精品解析：广东省 深圳实验学校（初中部）2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

2025-2026学年深圳实验学校 （初中部）九年级上数学期中试卷 一.选择题（共8小题） 1. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 063 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A 24 B. 27 C. 45 D. 50 8. 菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则值为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5小题） 9. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 10. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 11. 如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为_______． 12. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________． 13. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________． 三.解答题（共7小题） 14. 解方程及计算 （1）； （2）． （3）计算 15. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 16. ☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图(2)，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图(2)中， ． （2）靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图(3)，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)． ① °； ②求乘客水杯的最大高度． (参考数据： ) 17. 已知二次函数的表达式为． （1）求图象与x轴交点的坐标； （2）画出图象； （3）观察图象，当时，直接写出y的取值范围：______． 18. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 19. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性． 图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线、（反比例函数图像的一支）和若干线段围成，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，如图2所示，取中点，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在双曲线的解析式； （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ （3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板，太阳光线经点恰好照射到点，请求出此时线段上光线无法直射部分即线段的长． 20. 我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． （1）如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形等对边四边形，则 _____； （2）如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； （3）如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年深圳实验学校 （初中部）九年级上数学期中试卷 一.选择题（共8小题） 1. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形. 故选：A. 2. 如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．故圆形阴影越来越小． 故选A. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 4. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到160次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 7. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 8. 菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，再证明是等腰三角形，继而得到，再利用相似比即可得到本题答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质，全等三角形性质及判定，等腰三角形判定及性质． 二.填空题（共5小题） 9. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 10. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标． 【详解】的坐标分别是 轴 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 11. 如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，以及由对称轴求对称点，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 先根据对称轴求出抛物线与轴另一个交点坐标，再根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象可得对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， 将点，分别代入， 则， 解得， ∴这个二次函数的关系式为， 故答案为：． 12. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【详解】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点， ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 13. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于点，连接，根据题意求得的长，设，先证明，再证明，，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得的值，进而求得的值． 【详解】小正方形的面积为1，则小正方形的边长为， 如图，延长交于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， ， 设， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 即① ② 联立 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 三.解答题（共7小题） 14. 解方程及计算 （1）； （2）． （3）计算 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，熟练掌握了解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键． （1）利用因式分解法，进行计算，得到答案． （2）利用配方法，进行计算，得到答案． （3）将特殊角的三角函数值代入进行计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 小问2详解】 解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解： . 15. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】（1）400， （2）D （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； 【小问2详解】 解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； 【小问3详解】 解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 16. ☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图(2)，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图(2)中， ． （2）靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图(3)，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)． ① °； ②求乘客水杯的最大高度． (参考数据： ) 【答案】（1）125 （2）①55；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点B作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点E作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：125． 【小问2详解】 解：①当靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：55． ②如图，过点E作的垂线交于点F， 中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 17. 已知二次函数的表达式为． （1）求图象与x轴交点的坐标； （2）画出图象； （3）观察图象，当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】（1）和 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴交点问题，画二次函数图象，二次函数与不等式的关系． （1）令，解一元二次方程即可； （2）列表、描点、连线作图即可； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：对于，令， 则， 解得或， ∴图象与x轴交点的坐标为和； 【小问2详解】 解：列表： ... ... 描点，联系作图如下： 【小问3详解】 解：当时，， 由（1）知当时，， ∴由图象可得当时，， 故答案为：． 18. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用两角对应相等，两个三角形相似证出；（2）牢记相似三角形对应边的比相等． 19. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性． 图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线、（反比例函数图像的一支）和若干线段围成，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，如图2所示，取中点，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在双曲线的解析式； （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ （3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板，太阳光线经点恰好照射到点，请求出此时线段上光线无法直射部分即线段的长． 【答案】（1）； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解； （3）先求出所在直线解析式为，再根据，可设直线解析式为，然后，整理得：，利用一元二次方程根的判别式，可得，从而得到，进而得到解析式为，即可求解． 【小问1详解】 解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立，解得， 联立，解得， ， 【小问3详解】 解：如图，光线与曲线只有一个交点， 设直线的解析式为， 将点，点代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， ∵， 可设直线解析式为， ∴， 整理得： ∴ 解得：，（舍去）， 解析式为， 将分别代入， 解得：， ∴点，点，点点， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，一元二次方程根的判别式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 20. 我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． （1）如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形是等对边四边形，则 _____； （2）如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； （3）如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；② （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）①先证得到，从而即可得到； ②由题易得，进而可证垂直平分，据此设参求解即可； （2）先证，再证，由，可得，再证，据此得解； （3）由中点可联想倍长中线，延长至点F，使，连接，易得，所以，再证，，导角可得，据此设参求解即可 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴； ②由题可知当四边形是等对边四边形时，则， ∵ ∴， ∴， ∴此时点O在垂直平分线与交点位置， ∴O为中点， ∵正方形， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，四边形是等对边四边形， ∴可得， ∴， 由菱形的性质和折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接交于Q，则垂直平分， ∴，， ∴等对边四边形的面积． 【小问3详解】 解：如图，延长至点F，使，连接， ∵H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由已知以及翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， 在上取一点G，使， ∵ ∴， ∴， 过A作于点K，则可设 ∴， ∴， 解得（负值舍去）； ∴， ∴， ∴为． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $