第1部分 第3章 第5节 二次函数的应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第五节　二次函数的应用 考点一　二次函数的实际应用 1．利用二次函数解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，理解问题； (2)找：分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)列：用函数解析式表示它们之间的关系(建立数学模型)； (4)解：用数学方法求解； (5)验：检验结果的合理性； (6)答：写出问题的答案． 2．常见题型 (1)最值问题：在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题，利用二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，这就需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题．解决该类问题的一般步骤为： (ⅰ)找：找题目中的数量关系； (ⅱ)列：列出函数关系式； (ⅲ)求：利用配方法将表达式化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式或利用公式法确定最值． (2)抛物线形问题：在实际生活中常遇到以下抛物线形问题：拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系，用待定系数法确定函数表达式，进而解决问题． 考点二　二次函数的综合应用 二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强． 1．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋x＋，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是(　　) A． m B．4 m C．8 m D．10 m 2．(青岛版九下P50例1改编)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是________平方米． 3．(人教版九上P52T8改编)某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7 200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元． (1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲，当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点1　二次函数的实际应用 【典例1】　(2024·济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 1．(2023·临沂)综合与实践： 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 　　　　　售价(元/盆)　　　日销售量(盆) A　　　　　　20　　　　　　　　50 B　　　　　　30　　　　　　　　30 C　　　　　　18　　　　　　　　54 D　　　　　　22　　　　　　　　46 E　　　　　　26　　　　　　　　38 数据整理： (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价(元/盆) ____ ____ ____ ____ ____ 日销售量(盆) ____ ____ ____ ____ ____ 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系． 拓广应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点2　二次函数的综合应用 【典例2】　(2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a>0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． (1)求m的值； (2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1<x2)．若4<x2－x1<6，求a的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 3．(2024·济宁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使＝？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五节　二次函数的应用 链接教材 基础过关 激活·基本技能 1．D　2.450　 3．解：(1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元， ∴∴ 答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元． (2)由题意，设A种客房每间定价为m元， ∴W＝m(m－220)2＋4 840． ∵－＜0， ∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4 840． 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4 840元． 考点突破 对点演练 典例1　解：(1)由题意，设一次函数的解析式为y＝kx＋b， 又过(100，300)，(120，200)， ∴∴ ∴所求函数解析式为y＝－5x＋800． (2)由题意得， ∴100≤x≤116． ∵商场获得的利润为(x－80)(－5x＋800) ＝－5x2＋1 200x－64 000 ＝－5(x－120)2＋8 000， 又－5＜0，100≤x≤116， ∴当x＝116时，利润最大，最大值为7 920． 答：当销售单价为116元/件时，商场获得利润最大，最大利润是7 920元． 对点演练 1．解：(1)根据销售单价从小到大排列得下表： 售价(元/盆) 18 20 22 26 30 日销售量(盆) 54 50 46 38 30 (2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数． 设日销售量为y盆，售价为x元，y＝kx＋b， 把(18，54)，(20，50)代入得，解得 ∴y＝－2x＋90． (3)①∵每天获得400元的利润， ∴(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35， ∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元． ②设每天获得的利润为w元， 根据题意得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450， ∵－2＜0， ∴当x＝30时，w取最大值450， ∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元． 2．解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120－3x)米， 根据题意得，S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝－3(x－20)2＋1 200， ∵－3＜0， ∴当x＝20时，S取最大值1 200， ∴120－3x＝120－3×20＝60， ∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1 200平方米． (2)设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝(2 400－m)株， ∵学校计划购买费用不超过5万元， ∴25m＋15(2 400－m)≤50 000， 解得m≤1 400， ∴最多可以购买1 400株牡丹． 典例2　解：(1)∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a>0)的图象上， ∴4a＋2b－3＝－3， 解得b＝－2a， ∴抛物线为y＝ax2－2ax－3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1， ∴m＝1． (2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上， ∴a－2a－3＝－4， 解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1， ∵0≤x≤4， ∴当x＝1时，函数有最小值为1， 当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10， ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11． (3)∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1<x2)， ∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－， ∵x2－x1＝， ∴x2－x1＝， ∵4<x2－x1<6， ∴4<2<6，即2<<3， 解得<a<1． 对点演练 3．解：(1)∵函数过(0，－3)，(－b，c)， ∴c＝－3，ab2－b2＋c＝c， ∴(a－1)b2＝0， ∵ab＞0， ∴a≠0，b≠0， ∴a－1＝0， ∴a＝1． (2)①由(1)知该函数的解析式为：y＝x2＋bx－3＝， ∵a＝1＞0， ∴当x＝－时，函数最小值为y＝－， ∵二次函数最小值为－4， ∴－＝－4， 解得b＝±2， ∵ab＞0， ∴b＝2， ∴二次函数解析式为y＝x2＋2x－3， 令y＝0，则x2＋2x－3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1， ∴点A坐标(－3，0)，点B坐标(1，0)． ②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G， ∵A(－3，0)，C(0，－3)，B(1，0)， ∴OA＝OC＝3，OB＝1， ∴AB＝OA＋OB＝4，AC＝3， ∵S△ABC＝BF·AC， ∴BF＝， ∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形， ∴， ∴PG＝， 过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG＝， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝45°， ∴∠CHK＝45°， ∴CH＝， ∴OH＝， ∴点H坐标， ∴直线PH解析式为y＝－x－， 联立方程组可得 解得 ∴P点坐标为或． Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H， 同第一种情况的方法可得H， ∴直线PH解析式为y＝－x－， 联立方程组得 解得(舍)， ∴P点坐标为． 综上，P点坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $