第1部分 第4章 第2节 三角形的有关概念和性质-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第二节　三角形的有关概念和性质 考点一　三角形的相关概念 1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2．三角形的分类 (1)按角的关系分类 三角形 (2)按边的关系分类 三角形 考点二　三角形的边、角的关系 1．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边． 2．三角形三个内角的和：三角形三个内角的和等于180°． 3．三角形外角与内角的关系 (1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 考点三　三角形的重要线段及相关计算 名称 相关结论 角平分线 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心 中线 (1)中线将三角形的面积等分． (2)三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 高 (1)一个三角形l有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部． (2)三角形三条高的交点叫做三角形的垂心 中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半 1．(人教版八上P4练习T2改编)下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　) A．3，6，9 B．5，6，8 C．1，2，4 D．5，6，15 B　[根据三角形的三边关系，得 A．3＋6＝9，不能组成三角形，不符合题意； B．6＋5＝11＞8，能组成三角形，符合题意； C．1＋2＝3＜4，不能组成三角形，不符合题意； D．5＋6＝11＜15，不能组成三角形，不符合题意． 故选B．] 2．已知△ABC有一个内角为100°，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形　 C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 B　[∵△ABC有一个内角为100°， ∴△ABC一定是钝角三角形． 故选B．] 3．三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是(　　) A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于180° B　[斜拉索桥结构稳固．其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选B．] 4．(青岛版七下P141习题13.1T14改编)在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30°的直角三角板．一副三角板如图摆放，其中A，D，B共线，此时∠BED的度数为(　　) A．60° B．30° C．40° D．70° A　[∵∠ABC＝30°，∠DBF＝45°， ∴∠EBF＝45°－30°＝15°， ∵∠F＝45°， ∴∠BED＝∠F＋∠EBF＝45°＋15°＝60°． 故选A．] 5．如图△ABC中，BC边上的高是(　　) A．AD B．BE C．CF D．以上都不对 A　[由题意，三角形的高是指三角形的顶点到对边的垂线段，观察可得高是AD，BE是点E到BC的垂线段，CF是点C到AB的垂线段，都不合要求． 故选A．] 命题点1　三角形的边、角关系 【典例1】　下列长度的三条线段中，能够首尾相接构成一个三角形的是(　　) A．1 cm，2 cm，3 cm B．2 cm，2 cm，4 cm　 C．3 cm，4 cm，5 cm D．3 cm，5 cm，9 cm C　[A．∵1＋2＝3，∴长为1 cm，2 cm，3 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B．∵2＋2＝4，∴长为2 cm，2 cm，4 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C．∵3＋4＞5，∴长为3 cm，4 cm，5 cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D．∵3＋5＜9，∴长为3 cm，5 cm，9 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意．故选C．] 　判断三条线段能否构成三角形时，通常是求两条较短线段的和与最长线段作比较或最长线段与最短线段之差与第三条线段作比较． 【典例2】　(2023·聊城)如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．65° B．75° C．85° D．95° B　[∵AD∥BE，∠EBC＝80°， ∴∠ADC＝∠EBC＝80°， ∵∠CAD＝25°， ∴∠ACB＝180°－∠ADC－∠CAD＝75°， 故选B．] 　(1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数． (2)在三角形中，已知三个内角的关系，可以求出这三个内角的度数． [对点演练] 1．[情境题]一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取(　　) A．10 B．70 C．130 D．40 B　[设第三根木条长为x，则80－30＜x＜80＋30， 即50＜x＜110．故选B．] 2．[跨学科](2024·东昌府区一模)如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为(　　) A．180°－α 　　　　 B．120°－α C．60°＋α 　　　　 D．60°－α C　[连接BC， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＋∠CBO＋∠BCO＋∠OCD＝180°， 而∠CBO＋∠BCO＋∠O＝180°， ∴∠O＝∠ABO＋∠DCO＝60°＋α．故选C．] 命题点2　三角形中的重要线段 【典例3】　(2024·甘肃兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　　) A．18 m B．24 m C．36 m D．54 m C　[∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得AB＝2DE＝36 m． 故选C．] [对点演练] 3．[情境题](2024·临沂河东区期末)王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的(　　) A．角平分线 B．中线　 C．高线 D．以上都不是 B　[由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，所以他所作的线段AD应该是△ABC的中线，故选B．] 4．(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为________． 4　[∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝4．] 课时分层评价卷(十五)　三角形的有关概念和性质 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分) 1．已知三角形三个内角的度数之比为x∶y∶z，且x＋y＜z，则这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 C　[设一个角的度数为x，则另外两个角分别为y和z， 由题意得：x＋y＝180°－z＜z， 故可得z＞90°，则这个三角形为钝角三角形． 故选C．] 2．(2024·聊城月考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是(　　) A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线　 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 C　[A．由题图可知，BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B．由题图可知，BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C．∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D．∵∠C＝90°， ∴BC是△BDE的高，正确，不符合题意． 故选C．] 3．[易错题]如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D B　[A．表示的是△ABC中AB边上的高，故此选项不符合题意； B．表示的是△ABC中BC边上的高，故此选项符合题意； C．不能表示△ABC的高，故此选项不符合题意； D．表示的是△ABC中AC边上的高，故此选项不符合题意． 故选B．] 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是(　　) A．1 B．2 C．2.5 D．3 B　[∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4， ∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半， ∴△ADC的面积是2，故选B．] 5．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为(　　) A．10° B．15° C．30° D．45° B　[由题意，得∠EDF＝30°，∠ABC＝45°， ∵DF∥AB， ∴∠AED＝∠FDE＝30°， ∴∠EDB＝∠ABC－∠AED＝45°－30°＝15°． 故选B．] 6．(2024·四川广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　) A．45° B．50° C．60° D．65° D　[∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B＝∠CED＝70°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－70°＝65°． 故选D．] 7．(2024·湖南长沙)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° C　[∵∠BAC＝60°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－50°＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠C＝70°， 故选C．] 8．(2024·任城区二模)如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 B　[∵EF是△ABC的中位线，AE＝3， ∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3， ∴∠EDB＝∠DBC． ∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝BE＝3． ∵DF＝1， ∴EF＝ED＋DF＝3＋1＝4， ∴BC＝8， 故选B．] 9．(2024·东明县一模)如图，△ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2 024个三角形的周长为(　　) A． B． C． D． B　[∵△ABC周长为1， 每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为＝； 第4个三角形对应的周长为＝； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为， ∴第2 024个三角形对应的周长为，即，故选B．] 10．(8分)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点G在CA的延长线上，GE交AB于点F，交BC于点E，且∠G＝∠AFG＝35°，∠BEG＝100°，求∠ADC的度数． [解]　∵∠G＝∠AFG＝35°， ∴∠GAF＝180°－∠G－∠AFG＝110°， ∴∠BAC＝180°－∠GAF＝70°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， ∴∠AFG＝∠BAD＝35°， ∴GE∥AD， ∴∠ADB＝∠BEG＝100°， ∵∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝80°． 11．(10分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状； (2)若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状； (3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|． [解]　(1)∵a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC的形状是等边三角形． (2)∵a＝2，b＝5， ∴5－2＜c＜5＋2， ∴3＜c＜7， ∵c是奇数 ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC的形状是等腰三角形． (3)∵b＋c＞a，a＋c＞b，a＋b＞c， ∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝－(a－b－c)＋[－(b－c－a)]＋[－(c－a－b)] ＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c ＝a＋b＋c． 12．如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是________． 100°　[∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∠CBA＝90°－∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝100°．] 13．已知，如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为________cm2． 1　[∵D为BC中点， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2(cm2)， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1(cm2)， ∴S△BCE＝2(cm2)， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1(cm2)．] 14．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为________． 18　[3(y－1)－2(y－k)＝7， 则3y－3－2y＋2k＝7， 解得y＝10－2k， ∵关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数， ∴10－2k≤0， 解得k≥5， ∵△ABC的三边长分别为5，3，k， ∴2＜k＜8， 故符合题意的k的值为5，6，7， 则符合条件的所有整数k的和为5＋6＋7＝18．] 15．(2024·济宁一模)如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝100°，则∠CDE的度数为________°． 110　[∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD＋∠CDG＝180°， ∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝∠GDE， ∵∠DEF＝120°，∠BCD＝100°， ∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF－∠HEF＝120°－90°＝30°，∠CDG＝180°－100°＝80°， ∴∠CDE＝∠CDG＋∠GDE＝110°， 故答案为110．] 16．(10分)(2024·黑龙江绥化)已知△ABC． (1)尺规作图：画出△ABC的重心G．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明) (2)在(1)的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5 cm2，则△ABC的面积是________cm2． [解]　(1)分别作出AB边和BC边的垂直平分线，与AB和BC边分别交于点N和点M， 连接AM和CN， 如图所示，点G即为所求作的点． (2)∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2MG， ∵△ABG的面积等于5 cm2， ∴△BMG的面积等于2.5 cm2， ∴△ABM的面积等于7.5 cm2． 又∵AM是△ABC的中线， ∴△ABC的面积等于15 cm2． 故答案为15． 17．[规律探究题](2024·四川达州) 如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝________度． m　[由题意∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD， ∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β， 由三角形的外角的性质，得β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C，∠E1＝∠C， 同理可求：∠E2＝∠E1，∠E2＝∠C ，…，∠En＝∠C， 即∠En＝m°．故答案为m．] 4 / 15 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