专题02 解直角三角形八类题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题02 解直角三角形八类综合题型 典例详解 类型一、解直角三角形 类型二、解直角三角形的应用——圆弧问题 类型三、解直角三角形应用——俯角仰角问题 类型四、解直角三角形的应用——方向角问题 类型五、解直角三角形的应用——坡度坡比问题 类型六、解非直角三角形——做高法 类型七、解非直角三角形——作垂线 类型八、解非直角三角形——延长线 压轴专练 类型一、解直角三角形 1. 解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2. 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B 2）三边之间的关系：（勾股定理） 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° 4）边角之间的关系： sin A= = ，sin B= = cos A= = tan A= = 3. 解直角三角形常见类型及方法： 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A 两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A 一边和一锐角 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 例1．（24-25九年级下·上海松江·期中）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 变式1-1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 变式1-2．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 变式1-3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 类型二、解直角三角形的应用——圆弧问题 例2．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）如图，是圆的直径，C，D在上且在的两侧．若，且能构成以为斜边的直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 变式2-2．（2025·上海·二模）如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    变式2-3．（2024·甘肃金昌·模拟预测）《圆之吻——有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物，其中有尺规作图，单规作图，单尺作图，锈规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程． (1)如图，已知弓形，的圆心为为半径，只用圆规求作的中点．（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以点和点为圆心，以的半径长为半径作圆弧，再以点为圆心，两端点之间距离为半径作弧，这个圆弧与刚才所作两个圆弧在的下方分别交于点和点； ②分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，在上方相交于点； ③以点为圆心，以长为半径作圆，与相交于点． 则点就是所求作的的中点； (2)若，求的长． 类型三、解直角三角形应用——俯角仰角问题 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 例3．（19-20九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，， ） A．米 B．米 C．25米 D．28米 变式3-1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 变式3-2．（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 变式3-3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 类型四、解直角三角形的应用——方向角问题 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 例4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 变式4-1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 变式4-2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 变式4-3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 类型五、解直角三角形的应用——坡度坡比问题 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 例5．（21-22九年级上·上海·自主招生）如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 变式5-1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 变式5-2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 变式5-3．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 类型六、解非直角三角形——做高法 例6．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 变式6-1．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 变式6-2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 类型七、解非直角三角形——作垂线 例7．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 变式7-1．（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 变式7-2．（2021·辽宁葫芦岛·二模）如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管长40，灯杆长50，台灯灯管、灯杆的夹角即，灯杆与写字台的夹角即． （1）求台灯灯管与水平线的夹角（锐角）？ （2）求灯管顶端E到写字台的距离，即的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B在同一条直线上，参考数据：，，；结果精确到0.1） 类型八、解非直角三角形——延长线 例8．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 变式8-1．（20-21九年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 变式8-2．（2020·江西南昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：为边上的高，E为上一点，，，若，，则的长为 ． 4．（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 5．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，，，P为直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接． (1)当点P在线段上时，如图1，求证：； (2)当点P在的延长线上时，如图2，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； (3)当点P在的延长线上时，如图3，直接写出线段，，之间的数量关系_____． 7．（23-24九年级上·四川达州·期末）为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两栋楼房之间的距离至少为，中午12时不能挡光如图，某旧楼的一楼窗台高，要在此楼正南方处再建一栋新楼，已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高为多少米? 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为，求火箭从处到处的飞行距离．（结果保留根号） 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中四边形是矩形，，现由于故障，不能完全升起，最大为．若一辆厢式小货车宽，高，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由．（参考数据：，） 10．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）已知等边三角形（如图）． （1）用直尺和圆规作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的外接圆半径． 11．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）已知中，．若E为边的延长线上一点，，连接交于F． (1)求证：； (2)连接并延长交线段于G，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形八类综合题型 典例详解 类型一、解直角三角形 类型二、解直角三角形的应用——圆弧问题 类型三、解直角三角形应用——俯角仰角问题 类型四、解直角三角形的应用——方向角问题 类型五、解直角三角形的应用——坡度坡比问题 类型六、解非直角三角形——做高法 类型七、解非直角三角形——作垂线 类型八、解非直角三角形——延长线 压轴专练 类型一、解直角三角形 1. 解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2. 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B 2）三边之间的关系：（勾股定理） 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° 4）边角之间的关系： sin A= = ，sin B= = cos A= = tan A= = 3. 解直角三角形常见类型及方法： 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A 两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A 一边和一锐角 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 例1．（24-25九年级下·上海松江·期中）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式1-1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先证明，则，继而得到，再结合已知条件即可证明平行四边形； （2）过点作于点，先解求出，再由求出，最后再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 变式1-2．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴． 变式1-3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． （1）作，则中，根据勾股定理即可求得的长，即可求得； （2）作，则根据勾股定理可以求得的长，求得，即，求得k的值即可求的面积． 【详解】（1）解：作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴； （2）解：作，垂足为， 在中，，令，， 则， 又在中，， 则， 于是 ，即， 解得， ∴． 类型二、解直角三角形的应用——圆弧问题 例2．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）如图，是圆的直径，C，D在上且在的两侧．若，且能构成以为斜边的直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理，连接，设的半径为r，由勾股定理可得，那么解可得，再由垂线的定义和等边对等角得到的度数，进而可得的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为r， ∵， ∴， ∵能构成以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式2-1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，先根据圆周角定理得出，再由特殊角的三角函数值判断出，故可得出，所以是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-2．（2025·上海·二模）如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆的相关性质，三角形全等、相似的判定与性质，解题的关键是根据相似比得到弦的长． 先证得到，结合，得到，继而可证得，可得，设，则，再根据可求，进而得到弦的长，设中点为，根据勾股定理求出相关边长即可求解． 【详解】如图，设中点为，连接，    由题知， ， ， ，（等腰三角形底角相等）， （弦所对圆周角相等）， ， 又（对顶角相等）， ， ， ，直径为10，， 即，设，则， ，， ， ，即，解得， ， 又中点为，， ， ， ． 故答案为：． 变式2-3．（2024·甘肃金昌·模拟预测）《圆之吻——有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物，其中有尺规作图，单规作图，单尺作图，锈规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程． (1)如图，已知弓形，的圆心为为半径，只用圆规求作的中点．（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以点和点为圆心，以的半径长为半径作圆弧，再以点为圆心，两端点之间距离为半径作弧，这个圆弧与刚才所作两个圆弧在的下方分别交于点和点； ②分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，在上方相交于点； ③以点为圆心，以长为半径作圆，与相交于点． 则点就是所求作的的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意进行作图；连接，证明是的垂直平分线即可； （2）连接，通过特殊角求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求作的的中点； 理由如下：连接， 由作图可得：，， ∴四边形，为平行四边形，， ∴，，，， ∴三点共线；， ∵， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴点就是所求作的的中点； （2）解：如图，连接交于点G， ∵点F就是所求作的的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了作图能力，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握垂直平分是解题的关键． 类型三、解直角三角形应用——俯角仰角问题 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 例3．（19-20九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，， ） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即 ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 变式3-1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 变式3-2．（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 变式3-3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 类型四、解直角三角形的应用——方向角问题 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 例4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】(1)的长度为283米 (2)王老师先到总校点，理由见解析 【分析】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点， 由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． （2）解：， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 变式4-1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)小明家A到小亮家B的距离是米； (2)小亮先到达图书馆，理由见解析． 【分析】本题考查直角三角形的应用—方位角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． （1）作于，得到，由锐角的正弦求出的长，由是等腰直角三角形，解直角三角形得到（米； （2）由三角形中位线定理求出的长，即可求出小亮行走的路程，求出的长即可得到小明行走的路程，从而求出小明，小亮行走的时间，即可解决问题； 【详解】（1）解：作于， ，， ， ， ∵米， 米， ∵ 是等腰直角三角形， 米， 小明家到小亮家的距离是米． （2）解：由上得是等腰直角三角形， ∴米， 在中，米 ∴小明的路程是米，小明的速度是米分钟， 小明从家到图书馆的时间是分钟， ，分别是，的中点， 是的中位线， 米， 小亮的路程是米， 小亮从家到图书馆的时间是分钟， 小亮先到达图书馆． 变式4-2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 变式4-3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 类型五、解直角三角形的应用——坡度坡比问题 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 例5．（21-22九年级上·上海·自主招生）如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，需要用到坡度坡角、三角函数、矩形的性质相关知识，解题可先根据斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距离，再结合三角函数求出相关线段长度，进而求出建筑物的高度． 【详解】作于点，作于点，作，如图， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 不合题意，舍去， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 变式5-1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 故答案为：． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 变式5-3．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 类型六、解非直角三角形——做高法 例6．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 变式6-1．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 变式6-2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 类型七、解非直角三角形——作垂线 例7．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： 则 （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴ 【点睛】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． 