第01章 解直角三角形 章节整合练习（10个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 解直角三角形 章节整合练习（10个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点7．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点8．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点9．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点10．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2021秋•江安县期末）在△中，，设，，所对的边分别为，，，则　　 A． B． C． D． 2．（2023•金华模拟）在△中，，，，则的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．7.5 3．（2022•海曙区校级一模）已知中，，，则的度数为 　　． 4．（温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于． （1）求的值； （2）将点绕原点逆时针方向旋转后记作点，求点的坐标． 题型二．锐角三角函数的增减性 5．（2024秋•沛县校级月考）在△中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值　　 A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定 6．（2021•绍兴模拟）已知是锐角三角形，若，则　　 A． B． C． D． 7．（2021•上城区二模）比较和的大小，用“”连接　　． 8．（杭州模拟）已知为锐角，且，那么的范围是　　． 题型三．同角三角函数的关系 9．（2023•西湖区模拟）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024•镇海区校级模拟）在中，，，则　　 A． B． C． D． 11．（2022•海曙区校级开学）已知是锐角，则　　． 12．（余姚市校级自主招生）已知，且，（其中是锐角），则　　． 题型四．互余两角三角函数的关系 13．（2023•义乌市校级模拟）在中，，下列等式不一定成立的　　 A． B． C． D． 14．（2022•江干区校级模拟）在中，若，，则　　 A． B． C． D． 题型五．特殊角的三角函数值 15．（2024春•西湖区校级月考）的值是　　 A． B．1 C． D． 16．（2023•拱墅区校级二模）若，则锐角　　． 17．（2012秋•诸暨市校级月考）计算：　　． 18．（2024•镇海区校级开学）求下列各式的值： （1）； （2）． 19．（2022•鹿城区二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 题型六．解直角三角形 20．（2024•沭阳县校级一模）如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为　　 A． B． C． D． 21．（2024•浙江校级模拟）如图，在中，已知，点，在边，上，．设，，若，则　　 A．7 B．14 C． D．20 22．（2024•温州自主招生）如图，在“镖形” 中，，，，则点到的距离为 　　． 23．（2024•海宁市校级模拟）在中，，分别是，的中点，于点，于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 24．（2023春•越城区期中）如图．已知中，． （1）求的长； （2）设边上的高线，交边于点，求的长． 题型七．解直角三角形的应用 25．（2024•瓯海区校级三模）青朱出入图（图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，． （1）四边形的面积为 　　； （2）连结，则的值为 　　． 26．（2024•嘉善县一模）为了改善自己书房的照明，小明在书房内圆桌中央的上方安装了一个吊灯，根据小明的设计，吊灯到桌面的距离可以调节，这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择．根据光学中的相关定律，电灯到圆桌边缘的照度，其中是电灯的发光强度为常数且，是电灯到圆桌边缘的距离，是电灯到圆桌边缘的光线与桌面所成的角．当时，电灯的照度记作，当电灯到圆桌距离与圆桌半径相等时，电灯的照度记作，则　　． 27．（2024•宁波模拟）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角． （1）如图2，求遮阳棚前端到墙面的距离； （2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到．（参考数据：，，， 28．（2023•舟山三模）古诗云：“烟花三月下扬州”，每年的春季是扬州旅游的最佳时间．为吸引游客，扬州润扬湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，． （1）白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度（结果精确到； （2）傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度（结果精确到． （参考数据：，，， 题型八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 29．（2021•温州校级模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，，木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度表示为　　． A． B． C． D． 30．（2024•鹿城区校级开学）利用无人机探照灯测量坡面的角度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面12米，将无人机沿水平方向前进5米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则　　． 31．（2022•舟山二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点到海面的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离． （参考数据：，，，，， 32．（2022•宁波模拟）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：， 题型九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 33．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D． 米 34．（2023•杭州模拟）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处，观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度为 　　（结果保留整数，参考数据：，，． 35．（2023•西湖区校级二模）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离为 　　米（结果保留根号）． 36．（2024•宁波模拟）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，， 题型一十．解直角三角形的应用-方向角问题 37．（2021•丽水模拟）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长）可以表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D．米 38．（2021•温州模拟）如图，有一个弓形的暗礁区，圆心角，灯塔在灯塔的正西方向海里处，灯塔的正北方向9海里处有一救援点，若救援船沿着东西方向巡逻时，离暗礁区最近点距离为　　海里；救援船向西巡逻至点时，收到来自点处某轮船的求救信号，测得点在点的南偏西方向，且，救援船立即改变航向以30海里小时的速度沿方向行驶，需　　小时到达点． 39．（2023•舟山模拟）如图，我边防雷达站处的工作人员测得在北偏东方向的点处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点到点的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点的正东方向12海里的点处． （1）求点到点之间的距离（结果保留根号）； （2）当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点处成功拦截？（参考数据：，，， 40．（2022•宁波一模）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向，然后向西走35米到达点，测得点在点的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求这段河的宽度约为多少米． （参考数据：，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 解直角三角形 章节整合练习（10个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点7．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点8．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点9．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点10．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2021秋•江安县期末）在△中，，设，，所对的边分别为，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可． 【解答】解：、， 则，本选项说法错误； 、，本选项说法正确； 、， 则，本选项说法错误； 、，本选项说法错误； 故选：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握正弦、正切的定义是解题的关键． 2．（2023•金华模拟）在△中，，，，则的值为　　 A．8 B．9 C．10 D．7.5 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解． 【解答】解：， 设，， ， ， 解得， ． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．（2022•海曙区校级一模）已知中，，，则的度数为 　　． 【分析】根据，知道，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，根据推出是解题的关键． 4．（温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于． （1）求的值； （2）将点绕原点逆时针方向旋转后记作点，求点的坐标． 【分析】（1）根据正切的定义，对边与邻边的比，即可求解； （2）根据图形，确定旋转以后的位置，可以直接写出坐标． 【解答】解：（1）； （2）点的坐标是． 【点评】本题主要考查了正切的定义以及图形的旋转，正确理解定义是解题的关键． 题型二．锐角三角函数的增减性 5．（2024秋•沛县校级月考）在△中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值　　 A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定 【分析】在△中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，根据勾股定理可知，另一条直角边也缩小至原来的，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知这两个直角三角形相似，由相似三角形的对应角相等，可知锐角的大小不变，所以锐角的各个三角函数值也都不变． 【解答】解：在△中，设，，，． 则． 如果在△中，，，即一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的． 那么由勾股定理，可知． ， △△， ， 锐角的各个三角函数值都不变． 故选：． 【点评】根据已知条件得出的大小不变，是解题的关键． 6．（2021•绍兴模拟）已知是锐角三角形，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】大边对大角，可得，当角度在间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解． 【解答】解：是锐角三角形，若， 则， 则． 故选：． 【点评】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 7．（2021•上城区二模）比较和的大小，用“”连接　　． 【分析】将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【解答】解：，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 8．（杭州模拟）已知为锐角，且，那么的范围是　　． 【分析】首先明确，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析． 【解答】解：，余弦函数值随角增大而减小， 当时，． 又是锐角， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 题型三．同角三角函数的关系 9．（2023•西湖区模拟）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据余割的定义：斜边与的对边的比进行计算，再选择即可． 【解答】解：根据定义得，，故不符合题意； ，故不符合题意； ，故符合题意； ，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示，是解题的关键． 10．（2024•镇海区校级模拟）在中，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意设，，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在中，，， ， 设，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．（2022•海曙区校级开学）已知是锐角，则　　． 【分析】根据已知设的对边为，则邻边为，然后利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：， 设的对边为，则邻边为， 斜边长， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12．（余姚市校级自主招生）已知，且，（其中是锐角），则　　． 【分析】先根据已知条件得出、的关系式，再根据同角三角函数的关系解答． 【解答】解：，且， ，， ， ． 【点评】本题利用了锐角三角函数的关系恒等式变形求解． 题型四．互余两角三角函数的关系 13．（2023•义乌市校级模拟）在中，，下列等式不一定成立的　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义就可以解决． 【解答】解：、， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系，熟练掌握三角函数的定义是关键． 14．（2022•江干区校级模拟）在中，若，，则　　 A． B． C． D． 【分析】作出草图，根据的正切值设出两直角边分别为，，然后利用勾股定理求出斜边，则的正弦值即可求出． 【解答】解：如图，在中，，， 设，， 则， ． 故选：． 【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理． 题型五．特殊角的三角函数值 15．（2024春•西湖区校级月考）的值是　　 A． B．1 C． D． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 16．（2023•拱墅区校级二模）若，则锐角　　． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【解答】解：， 锐角． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 17．（2012秋•诸暨市校级月考）计算：　　． 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值： ，，，； ，，，； ，，，． 18．（2024•镇海区校级开学）求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 19．（2022•鹿城区二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【分析】（1）根据二次根式的化简，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，然后再代入求值即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，整式的混合运算化简求值，掌握是解题的关键． 题型六．解直角三角形 20．（2024•沭阳县校级一模）如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接连接，得出，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案 【解答】解：连接， 由网格可得：， 则，， 故． 故选：． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键． 21．（2024•浙江校级模拟）如图，在中，已知，点，在边，上，．设，，若，则　　 A．7 B．14 C． D．20 【分析】当时，，即点与点重合，则，当时，，即点与点重合，则，由锐角三角函数和等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点作于， 当时，，即点与点重合，则， 当时，，即点与点重合，则， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解题的关键． 22．（2024•温州自主招生）如图，在“镖形” 中，，，，则点到的距离为 　　． 【分析】延长交于点，过点作于点，过点作于点，如图．根据三角函数的定义得到，求得．根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：延长交于点，过点作于点，过点作于点，如图． ， ，． 又， ， ， ． 又，， ． ． 即到距离为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形性质等知识，关键是作出正确辅助线，构造直角三角形解题． 23．（2024•海宁市校级模拟）在中，，分别是，的中点，于点，于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 【分析】（1）先证，再证和全等得，由此可得出结论； （2）过点作于点，证为的中位线得，，再证为等腰直角三角形得，则，再由得，进而可得，则，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）证明：于点，于点， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）过点作于点，如图所示： 于点， ， 又点为的中点， 为的中位线，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，理解平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活锐角三角函数和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 24．（2023春•越城区期中）如图．已知中，． （1）求的长； （2）设边上的高线，交边于点，求的长． 【分析】（1）过点作于点，根据，设，则，勾股定理得出，根据，则，，，进而求得，，，在中，勾股定理即可求得； （2）根据等面积法即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，； （2）如图所示， 是边上的高，是边上的高， ． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高的定义，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 题型七．解直角三角形的应用 25．（2024•瓯海区校级三模）青朱出入图（图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，． （1）四边形的面积为 　　； （2）连结，则的值为 　　． 【分析】（1）首先证明△△，求出正方形的边长，得出，再求出正方形的边长为6，根据，求出，由梯形面积公式得四边形的面积； （2）连接，延长，过点作交的延长线于点，证明△△，求出，，求出，从而可得结论． 【解答】解：（1）根据题意知，四边形是正方形， ， 四边形，是正方形， ，， ， ， ， ， ， △△， ， 设，则， ， 解， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 四边形的面积为：， 故答案为：； （2）连接，延长，过点作交的延长线于点， 在△中，，， ， ，， △， ， ， ，， 在△中， ， ，且， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理以及锐角三角形函数，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 26．（2024•嘉善县一模）为了改善自己书房的照明，小明在书房内圆桌中央的上方安装了一个吊灯，根据小明的设计，吊灯到桌面的距离可以调节，这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择．根据光学中的相关定律，电灯到圆桌边缘的照度，其中是电灯的发光强度为常数且，是电灯到圆桌边缘的距离，是电灯到圆桌边缘的光线与桌面所成的角．当时，电灯的照度记作，当电灯到圆桌距离与圆桌半径相等时，电灯的照度记作，则　　． 【分析】由照度，得当时，电灯的照度，当电灯到圆桌距离与圆桌半径相等时，电灯的照度，得． 【解答】解：由照度， 得当时，电灯的照度，当电灯到圆桌距离与圆桌半径相等时，电灯的照度， 得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题关键是找准直角三角形． 27．（2024•宁波模拟）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角． （1）如图2，求遮阳棚前端到墙面的距离； （2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到．（参考数据：，，， 【分析】（1）作于，在△中，根据列式计算即可； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形△求出，可得，然后在△中，解直角三角形求出，进而可得的长． 【解答】解：（1）如图，作于， ，． 在△中，，即， ， 答：遮阳棚前端到墙面的距离约为； （2）解：如图3，作于，于，延长交于，则， 四边形，四边形是矩形， 由（1）得， ， 在△中，，即， ， 由题意得：， ， ， 在△中，，即， ， ， 答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 28．（2023•舟山三模）古诗云：“烟花三月下扬州”，每年的春季是扬州旅游的最佳时间．为吸引游客，扬州润扬湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，． （1）白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度（结果精确到； （2）傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度（结果精确到． （参考数据：，，， 【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后根据对称性可求出的长度． （2）当时，此时设，根据锐角三角函数的定义可求出，分别代入的值即可求出答案． 【解答】解：（1）在中，，， ， ， ． 答：遮阳伞宽度是． （2）当时，此时设， 过点作于点， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 从减少到，点下降的高度为 ， 点下降高度为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于基础题型． 题型八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 29．（2021•温州校级模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，，木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度表示为　　． A． B． C． D． 【分析】过作于，交于，过作于，于，由锐角三角函数定义分别求出、，即可求解． 【解答】解：过作于，交于，过作于，于，如图所示： 则四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ，， ， 在中，，， ， ， ， 即木箱端点距地面的高度为， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 30．