第1部分 第2章 第2节 一元二次方程及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第二节　一元二次方程及其应用 考点一　 一元二次方程的有关定义 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边相等的未知数的值． 考点二　一元二次方程的解法 直接开平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程 因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)． 用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；(2)若b2－4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac<0，则原方程无解 考点三　一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式：Δ＝b2－4ac，注意隐含条件a≠0． 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时⇔方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时⇔方程没有实数根，无解． 考点四　一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝． 考点五　一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤完全一样，常见问题有：增长率问题、利润问题、比赛场数(握手)问题、面积问题等． 1．(人教九上P3例题改编)方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2 C．3，－5，－2 D．3，－5，0 C　[3x(x－1)＝2(x＋1)， 3x2－3x＝2x＋2， 3x2－5x－2＝0， 二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2． 故选C．] 2．(青岛版九上P129拓展与延伸T7变式)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则a的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 C　[把x＝0代入一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0得|a|－1＝0， 解得a＝1或a＝－1， ∵a－1≠0， ∴a＝－1． 故选C．] 3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根　 B．有两个相等的实数根 C．无实数根　 D．不能确定 A　[因为Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．] 4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是(　　) A．7 B．－7 C．3 D．－3 D　[∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根， ∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2， 则原式＝－5＋2＝－3．故选D．] 5．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(　　) A．670×(1＋2x)＝780 B．670×(1＋x)2＝780 C．670×(1＋x2)＝780 D．670×(1＋x)＝780 B　[根据题意得，670×(1＋x)2＝780． 故选B．] 命题点1　一元二次方程及其解法 【典例1】　已知关于x的一元二次方程(m－2)x2－4x＋3＝0，请回答下列问题： (1)m的取值范围是________； (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解． [解]　(1)m≠2． (2)当m＝3时，一元二次方程为x2－4x＋3＝0． 公式法：∵a＝1，b＝－4，c＝3， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×3＝4， ∴x＝＝＝， ∴x1＝3，x2＝1． 配方法：∵x2－4x＋3＝0，∴x2－4x＝－3，∴x2－4x＋4＝－3＋4， ∴(x－2)2＝1， ∴x－2＝±1，∴x1＝3，x2＝1． 因式分解法：∵x2－4x＋3＝0，∴(x－3)(x－1)＝0， ∴x1＝3，x2＝1． 　灵活选择方法解一元二次方程的口诀 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b，c相等都为零，等根是零不要忘； b，c同时不为零，因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方． [对点演练] 1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1 B　[x2－2x＝0， x(x－2)＝0， 则x＝0或x－2＝0， 解得，x1＝2，x2＝0． 故选B．] 2．(2024·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0． [解]　∵x2－5x＋6＝0， ∴(x－2)(x－3)＝0， 则x－2＝0或x－3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 命题点2　一元二次方程根的判别式 【典例2】　(2023·聊城)若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是(　　) A．m≥－1 B．m≤1 C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0 D　[由题意得，4－4m≥0，且m≠0，解得m≤1且m≠0，故选D．] 　用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题． [对点演练] 3．(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 A　[关于x的方程x2＋mx－2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝－2， ∴Δ＝m2＋8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选A．] 4．(2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． (或0.25)　[∵关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4×4×m＝4－16m＝0， 解得，m＝． 故答案为．] 命题点3　一元二次方程根与系数的关系 【典例3】　(2023·菏泽)一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则的值为(　　) A． B．－3 C．3 D．－ C　[∵一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－1． ∴ ＝ ＝ ＝3． 故选C．] 　常用根与系数的关系解决的几类问题 (1)不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． (3)不解方程求关于根的式子的值，如求等等． (4)判断两根的符号． (5)求作新方程． (6)由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． [对点演练] 5．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________． 7　[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根， ∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5， ∴m2－5m＝－2，n＝5－m， ∴m＋(n－2)2 ＝m＋(3－m)2 ＝m2－5m＋9 ＝－2＋9 ＝7．] 6．已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2． (1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________； (2)求，x1＋； (3)已知＝2p＋1，求p的值． [解]　(1)p；1． (2)∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴＝＝＝p． ∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2， －px1＋1＝0， ∴x1－p＋＝0，即x1＋＝p． (3)由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1， ＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1， 解得p1＝3，p2＝－1， 当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0； 当 p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0， ∴p＝3． 命题点4　一元二次方程的实际应用 【典例4】　(2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． [解]　(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m． 根据题意，得x(72－2x)＝640， 化简，得x2－36x＋320＝0， 解得x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)， 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)． 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈． (2)不能，理由如下： 由题意，得x(72－2x)＝650， 化简，得x2－36x＋325＝0， Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650 m2． 　因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件． [对点演练] 7．如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料成)，则BC长为(　　) A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m C　[设BC长为x m，则AB的长为(10＋1－x)m， 根据题意得，(10＋1－x)x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5(舍去)， 答：BC长为5 m， 故选C．] 8．(2024·阳谷县一模)为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1 000万元，2024年投入资金1 440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2024年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元．2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ [解]　(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1 000(1＋x)2＝1 440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2)设该市在2025年可以改造y个老旧小区， 依题意得：80×(1＋15%)y≤1 440×(1＋20%)， 解得，y≤， 又∵y为整数， ∴y的最大值为18． 答：该市在2025年最多可以改造18个老旧小区． 课时分层评价卷(六)　一元二次方程及其应用 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共85分) 1．[原创题]如果关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0的一个解是x＝－1，则代数式2 025－a＋b的值为(　　) A．－2 024 B．－2 025 C．2 024 D．2 025 C　[把x＝－1代入方程ax2＋bx－1＝0得a－b－1＝0， 所以a－b＝1， 所以2 025－a＋b＝2 025－(a－b)＝2 025－1＝2 024． 故选C．] 2．[图表信息题](2024·江苏扬州模拟)根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为(　　) x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 … y＝x2＋3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 … A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30　 C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32 C　[∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01， x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.026 1， ∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31． 故选C．] 3．(2024·汶上二模)用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是(　　) A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34　 C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25 A　[∵x2＋10x＋9＝0， ∴x2＋10x＝－9， ∴x2＋10x＋52＝－9＋52， ∴(x＋5)2＝16． 故选A．] 4．(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 D　[x2－6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2－6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2－9＝0的根为x＝3或x＝－3， ∴x2－9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2－6x＋6＝0知Δ＝36－24＝12＞0， ∴x2－6x＋6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2－6x＋9＝0知Δ＝36－36＝0， ∴x2－6x＋9＝0有两个相等实数根，故D符合题意． 故选D．] 5．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．＋1 D．1或＋1 C　[根据题意，得a2－2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a＝＋1． 故选C．] 6．(2024·东昌府区模拟)关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝2x2，则m－x1＋x2 的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 B　[∵x2＋3x－m＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－＝－3．x1·x2＝－m， ∵x1＝2x2， ∴x2＝－1，x1＝－2， ∴x1·x2＝2＝－m， ∴m＝－2． ∴m－x1＋x2＝－2－(－2)＋(－1)＝－1． 故选B．] 7．(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是(　　) A．k< B．k≤ C．k≥ D．k<－ B　[因为关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根， 所以Δ＝(－3)2－4×2×k≥0， 解得k≤． 故选B．] 8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是(　　) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0　 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0 B　[∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1， ∴x1＋x2＝6＋1＝7， ∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5， ∴x1x2＝10． A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意； B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意； C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意； D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意． 故选B．] 9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　) A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60 C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60 B　[根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元， 所以80(1－x)2＝60．故选B．] 10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________． 2　[由题意， 将x＝1代入一元二次方程得， 1－3＋a＝0， 解得a＝2．] 11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为_________________________________________． 　[∵一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即1－4c＝0， 解得c＝．] 12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________． 14　[∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－5． ∴(x1－x2)2＋3x1x2 ＝ ＝(x1＋x2)2－x1x2 ＝32－(－5) ＝9＋5 ＝14．] 13．(9分)(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0． [解]　∵x2－4x＝0， ∴x(x－4)＝0， ∴x＝0或x－4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 14．(9分)(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0； (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长． [解]　(1)x2－4x＋3＝0， ∴(x－1)(x－3)＝0， ∴x－1＝0或x－3＝0， ∴x1＝1，x2＝3． (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边为＝2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边为＝， ∴第三边的长为2或． 15．(10分)某商店进购一商品，第一天每件盈利10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．现要保证每天总利润为6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ [解]　(1)设第二、三天的日平均增长率为x， 根据题意得，500(1＋x)2＝605， 解得，x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去)． 答：第二、三天的日平均增长率为10%． (2)设每件应涨价y元，则每件盈利(10＋y)元，日销量为(500－20y)， 根据题意得，(10＋y)(500－20y)＝6 000， 整理得，y2－15y＋50＝0， 解得，y1＝10，y2＝5， 又∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每件应涨价5元． 16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　) A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 C　[由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7， ∵3＋3<7， ∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7， ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17．故选C．] 17．(2024·四川南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________． －4　[把x＝m代入x2＋4x－1＝0，得m2＋4m－1＝0， m2＋4m＝1， ∴(m＋5)(m－1) ＝m2－m＋5m－5 ＝m2＋4m－5 ＝1－5 ＝－4．] 18．(12分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且－x1x2＝9，求m的值． [解]　(1)证明：∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0， ∴a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1， Δ＝b2－4ac ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1) ＝m2＋4m＋4－4m＋4 ＝m2＋8． ∵m2≥0， ∴Δ＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)设方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1． －x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9， ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9． 整理得m2＋m－2＝0． ∴(m＋2)(m－1)＝0． 解得m1＝－2，m2＝1． ∴m的值为－2或1． 19．[新定义](2024·广东广州)定义新运算：a⊗b＝例如：－2⊗4＝(－2)2－4＝0，2⊗3＝－2＋3＝1．若x⊗1＝－，则x的值为________． －或　[∵x⊗1＝－， ∴当x≤0时，x2－1＝－， 解得x＝－或x＝(不合题意，舍去)； 当x＞0时，－x＋1＝－， 解得x＝， 由上可得，x的值为－或．] 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $