第1部分 第2章 第2节 一元二次方程及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第二节　一元二次方程及其应用 考点一　 一元二次方程的有关定义 1．定义：等号两边都是整式，只含有________个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式：____________(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边________的未知数的值． 考点二　一元二次方程的解法 直接开平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程 因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数______的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝________(b2－4ac≥0)． 用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；(2)若b2－4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac<0，则原方程无解 考点三　一元二次方程的根的判别式 　一元二次方程的根的判别式：Δ＝________，注意隐含条件a≠0. 当Δ＞0时⇔方程有________的实数根； 当Δ＝0时⇔方程有________的实数根； 当Δ<0时⇔方程________实数根，无解． 考点四　一元二次方程根与系数的关系 　如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝__________，x1x2＝__________． 考点五　一元二次方程的应用 　列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤完全一样，常见问题有：增长率问题、利润问题、比赛场数(握手)问题、面积问题等． 1．(人教版九上P3例题改编)方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2 C．3，－5，－2 D．3，－5，0 2．(青岛版九上P129拓展与延伸T7变式)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则a的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根　 B．有两个相等的实数根 C．无实数根　 D．不能确定 4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是(　　) A．7 B．－7 C．3 D．－3 5．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(　　) A．670×(1＋2x)＝780 B．670×(1＋x)2＝780 C．670×(1＋x2)＝780 D．670×(1＋x)＝780 命题点1　一元二次方程及其解法 【典例1】　已知关于x的一元二次方程(m－2)x2－4x＋3＝0，请回答下列问题： (1)m的取值范围是________； (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　灵活选择方法解一元二次方程的口诀 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b，c相等都为零，等根是零不要忘； b，c同时不为零，因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方． [对点演练] 1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1 2．(2024·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点2　一元二次方程根的判别式 【典例2】　(2023·聊城)若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是(　　) A．m≥－1 B．m≤1 C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题． [对点演练] 3．(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．(2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 命题点3　一元二次方程根与系数的关系 【典例3】　(2023·菏泽)一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则的值为(　　) A． B．－3 C．3 D．－ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　常用根与系数的关系解决的几类问题 (1)不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． (3)不解方程求关于根的式子的值，如求等等． (4)判断两根的符号． (5)求作新方程． (6)由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． [对点演练] 5．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________． 6．已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1＋x2＝______，x1x2＝______； (2)求，x1＋； (3)已知＝2p＋1，求p的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点4　一元二次方程的实际应用 【典例4】　(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件． [对点演练] 7．如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料成)，则BC长为(　　) A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m 8．(2024·阳谷县一模)为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1 000万元，2024年投入资金1 440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2024年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元.2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　一元二次方程及其应用 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 1．一　2．ax2＋bx＋c＝0　3．相等 考点二 (3)一半　 考点三 b2－4ac　两个不相等　两个相等　没有 考点四 －　 激活·基本技能 1．C　2．C　3．A　4．D　5．B 考点突破 对点演练 典例1　解：(1)m≠2． (2)当m＝3时，一元二次方程为x2－4x＋3＝0． 公式法：∵a＝1，b＝－4，c＝3， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×3＝4， ∴x＝， ∴x1＝3，x2＝1． 配方法：∵x2－4x＋3＝0，∴x2－4x＝－3， ∴x2－4x＋4＝－3＋4，∴(x－2)2＝1， ∴x－2＝±1，∴x1＝3，x2＝1． 因式分解法：∵x2－4x＋3＝0，∴(x－3)(x－1)＝0， ∴x1＝3，x2＝1． 对点演练 1．B　[x2－2x＝0，x(x－2)＝0，则x＝0或x－2＝0， 解得，x1＝2，x2＝0．故选B．] 2．解：∵x2－5x＋6＝0，∴(x－2)(x－3)＝0， 则x－2＝0或x－3＝0，解得x1＝2，x2＝3． 典例2　D　[由题意得，4－4m≥0，且m≠0，解得m≤1且m≠0，故选D．] 对点演练 3．A　[关于x的方程x2＋mx－2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝－2， ∴Δ＝m2＋8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选A．] 4．(或0.25)　[∵关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4×4×m＝4－16m＝0， 解得，m＝．故答案为．] 典例3　C　[∵一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－1． ∴＝3．故选C．] 对点演练 5．7　[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根， ∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5， ∴m2－5m＝－2，n＝5－m， ∴m＋(n－2)2 ＝m＋(3－m)2 ＝m2－5m＋9 ＝－2＋9 ＝7．] 6．解：(1)p；1． (2)∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴＝p． ∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2， ∴－px1＋1＝0， ∴x1－p＋＝0，即x1＋＝p． (3)由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∵＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1， 解得p1＝3，p2＝－1， 当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0； 当 p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0，∴p＝3． 典例4　解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m． 根据题意，得x(72－2x)＝640， 化简，得x2－36x＋320＝0， 解得x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)， 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)． 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈． (2)不能，理由如下： 由题意，得x(72－2x)＝650， 化简，得x2－36x＋325＝0， Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650 m2． 对点演练 7．C　[设BC长为x m，则AB的长为(10＋1－x)m， 根据题意得，(10＋1－x)x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5(舍去)， 答：BC长为5 m，故选C．] 8．解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1 000(1＋x)2＝1 440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2)设该市在2025年可以改造y个老旧小区， 依题意得：80×(1＋15%)y≤1 440×(1＋20%)， 解得，y≤， 又∵y为整数，∴y的最大值为18． 答：该市在2025年最多可以改造18个老旧小区． 学科网（北京）股份有限公司 $