变式7-1．（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【答案】(1)步道BC的长为24米； (2)此次改建费用足够． 【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答． 【详解】（1）过点B作于点E，过C作于点F，于点G． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在矩形CGEF中，， ∴， 在，，且， ∴． ∴， ∴． 答：步道BC的长为24米． （2）在中1，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴ ， ∴总共花费：， ∵， 答：此次改建费用足够． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 变式7-2．（2021·辽宁葫芦岛·二模）如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管长40，灯杆长50，台灯灯管、灯杆的夹角即，灯杆与写字台的夹角即． （1）求台灯灯管与水平线的夹角（锐角）？ （2）求灯管顶端E到写字台的距离，即的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B在同一条直线上，参考数据：，，；结果精确到0.1） 【答案】（1）30°；（2）68.5． 【分析】（1）如图：过点D作，交于点H，则，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再根据角的和差关系即可求出结果； （2）如图：作于点G，由题意可得，四边形是矩形，再根据解直角三角形的知识即可求出点E到AB的距离． 【详解】（1）如图：过点D作，交于点H， 则， ∵  ∴； ∵ ∴；     答：台灯灯管与水平线的夹角为30°；     （2）如图：作于点G， 由题意可得，四边形是矩形，∴ 在中，∵ ∴ ∴ 在中，∵ ∴ ∴ 答：灯管顶端E到写字台的距离为68.5． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质，矩形的性质，三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 类型八、解非直角三角形——延长线 例8．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 变式8-1．（20-21九年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 变式8-2．（2020·江西南昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    【答案】 【分析】过点B作于点E，作于点F，构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形，求出BE、CF的长，利用的正弦值为，得到它是，即直线BC与直线AD所夹的锐角度数． 【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F， ∵AB=40，， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是． 故答案是：．    【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值． 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 2．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：为边上的高，E为上一点，，，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，过E作于M，求出，求出，根据，求出、，求出，根据勾股定理求出、求出，根据求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：过E作于M，则， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， 故答案为：． 4．（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 5．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，，，P为直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接． (1)当点P在线段上时，如图1，求证：； (2)当点P在的延长线上时，如图2，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； (3)当点P在的延长线上时，如图3，直接写出线段，，之间的数量关系_____． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等及其性质，旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形—边角关系．熟练掌握三角形全等及其性质，旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形—边角关系． (1)构造等腰直角三角形，得到，接着等量代换可证明，利用判定证明，从而可知，即可得到； (2)等量代换得到，利用判定证明，可知对应边，进一步可证明，在等腰直角三角形中，易证，结合变形即可得到； (3)等量代换可证明，利用SAS判定证明，进而可知对应边，解等腰直角三角形可得，代换即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：过点作，交于点． ∵，， ∴， 易证为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ， 易证， ∵， ∴， ∴． （3）解： 过点作，交CB的延长线于点． 由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 7．（23-24九年级上·四川达州·期末）为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两栋楼房之间的距离至少为，中午12时不能挡光如图，某旧楼的一楼窗台高，要在此楼正南方处再建一栋新楼，已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高为多少米? 【答案】米 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、矩形的判定与性质，根据题意，可知在不违反规定的情况下，需使阳光能照到旧楼的一楼窗台，据此构造，其中有，，解三角形可得的高度，再由可计算出新建楼房的最高高度． 【详解】解：过点C作于E，如下图， 则有，，， ∴， ∵阳光入射角为， ∴， 在中，，即， ∴米， ∴米， 即新建楼房最高为米． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为，求火箭从处到处的飞行距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形应用-仰角俯角问题﹒先求出，，再求出，即可求出﹒ 【详解】解：在中，∵，， ∴，﹒ 在中，∵，， ∴﹒ ∴﹒ 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中四边形是矩形，，现由于故障，不能完全升起，最大为．若一辆厢式小货车宽，高，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由．（参考数据：，） 【答案】这辆车不能在升降杆故障时进入停车场，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．在上截取，过点作，交于点，交于点，先求出，再根据矩形的判定与性质可得，，，然后解直角三角形可得的最大值，则可得的最大值，与小货车的高进行大小比较，由此即可得． 【详解】解：这辆车不能在升降杆故障时进入停车场，理由如下： 如图，在上截取，过点作，交于点，交于点， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴当取最大值时，最大， 当取最大值时，， ∵， ∴当最大时，的值最大，最大值为， 又∵这辆小货车的高为， ∴这辆车不能在升降杆故障时进入停车场． 10．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）已知等边三角形（如图）． （1）用直尺和圆规作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的外接圆半径． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）按尺规作图方法，作出其中两边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任意顶点的距离为半径画圆即可； （2）连接OB，利用等边三角形的性质，垂径定理，再结合三角函数解直角三角形即可求出半径． 【详解】（1）如图：圆O即为所求 （2）如图，连接OB，设的垂直平分线交AB于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，则点B、O、F在同一条直线上， ，， ， ， 在中，， ， ， 的外接圆半径为． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质，垂径定理，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 11．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）已知中，．若E为边的延长线上一点，，连接交于F． (1)求证：； (2)连接并延长交线段于G，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）证明，即可求证； （2）连接交于P，证明四边形是平行四边形，再结合，可得四边形是矩形，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接交于P， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $