第1部分 第1章 第4节 二次根式-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

该初中数学中考复习学案系统构建了“二次根式”考点体系，涵盖概念、性质、运算三大核心板块，细化为二次根式的意义、最简二次根式、双重非负性等8个层级考点，通过“概念辨析-性质推导-运算应用”的递进结构，引导学生自主完成典例分析和问题探究，逐步搭建完整的知识网络。 亮点在于“考点精讲-分层自测-方法提炼”的自主学习闭环设计，每个考点配套典型例题和基础、提高、拓展三级演练题，如估值题培养抽象能力，化简题强化运算能力，帮助学生精准诊断薄弱点。教师可依据学生自测数据调整教学重点，有效支持因材施教，提升复习效率。

第四节　二次根式 考点一　二次根式的有关概念 1．二次根式的概念：把形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0． 3．最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式． 考点二　二次根式的性质 1．双重非负性 (1)被开方数是非负数，即a≥0． (2)二次根式的值是非负数，即≥0． 2．两个重要性质 (1)()2＝a(a≥0)． (2)＝|a|＝ 3．积的算术平方根：＝(a≥0，b≥0)． 4．商的算术平方根：＝ (a≥0，b＞0)． 考点三　二次根式的运算 1．二次根式的加减法 可以先将二次根式化成最简二次根式，将被开方数相同的二次根式进行合并．有括号时，要先去括号． 2．二次根式的乘除法 (1)乘法：＝(a≥0，b≥0)． (2)除法：＝ (a≥0，b＞0)． 3．二次根式的混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)． 1．(青岛版八下P112例1改编)使有意义的x的取值范围是(　　) A．x＞5 B．x≥5　 C．x≠5 D．全体实数 B　[依题意，得2x－10≥0，解得x≥5，故选B．] 2．(人教版八下P10练习T2改编)下列二次根式为最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． C　[＝2，故A选项错误； ＝＝，故B选项错误； 是最简二次根式，故C选项正确； ＝|mn|，故D选项错误， 故选C．] 3．估计的值在(　　) A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 A　[∵<<， ∴2＜＜3， ∴估计的值在2和3之间， 故选A．] 4．若＝2－a，则a的取值范围是(　　) A．a＞2 B．a≥2　 C．a＜2 D．a≤2 D　[∵＝|a－2|＝2－a，∴2－a≥0，解得a≤2，故选D．] 5．下列计算正确的是(　　) A．2÷3＝ B．＋＝2 C．3－3＝ D．2×＝ A　[2＝＝，所以A选项符合题意； 不能合并，所以B选项不符合题意； 3与3不能合并，所以C选项不符合题意； 2×，所以D选项不符合题意． 故选A．] 6．＋|b－3|＝0，则的值是(　　) A．0 B．±2 C．2 D．4 C　[∵＋|b－3|＝0，而≥0，|b－3|≥0， ∴a－1＝0，b－3＝0， 解得a＝1，b＝3， ∴＝＝2． 故选C．] 命题点1　二次根式的概念及性质 【典例1】　(2023·济宁)若代数式有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2 D　[由题意得x≥0且x－2≠0， 解得x≥0且x≠2， 故选D．] 　二次根式有意义的条件 (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． (2)如果所给式子中含有分母，那么除了满足被开方数是非负数外，还必须满足分母不能是零． 【典例2】　(2024·乐山)已知1＜x＜2，化简＋|x－2|的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2x－3 D．3－2x B　[∵1＜x＜2， ∴＋|x－2| ＝x－1＋2－x ＝1．故选B．] 　化简二次根式的步骤 (1)把被开方数分解因式． (2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来． (3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2． [对点演练] 1．(2024·菏泽一模)若二次根式有意义，则x的取值范围是________． x≥　[根据题意，得3x－2≥0，解得x≥．] 2．(2024·聊城月考)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋1|－． [解]　由数轴可得，a＋1＞0，b－1＞0，a＋b＞0， 故原式＝a＋1－(b－1)－(a＋b) ＝a＋1－b＋1－a－b ＝－2b＋2． 命题点2　二次根式的运算 【典例3】　(2024·济宁)下列运算正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．2÷＝1 D．＝－5 B　[选项A：和不是同类二次根式，不能合并，不合题意； 选项B：＝，正确，符合题意； 选项C：2÷＝≠1，所以C错误，不合题意； 选项D：∵≥0(a≥0)， ∴＝5，故D错误，不合题意． 故选B．] (1)二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同． (2)二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算． (3)二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式． (4)二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式． [对点演练] 3．下列运算正确的是(　　) A．2＋4＝6 B．2＝－10 C．(3－)2＝11－6 D．6÷＝3 C　[A．2＋4无法合并，故此选项不合题意； B．2＝10，故此选项不合题意； C．(3－)2＝11－6，故此选项符合题意； D．6÷＝9，故此选项不合题意． 故选C．] 4．(2023·聊城)计算：÷＝_______________________________． 3　[原式＝÷ ＝(4)÷ ＝3÷ ＝3．] 命题点3　二次根式的估值 【典例4】　(2023·临沂)设m＝5，则实数m所在的范围是(　　) A．m＜－5 B．－5＜m＜－4 C．－4＜m＜－3 D．m＞－3 B　[m＝5 ＝－3 ＝－3 ＝－2 ＝－， ∵16＜20＜25， ∴＜＜， 即4＜＜5， 那么－5＜－＜－4， 则－5＜m＜－4， 故选B．] [对点演练] 5．(2024·聊城二模)整数a满足<a<，则a的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[∵11＜16＜21， ∴＜＜， ∴＜4＜， ∵整数a满足<a<， ∴a＝4． 故选B．] 6．(2024·江苏盐城)矩形相邻两边长分别为cm，cm，设其面积为S cm2，则S在哪两个连续整数之间(　　) A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 C　[S＝＝(cm2)， ∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴S在3和4之间． 故选C．] 课时分层评价卷(四)　二次根式 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共83分) 1．(2024·绥化)若式子有意义，则m的取值范围是(　　) A．m≤ B．m≥－ C．m≥ D．m≤－ C　[由题意得，2m－3≥0， 解得，m≥． 故选C．] 2．(2024·济宁一模)下列各式是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． A　[是最简二次根式； ＝＝2，不是最简二次根式； ＝|a|，不是最简二次根式； ＝，不是最简二次根式． 故选A．] 3．(2024·湖南)计算的结果是(　　) A．2 B．7 C．14 D． D　[＝． 故选D．] 4．(2024·临沂一模)下列计算正确的是(　　) A．＝－3 B．＝ C．＝±6 D．－＝－0.6 D　[＝3，A选项错误； ，B选项错误； ＝6，C选项错误． 故选D．] 5．(2024·内蒙古包头)计算所得结果是(　　) A．3 B． C．3 D．±3 C　[＝＝＝3． 故选C．] 6．计算：3＝(　　) A．－3 B．－2 C．－ D． B　[原式＝3×－3 ＝－3＝－2，故选B．] 7．(2024·重庆)已知m＝，则实数m的范围是(　　) A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 B　[m＝＝3＝2＝， ∵＜<， ∴3＜＜4， 即实数m的范围是3＜m＜4． 故选B．] 8．(2024·桓台一模)已知m＝＋1，n＝－1，则＝(　　) A．±3 B．－3 C．3 D． C　[∵m＝＋1，n＝－1， ∴(m＋n)2＝(＋1＋－1)2＝(2)2＝8， mn＝(＋1)(－1)＝1， ∴＝＝＝3． 故选C．] 9．(2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． x＞1　[∵代数式在实数范围内有意义，∴x－1＞0，解得x＞1．] 10．(2024·滨州)写出一个比大且比小的整数________． 2或3　[∵<<， ∴<2<， ∵<<， ∴2＜3<， ∴比大且比小的整数是2或3．] 11．(2024·威海)计算：＝________． －2　[原式＝2＝2－4＝－2．] 12．(2024·天津)计算(＋1)(－1)的结果为________． 10　[原式＝()2－12＝11－1＝10．] 13．实数a和b在数轴上如图所示，化简的结果是________． 1＋b　[由实数a和b在数轴上的位置可知，0＜a＜1，b＜－1， ∴a－1＜0，a＋b＜0， ∴原式＝|a－1|－|a＋b| ＝1－a＋a＋b ＝1＋b．] 14．(每题5分，共10分)计算： (1)(2024·河南)－(1－)0； (2)(2024·甘肃兰州)． [解]　(1)原式＝－1＝10－1＝9． (2)＝3－2＝． 15．(10分)先化简，再求值：2(a＋)(a－)－a(a－4)＋14，其中a＝－2． [解]　原式＝2(a2－5)－(a2－4a)＋14 ＝2a2－10－a2＋4a＋14 ＝a2＋4a＋4 ＝(a＋2)2， 当a＝－2时，原式＝(－2＋2)2＝6． 16．(2023·河北)若a＝，b＝，则＝(　　) A．2 B．4 C． D． A　[∵a＝，b＝， ∴＝＝＝2． 故选A．] 17．[新定义](2024·莘县二模)我们把形如a＋b(a，b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如3＋1是型无理数，则()2是(　　) A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 B　[()2 ＝3＋15＋6 ＝18＋6， 即型无理数． 故选B．] 18．现将一个面积为300 cm2的正方形的一组对边缩短8cm，就成为一个长方形，这个长方形的面积为(　　) A．80 cm2 B．72 cm2 C．60 cm2 D．30 cm2 C　[∵正方形面积为300 cm2， ∴正方形边长为＝10 cm， 将其一组对边缩短8 cm， 即这组对边长度变为10－8＝2， ∴长方形面积为2×10＝60(cm2)． 故选C．] 19．若a＝2 0242－2 023×2 024，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b　 C．b＜c＜a D．c＜b＜a D　[∵a＝2 024×(2 024－2 023)＝2 024， b＝＝＝＝2 023， c＝＝＜2 023， ∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a． 故选D．] 20．(2024·重庆)估计)的值应在(　　) A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 C　[) ＝2) ＝2＋6， ∵5.76＜6＜6.25， ∴<<， ∴2.4＜＜2.5， ∴10.8＜2＋6＜11， 故选C．] 21．[开放性试题]请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝________． 2(答案不唯一)　[写出一个正整数m的值使得是整数：m＝2(答案不唯一)． 故答案为2(答案不唯一)．] 22．[易错题]两个最简二次根式与可以合并，则a＝________． 5　[由题意，得a2＋a＝a＋25， ∴a2＝25， ∴a＝±5， 当a＝－5时，＝＝＝2， ∴不是最简二次根式， ∴a＝－5不符合题意，舍去， ∴a＝5．] 23．[规律探究题]观察下列二次根式的化简： S1＝＝1＋； S2＝＝； S3＝＝； … 则＝________． 　[由题意知， S2 025＝＋ ＋…＋＝＋…＋＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋＋1＋＝1＋2 025－＝2 025＋， ∴＝＝1＋＝．] 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $