云南师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期高考适应性月考卷（四）数学试题

云南师大附中2026届高考适应性月考卷（四） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试題卷上作答无效· 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，·小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求， 1.已知集合A={-2-1.0,1,2,-B={x|xl>x,则4nB= A.{-2,-1,0} B.{-2,-1} C.{-2} D.{0,1,2 2.若(z-1)(1-i)=z,则z= A.-1-i B.-1+i ,C.1-i D.1+i 3.已知a=(2,1),=(1,.x)；若a∥(6-2a),则x= A-1 c克 D.1 4.若sin2a=-1,则tana= A. B. 3 C.1 D.±1 已知F,F,是双曲线C21(>0,6>0)的左、右焦点，点P在双曲线G |PR,l=2PR,1,osLR,PR=子，则双曲线C的离心率为 A.② B.-√2 C.5 D.2 2 6.在△ABC中，AB=2AC=2,∠BAC=120°，点D是BC上一点，且BD=2DC,则AD= B.1 c. 3 D.2 数学·第1页（共4页） 7.已知直线l:x+y-1-2a=0与圆0：x2+y=9交于A,B两点.当△0AB的面积最大 时，则a= A.1 B.2 C.7 D·1或7 8.若f八)的定义域为R,且八x+)八-y)=2fx)),J'1)=2:则2025)= A.-4 B.-2 C.2 D.4 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数x)=cos2x-司引，则 A.f(x)的最小正周期是π B)在-于，)上递增 C石是)的一个极大值点 D.将函数了产os2x的图象上所有点向右平移个单位长度得到yx)的图象 10.已知正方体ABCD-A,B,C1D1的棱长为2，点M,N,P分别为棱AB,CC1,A,D1的 中点，则 A.DB,⊥面PMN B.AC,与面PMN所成角的F弦值为 C.平面PMN截正方体所得的截面面积为3√万 .D.若Q为平面PMN上的动点，且直线QB,与直线DB,的夹角为30°，则点Q的轨 迹长度为2m 1.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,若直线x-my-1=0过点F与C交于A,B 两点，线段AB的中垂线与C的准线交于点P,且线段AB的中点为Q,则 A.p=2 B.∠AOB一定为钝角 直线0Q的斜率最大值为 D若PO1=AAB1,则A≥分 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S,=a2+5a1,则公比g= 13. 已知函数f代x)=(x2+x-l)e-a有三个零点，则实数a的取值范围是 14、已知a1=1,a2=4,a=9,a4=16,若实数b1,b2,b3,b4满足{a+a,11≤i<j≤4}= (b:+b11≤≤4}，则有序数列1b1,b2,b,b4有 对 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽遐200人进 行调查，得到如下列联表： 日均体育锻炼时长（单位：小时） 学业成绩 [1,2) 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 (1)记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为P,给出p的 估计值； (2)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ n(ad-bc)2 附：=(a+b)(c+d)(a+e)(6+d西 P(X2≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（本小题满分15分) 已知数列{a}满足a+1=2an+2'+1,且a1=1. (1)求证： 为等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 数学·第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C:源长=1(>0,6>0)的左焦点为R,离心率为7，过点F与：轴垂直的 直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点P(2,1)向椭圆引两条切线，切点分别为A,B.求证：PF平分∠AFB. 18.（本小题满分17分) 已知函数f八x)=aea-)x-nx-x. (1)当a=2时，求f八x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2)若对任意的x>1,f八x)≥0恒成立，求a的取值范围. 19.（本小题满分17分) 在△ABC中，AB⊥AC,AC=2AB=4,D是AC的中点，将△ABD沿BD翻折垒 △A1BD,记二面角A1-BD-C的平面角为a(0<a<T). (1)若A1C=2W3,求证：面A,BD⊥面BCD; (2)当α=150时，求三棱锥A1-BCD的外接球半径； (3)设面A,BD与面A,BC所成的角为B,求cosB的最小值. 数学·第4页（共4页）数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 5 7 答案 B D C A B A D A 【解析】 1.:B={x|x<0,A∩B={-2,-1},故选B. 2.yg-0-)=2,z-1-12+i=3,z=1+i-1+i,故选D. 3.万-2a=(-3,-2,a/6-2m,2(x-2)=-3,x=,故选C. 4."m2a=-12a-2版受a=-子ta=tmc到 =-1,故选A. 5.1PF=2|PE|,|PF|-|PE=2a,PF=4a|PF=2a,在△PrE中，cos∠FPF,= 月32-|BE2162+4a2-4c-5a,c=2-e=3,∴e=2,故 2PFPF 16a2 6.BD=2DC..AD=14B+24CAD=I4B'+44C+44B.AC- 3 0 9 7.SaB=x10A1-10B:sin∠A0B当∠AOB=90,即OALO时，及s最大，此时点0 到直线的距离为3c0s45°=2d=-12a_?V5,a=1或7，故选D. √d2+12 8.令y=山则f6+D+fx-)=2fmf⑩=)f+2)+fm=f(+.小fx+2)= -f(x-1),∴f(x+3)=-f(x),∴.f(x)是周期为6的周期函数，令x=1,y=0,则2fI)= f0f0.f0=4f202=6x37+3列=f0)=-f0=4故选A. 数学参考答案·第1页（共8页） ■■■■■□■■ 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 【解析】 9.最小正周期是，故A正痛：x(子引2x-背气到引w 2 在（子引不单调递蜡，改B错误：“）1若是心的-个极大监点，放C正 故D错误，故选AC. 10.以D为原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,2), C1(0,2,2),M(21,0),N(0,2,1),P1,0,2,.PM=1,1,-2),PN=（-1,2,-1), DB=(2,2,2),PM·DB1=0,PN.DB1=O,.PM⊥DB,PN⊥DB,又PM∩PN =P,∴.DB⊥面PN,故A正确：由DB⊥面PMN,∴.DB,为面PMN的法向量，设AC 与面PMN所成角为a,AC=(-2,2,2),DB,=(2,2,2),.sina=cos(AC,DB)F AC·DB C.023X2放B错误，平面2N战正方体所得的截面是边长为2的 ,故截面面积为6x×2×V2×号=3V3,故C正确：“DB1面2 2 足为O,∴.在平面PN内以O为圆心，OB tan30°为半径作圆，则该圆即为点Q的轨迹，由 正方体的性质可知08D8×25-及：半径=o8m30-5×5-,枚点 3 Q的轨迹长度为2π，故D正确，故选ACD. 11.易知F0,0),=1,·p=2,故A正确；由 x-y-1=0 y2=4x 得y2-4y-4=0,设 A(,)B(x2y2),则y+y2=4,月y2=-4,∴.x1+x2=(y+2)+2=42+2, =)=1,a1.O=X,+yy=1-4=-3<0,“∠A0B一定为钝角，故B正 16 确.：a241咖ke当时：k-0当子0时.如-2m+ 2 数学参考答案·第2页（共8页） ■■■■■口■■口 2m+19 故C错误；线段AB的中垂线 方程为y-2=-m(x-2m2-1),令x=-1,则y=2m3+4,.P(-1,2m3+4m, .P0=V(2m2+2)2+(2m-2m2=20+m2)V1+2,1AB=x+x2+p=4m2+4, A=PO=+m≥，故D正确，故选ABD. ABI 2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 ±2 (0,5e3) 48 【解析】 12.由题可知4+4+4，=4+54，∴4=4g,.☑=4，.q=±2. 13.令f(x)=0,则(x2+x-1)e=a,设g(x)=(x2+x-1)e, g'(x)=(x2+3x)e*，令g'(w)=0,得x=-3或0， 当x<-3或x>0时，g'(x)>0,8(x)在(-0，-3)，(0，+0) 图1 上递增，当-3<x<0时，g()<0,∴·gx)在(-3,0)上递减，∴g)大值=g(3)=5e3, ∴gw)服小值=8(0)=-1，作出g()的图象，由图1可知，a∈(0,5e) 14.由题可知4+4，=5,4+4，=10,4+a,=17,4+4=13,4+a=20,a+4=25, ∴{他+b,11≤i<4={a+a11≤i<j4)=5,10,13,17,20,25}，不妨设 b≤b2≤b,≤b,当b+b,≤b,+b时，b+b2=5,b,+b,=10,b+4,=13,b,+b,=17, b,+b=20,b,+b=25,解得b=-1,b,=6,b,=11,b=14,故有序数列化，b2,b,b) 有A=24对：当b,+b,≤b+b,时，b+b=5,b+b,=10,b+b=13,6+a=17, b,+b=20,b,+b,=25,解得b=1,b,=4,b=9,b,=16,故有序数列{亿，b,b,b,}有 A:=24对，综上，有序数列{6，b2,b,b,}有24+24=48对. 数学参考答案·第3页（共8页） ■■■■■□■■□ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由列联表可知：学业成绩优秀的同学有100人，学业成绩优秀且日均体育锻炼 时长为1至2小时的同学有40人， 故0-子 …(6分) (2)零假设：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时无关， X=-200X40X75-25x60-20-5128>3.841 100×100×65×135 39 故零假设不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小 时有关。… …(13分) 16.(本小题满分15分) (1)证明：4+1+1=2(a+1)+2+， .+1_2a++1=0+1+1, 2+1 2+1 2” :0n+1_0+1=1 22+ 2” 一，是首项为1，公若为1的等茶玫列 …(6分) 2 (2)解：由1)知0，+1=1+m-D×1=ma=n…2-1 2 设S=1.2+2.22+3.23+…+n…2, .2S=1.22+2.23+.+0n-1).2”+1n…2+1 两式相减得 -S=2+2+23++2”-n2m1=22- 2-1 2-1n…21=(1-0.21-2, ∴.S=(n-1）…2+1+2, .Sn=(-1).2+1+2-n.… …(15分) 17.(本小题满分15分) X=-C (1)解： 由 x2,y2, 得v=， d b2 =1 a 数学参考答案·第4页（共8页） ■■■■■口■■口 2b2 =3 a a=2 a 2 a2-b2=c2 c=1 做椭圆的方程为X士y=1。…(5分) 43 (2)证明：易知直线x=2与椭圆C相切，不妨设切点为A,则A(2,0), 设另一条切线为y-1=k(x-2), [y-1=k(x-2) +-1得(4k÷+3列x2-8(2k-1x+162-16k-8=0, 43 ∴.△=64K2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=192k+96=0, 1 ∴k=- 2 Xg= 》为号小切点手 2(4k2+3) 3 -0 ·直线BF的斜率为ke=tan∠BEA=,2 3 1-(-1)41 又直线PF的斜率为kr=tan∠PFA= 1-01 2-(-1)3 2× 3 .∴.tan2∠PFA =tan∠BFA, 1)2 4 1 3 ∴.∠BFA=2∠PFA, ∴PF平分∠AFB.… ………（15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)当a=2时，f(x)=2e-hx-x, fw)=2e-1k=f'0=2e-2, 又f0)=2e-1,∴.切线为y-(2e-1)=(2e-2(x-1),.y=(2e-2)x+1, 数学参考答案·第5页（共8页） ■■■■■口■■口 ∴.切线与坐标轴的交点坐标为(0,1)， “切线与坐标轴围成的三角形面积S=1×,1 1 ×1=- ………(6分) 22e-2 4e-41 (2)当≤0时，x>1,.nx>0,f(x)<0,不符题意， 当a>0时，f(x)≥0可化为aea-x≥lnx+x, '.ae≥e(lnx+x), .'.axeaxe'(Inx+x)=(Inx+x)ets+, 设g(x)=xe,则g'(x)=A+x)e,令8'(x)=0,得x=-1, 当x<-1时，g'(x)<0,当x>-1时，8'(x)>0, .g(x)在(-0，-1)上为减函数，在(-1，+0)上为增函数， .x>1,.lnx>0,.lnx+x>1, .ax≥nx+x, :≥nx+x_lnx+1, 设h)=n+1,则k)，令四=0，得*=c, ∴.h(x)在，e)上为增函数，在(e,+o)上为减函数， ·h)ax=©)=1+ +1+o (17分) e 19.(本小题满分17分) (1)证明：如图2，取BD的中点E,连接AE,EC, AB⊥AD,AB=AD=2, .AE L BD,AE=DE=2 0 在△ECD中， 图2 数学参考答案·第6页（共8页） EC2=DC2+DE2-2DC.DE.cos135°=4+2-2×2×V2× √2 =10 2 ∴.EC=√10， ,AE2+EC2=2+10=12=AC2, .AE⊥EC,又BD∩EC=E, .AE⊥面BCD,又AE∈面ABD, .面ABD⊥面BCD.… …(4分) (2)解：设三棱锥A-BCD的外接球球心为O,半径为R,△BCD的外接圆圆心为O, 半径为r.连接OO,OE,OE,则OO⊥面BCD, ,ABLAD,.E为△ABD的外接圆圆心，OE⊥面ABD, BD2√5 在△BCD中， 2r= sin∠ACB2 =20,r=0, 2W5 连接OB,则O,B=10,∴O,E=VOB2-BE2=2√2， 在Rt△00，E中，∠0E0=150°-90°=60，∴.00=0E.tn60°=2√2×V3=2√6， 连接0B,在Rt△O0B中，R2=OB2=O02+OB2=(2W6)2+(N10)2=34, R=√34.…（10分) (3)解：如图2，以E为原点建立空间直角坐标系， 则E(0,0,0),B(√2,0,0)，D(-√2,0,0)， C(-2√2，√2,0)，A(0,√2 cos,√2sina). 设面ABD的法向量为=(：，，3) BD=(-2W2,0,0),BA=(√2，√2cos,V2sina), 2·BD=-2√2x=0 z·BA=-V2x1+√2cosa·y,+√2sina·z=0 ∴.h=(0,sina,-cosa), 数学参考答案·第7页（共8页） ■■■■□■■口 设面ABC的法向量为n,=(化，y2,2) ,BC=(-3√2，√2,0) :4Bc=-32+2%,=0 n,·BA=-√2x2+V2cosa·y2+V2sina·32=0 .'n,=(sina,3sina,1-3cosa), 由图可知面ABD与面ABC所成的角B为锐角， 3sin2 a+3cos2 a-cosa 3-cosa ∴.cosB=cos4,h)= 1×V10+sin2a-6 cosa V-cos-a-6cosa+11 令3-cosa=t,则cos a=3-t(2<t<4), 1 1 .cos B= 1612-1 ≥25 V-t2+12t-16 1325 厂t (t8+ -16 4 当且仅当-，即t=2,4)时，取“=”， 3 .csB的最小值为25. …(17分) 数学参考答案·第8页（共8页）