第1部分 第3章 第4节 二次函数的图象与性质-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第四节　二次函数的图象与性质 考点一　二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 考点二　二次函数的图象与性质 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线x＝－ 增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系 a 决定抛物线的开口方向及开口大小： 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下 a，b 决定对称轴的位置： 当a，b同号时，－＜0，对称轴在y轴左侧； 当b＝0时，－＝0，对称轴为y轴； 当a，b异号时，－＞0，对称轴在y轴右侧 c 决定抛物线与y轴交点的位置： 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上 b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数： 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； 当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴无交点 考点三　二次函数的表达式与平移 1．二次函数的表达式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h． (3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．抛物线的平移 抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左加右减，上加下减”的规律． 考点四　二次函数与一元二次方程及不等式 1．二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac<0时，方程无实数根． 2．二次函数与不等式 抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集． 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(　　) A．y＝x－1　　　　　 B．y＝ C．y＝－2x2＋1 D．y＝(x－1)2－x2 C　[A．y＝x－1是一次函数，错误； B．y＝是反比例函数，错误； C．y＝－2x2＋1是二次函数，正确； D．y＝(x－1)2－x2＝－2x＋1，是一次函数，错误． 故选C．] 2．已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是(　　) 　　　 A　　　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　　D D　[∵y＝a(x－h)2＋k，a＜0， ∴图象开口向下，A、B选项错误； ∵对称轴为直线x＝h＞0，顶点坐标(h，k)，k＜0， ∴C选项错误，D选项正确． 故选D．] 3．(青岛版九下P49习题5.6T1改编)二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 C　[∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0， ∴二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点． 故选C．] 4．(人教版九上P39探究改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7，则y与x之间的关系是__________． y＝2x2－3x＋5　[根据题意，得解得 所以y与x之间的关系为y＝2x2－3x＋5．] 5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是________． y2＜y1＜y3　[∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点， ∴y1＝1－4－5＝－8，即y1＝－8， y2＝4－8－5＝－9，即y2＝－9， y3＝1＋4－5＝0，即y3＝0， ∵－9＜－8＜0， ∴y2＜y1＜y3．] 命题点1　二次函数的图象与性质 【典例1】　(2024·贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　) A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x<－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D　[∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，4)， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，故选项A错误； ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，对称轴是直线x＝－1， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－1， ∴当x<－1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为y＝a(x＋1)2＋4， 把(－3，0)代入，得0＝a(－3＋1)2＋4， 解得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)2＋4， 当x＝0时，y＝－(0＋1)2＋4＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选D．] 　解答有关二次函数图象与性质的问题时，要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向，与x轴、y轴的交点，特殊点，对称点等；通常采用把已知点坐标代入函数表达式中找出a，b，c间的关系；通过对称轴x＝－，确定a，b之间的关系；判断与x轴的交点情况则利用判别式b2－4ac进行判断． [对点演练] 1．(2024·甘孜州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ D　[∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确． 根据函数的图象可得，a－b＋c＝0，且9a＋3b＋c＝0， ∴8a＋4b＝0． ∴b＝－2a． ∴对称轴是直线x＝－＝－＝1＞0，故②正确． ∵x＝－1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上， ∴当－1＜x＜3时，y＜0，故③正确． 故选D．] 2．(2023·临沂)小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2＋的性质，得到如下结论： ①当x＜－1时，x越小，函数值越小； ②当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小； ③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大； ④当x＞1时，x越大，函数值越大． 其中正确的是________(只填写序号)． ②③④　[如图所示， ∴当x＜－1时，x越小，函数值越大，故①错误； 当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确； 当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确； 当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确． 故答案为②③④．] 命题点2　二次函数的图象与系数a，b，c的关系 【典例2】　(2023·聊城)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1．下列结论：①3a＋c>0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c>2的x的取值范围为－2<x<0．其中正确结论的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[①∵抛物线开口向下， ∴a<0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1， ∴b＝2a， 由题图可得x＝1时，y<0， 即a＋b＋c<0， 而b＝2a， ∴3a＋c<0，故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝－1， 故当x<－1时，y随x的增大而增大，当x>－1时，y随x的增大而减小， ∵|－1－(－4)|＝3，|－1－3|＝4， 即点(－4，y1)到对称轴的距离小于点(3，y2)到对称轴的距离， 故y1>y2，故②正确； ③由题图可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵函数图象经过(0，2)，对称轴为直线x＝－1， ∴二次函数必然经过点(－2，2)， ∴ax2＋bx＋c>2时x的取值范围为－2<x<0，故④正确． 综上，②④正确，故选B．] [对点演练] 3．(2023·菏泽)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1，3)，B(－2，－6)，C(0，0)等都是“三倍点”．在－3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是(　　) A．－≤c＜1 B．－4≤c＜－3 C．－≤c＜6 D．－4≤c＜5 D　[由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c和y＝3x的图象至少有一个交点， 令3x＝－x2－x＋c，整理得，x2＋4x－c＝0， 则Δ＝b2－4ac＝16＋4c≥0，解得c≥－4， 把x＝－3代入y＝－x2－x＋c得y＝－6＋c，代入y＝3x得y＝－9， ∴－9＞－6＋c，解得c＜－3； 把x＝1代入y＝－x2－x＋c得y＝－2＋c，代入y＝3x得y＝3， ∴3＞－2＋c，解得c＜5， 综上，c的取值范围为－4≤c＜5． 故选D．] 4．(2024·聊城二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a－b＋c＞0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－9a．正确结论的序号为(　　) A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ B　[由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵－2＜－1，抛物线过点(－2，0)， ∴当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，故①正确． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． 又点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，且点(6，y3)到对称轴的距离最大，点(2，y2)到对称轴的距离最小， ∴y3＜y1＜y2，②错误． ∵方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点的横坐标为x1，x2． 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(4，0)， ∴抛物线与x轴交点坐标为(－2，0)，(4，0)， ∵抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜－2，x2＞4，故③正确． ∵－＝1， ∴b＝－2a． ∵4a－2b＋c＝0， ∴c＝2b－4a＝－8a， ∵抛物线的最大值为a＋b＋c， ∴若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c＝a－2a－8a＝－9a， ∴am2＋bm＋c≤－9a，故④正确． 故选B．] 命题点3　二次函数图象的平移问题 【典例3】　(2024·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． k≥3　[将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度得y＝x2－6x＋12－k， ∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点， ∴Δ＝b2－4ac≥0， ∴(－6)2－4×1×(12－k)≥0， 解得k≥3， 故答案为k≥3．] 　解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决． [对点演练] 5．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2 A　[y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3． 故选A．] 6．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)． ＜　[∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2， ∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16， ∴y1＜y2．] 命题点4　待定系数法求二次函数表达式 【典例4】　(2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－． (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值； (3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． [解]　(1)由题意，∵二次函数为y＝x2＋bx＋c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2＋x＋c． 又图象经过点A(－2，5)， ∴4－2＋c＝5． ∴c＝3． ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3． (2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度， ∴平移后的点为(1－m，9)． 又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上， ∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3． ∴m＝4或m＝－1(舍去)． ∴m＝4． (3)由题意，当n<－时， 最大值与最小值的差为5－＝， ∴n＝－，不符合题意，舍去； 当－≤n≤1 时， 最大值与最小值的差为5－＝，符合题意； 当n＞1时，最大值与最小值的差为＋＝，解得 n1＝1 或 n2＝－2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为－≤n≤1． 　在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． [对点演练] 7．(2024·曲阜一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是(　　) A．y＝－2(x＋1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3　 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝2(x－1)2＋3 D　[根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．] 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．则该二次函数的表达式是________． y＝－x2＋2x＋3　[根据题意设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 将点C(0，3)代入，得－3a＝3， 解得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．] 课时分层评价卷(十二)　二次函数的图象与性质 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分) 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(　　) A．y＝ax2＋bx＋c　　 B．y＝x(x－1)　 C．y＝ D．y＝(x＋1)2－x2 B　[A．当a＝0时，y＝bx＋c不是二次函数； B．y＝x(x－1)＝x2－x是二次函数； C．y＝不是二次函数； D．y＝(x＋1)2－x2＝2x＋1为一次函数． 故选B．] 2．[易错题]抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 D　[∵y＝(x－1)2＋c， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵关于直线x＝1的对称点是， －2<－<0＜1， ∴y1＞y3＞y2． 故选D．] 3．(2024·四川泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　) A．1≤a< B．0＜a< C．0＜a< D．1≤a< A　[∵图象经过第一、二、四象限， ∴a－1≥0，Δ＝(2a－3)2－4a(a－1)＞0， 解得1≤a<， ∴实数a的取值范围为1≤a<． 故选A．] 4．函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．－1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1 D　[根据二次函数图象，当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．] 5．[新定义](2024·四川眉山)定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为(　　) A．－21 B．－9 C．－7 D．－5 B　[由题意得，y＝(x＋1)⊗2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)， 即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9， ∴函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为－9．故选B．] 6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(　　) A．b＋c＞1 B．b＝2 C．b2＋4c＜0 D．c＜0 A　[∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1， ∴x1－1＜0，x2－1＞0， ∴(x1－1)(x2－1)＜0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0， 由根与系数的关系可得， －c－b＋1＜0， ∴b＋c＞1．故选A．] 7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是(　　) A．a＜0 B．c＜0　 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 C　[由题意，∵抛物线顶点为(－1，－2)， ∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2． ∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2． 又抛物线为y＝ax2＋bx＋c， ∴b＝2a，c＝a－2． ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＝a－2＞0． ∴a＞2＞0，故A、B均不正确． 又抛物线的顶点为(－1，－2)， ∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确． 由b＝2a，c＝a－2， ∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误． 故选C．] 8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　) A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴为直线x＝1 D　[由题知解得 所以二次函数的解析式为y＝－x2＋2x． 因为a＝－1＜0， 所以抛物线的开口向下， 故A选项不符合题意． 因为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小， 故B选项不符合题意． 令y＝0，得 －x2＋2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)． 又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)， 所以抛物线经过第一、三、四象限， 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝－(x－1)2＋1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1， 故D选项符合题意．故选D．] 9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________． (1，2)　[将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋2， ∴顶点坐标为(1，2)．] 10．(10分)(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点． (1)求b，c的值； (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． [解]　(1)把A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得 (2)由(1)知，二次函数解析式为y＝－x2－x＋2， 设点P坐标为(m，－m2－m＋2)， ∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3， ∴S△PAB＝AB·|yP|＝×3×|－m2－m＋2|＝6， ∴|m2＋m－2|＝4， 即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4， 解得m＝－3或m＝2， ∴P的坐标为(－3，－4)或(2，－4)． 11．(2024·福建)已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是(　　) A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 C　[∵二次函数解析式为y＝x2－2ax＋a(a≠0)， ∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－＝a，顶点坐标为(a，a－a2)， 当a＞0时，0<<a， ∴a－a2＜y1＜a； 当a＜0时，a<<0， ∴a－a2＜y1＜a， 故A、B错误，不符合题意． 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0； 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数图象的对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时，y2＞a不一定大于0， 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．故选C．] 12．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论： ①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是________．(填写序号) ①②④　[令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1， 把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1， ∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确； ∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD， ∴两抛物线关于直线x＝－1对称， ∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确； －＝－2， ∴m＋n＝4，故②正确； ∵点A，B是抛物线C1与x轴的两个交点，∴令y＝0，得x2＋mx＋m＝0有两个不等实根，∴Δ＝m2－4m>0，解得m<0或m>4，同理n2－4n>0，解得n<0或n>4，由②知m＋n＝4，而m＝4－n，当n<0时，m>4，mn<0；当n>4时，m<0，mn<0，故③错误．] 13．(14分)(2024·威海)已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2． (1)若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小(填写＜、＝或＞)： ①x1＋x2________x3＋x4；②x1－x3________x2－x4；③x2＋x3________x1＋x4． (2)若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围； (3)当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c(b＜0)最大值与最小值的差为，求b的值． [解]　(1)∵y＝x2＋bx＋c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2， ∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上， ∵y1＝x2＋bx＋c＋1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3，0)，(x4，0)，且x3＜x4， 即y＝x2＋bx＋c(b＜0)向上平移1个单位长度， ∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b， ∴①x1＋x2＝x3＋x4； ∵x2－x1＞x4－x3 ∴x2－x4＞x1－x3，即②x1－x3＜x2－x4； 即③x2＋x3＞x1＋x4． 故答案为＝；＜；＞． (2)∵x1＝1，2＜x2＜3， ∴3＜x2＋x1＜4， ∴3＜－b＜4， ∴－4＜b＜－3． (3)抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0)顶点坐标为，对称轴为直线x＝－>0， 当x＝0时，y＝c； 当x＝1时，y＝1＋b＋c． ①当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时， 有c－＝， 解得b＝(舍去)或b＝－； ②当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时， 有1＋b＋c－＝， 解得b＝－(舍去)或b＝－； ③当x＝0时取最大值，x＝1时取得得最小值，则有 c－(1＋b＋c)＝， b＝－(舍去)． 综上所述，b的值为－或－． 14．[新定义](2024·上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为________． 4　[∵抛物线y＝－x2＋x＋3＝－＋， ∴x′－＝－＋， 解得x′－＝－2， ∴抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为2＝2×|－2|＝4．] 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $