的值为横坐标，与其对应的函数值为纵坐标，逐一描出各个点。 3.连线：按横坐标由小到大的顺序用平滑的曲线依次连接所描各点。 函数的解析式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 例如，y=x+9时表示y是c的函数，若写成x=y-9就表示x是y的函数.注意 ①函数解析式是等式. ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数 4.1函数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 关于x轴y轴对称点的坐标 课前复习 新课探索 常量与变量 新课探索 函数的定义 函数的表示方法 函数图像的定义 函数图像的做法 函数的解析式 题型练习 函数的概念 题型练习 求自变量的取值范围 求自变量的值或函数值 函数的表示方法 函数的解析式 从函数图像获取信息 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 一、关于x轴y轴对称点的坐标 关于x轴对称的点，横坐标x值不变，纵坐标y值变为相反数；即点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b) 关于y轴对称的点，纵坐标y值不变，横坐标x值变为相反数。即点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b) 新课探索 一、常量与变量 1.变量和常量的定义： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 2.判断方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的、可以互相转化； ③字母不一定就是变量. 【练习】在圆的周长公式C=2πr中，变量是__,常量是___. 二、函数的定义 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 注意 ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应。 【练习】下列图像不表示y是x的函数的是（） A B C D 三、函数的表示方法 (1)列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； (2)解析法能准确地反映函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然； (3)图象法能直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律. 【练习】如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是 ( ) A 凌晨4时气温最低为-3℃ B 14时气温最高为8℃ C 从0时至14时，气温随时间增长而上升 D 从14时至24时，气温随时间增长而下降 四、函数图像的定义 对于一个函数，如果把自变量与因变量的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。 注意 ①函数图像上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图像上； ③判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法是： 将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图像上。 【练习】下列哪个点在函数y=-x+3的图象上( ) A (-5,8) B (0.5,3 ) C (3,6) D (1,1) 五、函数图像的做法 描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表：在自变量的取值范围内有代表性的取值，并求出相应的函数值； 2.描点：建立平面直角坐标系，以表格中每一个自变量的值为横坐标，与其对应的函数值为纵坐标，逐一描出各个点。 3.连线：按横坐标由小到大的顺序用平滑的曲线依次连接所描各点。 【练习】画出函数的y=2x, y=-2x, y=2x+1函数图像. 六、函数的解析式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 例如，y=x+9时表示y是c的函数，若写成x=y-9就表示x是y的函数.注意 ①函数解析式是等式. ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量. 【练习】长方形的周长为24厘米，其中一边为x(其中x>0),面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系可以写为( ). A y=(12-x)·x B y=(12-x)² C y=x² D y=2(12-x) 题型练习 1、 函数的概念 1．如图，下列图象中，能表示是的函数的有（   ） A． B． C． D． 2．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 2、 求自变量的取值范围 3．在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 4．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、 求自变量的值或函数值 5．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 6．按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 4、 函数的表示方法 7．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 8．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 5、 函数的解析式 9．某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 10．若每6个台阶就升高1米，则上升高度（米）与上升的台阶数（个）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6、 从函数图像获取信息 11．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 12．位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（   ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．小陆家距离基地350千米 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 易错点 1、函数概念理解不清：忽略“两个变量”“对于自变量每一个确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应”，误判函数关系. 2、自变量取值范围忽略：实际问题中未考虑x的实际意义（如非负、整数等）；纯数学问题中忽略整式函数自变量取全体实数的前提. 3、实际应用中关系错误：找不出自变量与因变量；列函数关系式时遗漏数量关系；误解图像上点的实际意义. 4、函数与方程联系不清：误将一次函数与x轴交点纵坐标当作方程kx+b=0的解（应为横坐标）. 总结 常量与变量 1.变量和常量的定义： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 2.判断方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的、可以互相转化； ③字母不一定就是变量. 函数的定义 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 注意 ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应。 函数的表示方法 (1)列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； (2)解析法能准确地反映函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然； (3)图象法能直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律. 函数图像的定义 对于一个函数，如果把自变量与因变量的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。 注意 ①函数图像上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图像上； ③判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法是： 将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图像上。 七、函数图像的做法 描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表：在自变量的取值范围内有代表性的取值，并求出相应的函数值； 2.描点：建立平面直角坐标系，以表格中每一个自变量的值为横坐标，与其对应的函数值为纵坐标，逐一描出各个点。 3.连线：按横坐标由小到大的顺序用平滑的曲线依次连接所描各点。 函数的解析式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 例如，y=x+9时表示y是c的函数，若写成x=y-9就表示x是y的函数.注意 ①函数解析式是等式. ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量. 1 学科网（北京）股份有限公司 $