（2024•鹿城区校级开学）利用无人机探照灯测量坡面的角度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面12米，将无人机沿水平方向前进5米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则　　． 【分析】连接，作于，根据题意是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明，根据对应线段成比例，推出，求出，推出，分别求出和，进而求出，根据，，进而求出． 【解答】解：如图，连接，作于， 点恰好在的正上方， 是直角三角形， 又，， 根据勾股定理得， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形和三角形相似，解题的关键是作辅助线． 31．（2022•舟山二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点到海面的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离． （参考数据：，，，，， 【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于，根据三角函数的定义求出，继而得出，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，延长交于点，垂足为，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，利用勾股定理求出，从而得出的长． 【解答】解：（1）过点作，垂足为，延长交于，垂足为，则， ， ， ，即， ， 答：点到海面的距离为3米； （2）过点作，垂足为，延长交于点，垂足为， 由， ， ， 即， ， ， ， ，即， ， ， ， 即点到岸边的距离为． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系． 32．（2022•宁波模拟）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：， 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题． 【解答】解：连接，作于点， ，，分别垂直平分踏步，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ，， 该中学楼梯踏步的高度符合规定， ，， 该中学楼梯踏步的宽度符合规定， 由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 题型九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 33．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D． 米 【分析】过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过作于，则四边形是矩形，如图． 米，米， ， ， 米， （米， 即旗杆的高度为米， 故选：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 34．（2023•杭州模拟）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处，观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度为 　　（结果保留整数，参考数据：，，． 【分析】由锐角三角函数定义求出的长，再证，即可求解． 【解答】解：由题意得： ，，，， 在中，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， 即旗杆的高度约为， 故答案为：8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键． 35．（2023•西湖区校级二模）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离为 　　米（结果保留根号）． 【分析】在直角中利用三角函数求得，然后在直角中，利用三角函数求得，根据即可求解． 【解答】解：在直角中，，， （米； 同理，（米， 则（米． 故答案为：． 【点评】本题考查运用俯角的定义，三角函数，通过作高线转化为解直角三角形的问题． 36．（2024•宁波模拟）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，， 【分析】过点作于点，则四边形为矩形，得出（米，在△中，在△中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解． 【解答】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， （米， 在△中，， （米． 在△中，， （米． （米． 答：亚帆灯塔的高的值为14米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 题型一十．解直角三角形的应用-方向角问题 37．（2021•丽水模拟）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长）可以表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D．米 【分析】在直角三角形中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长． 【解答】解：在中， ，， ， ， ， 即河宽米， 故选：． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 38．（2021•温州模拟）如图，有一个弓形的暗礁区，圆心角，灯塔在灯塔的正西方向海里处，灯塔的正北方向9海里处有一救援点，若救援船沿着东西方向巡逻时，离暗礁区最近点距离为　　海里；救援船向西巡逻至点时，收到来自点处某轮船的求救信号，测得点在点的南偏西方向，且，救援船立即改变航向以30海里小时的速度沿方向行驶，需　　小时到达点． 【分析】由圆的对称性和垂径定理可求出，进而求出的长，即为航线与暗礁的最小距离； 求出的长，再计算相应的时间即可． 【解答】解：如图，过点作的平行线，交、、于点、、，过点分别作的垂线，垂足分别为、， 由圆的对称性可知， ，， 在中， ， ， ， 即：航线离暗礁区最近点距离为海里； 由题意得，， 又， ， 在中，， ， 在中， ， 所用的时间为（小时）， 故答案为：，． 【点评】本题考查圆的有关性质，垂径定理，直角三角形的边角关系，掌握圆的性质，垂径定理和直角三角形的边角关系是正确计算的前提． 39．（2023•舟山模拟）如图，我边防雷达站处的工作人员测得在北偏东方向的点处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点到点的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点的正东方向12海里的点处． （1）求点到点之间的距离（结果保留根号）； （2）当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点处成功拦截？（参考数据：，，， 【分析】（1）过作于，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）过作于，过作于，则，四边形是矩形，可得到，分别在和中解直角三角形分别求得海里，海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达的时间，比较可得出结论． 【解答】解：（1）过作于， 由题意，海里，海里，， 海里，则海里， 海里， 海里， 即点到点之间的距离为海里； （2）如图，过作于，过作于，则海里，四边形是矩形， 海里， 在中，，， 解得海里，海里， 我方军舰到达的时间为小时； 在中，海里， 则海里， 可疑船只到达点的时间为小时， ， 我方军舰能在可疑船只的正前方的点处成功拦截． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，添加合适的辅助线是解答的关键． 40．（2022•宁波一模）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向，然后向西走35米到达点，测得点在点的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求这段河的宽度约为多少米． （参考数据：，， 【分析】由题意得：，，再由三角形的外角性质即可得出答案； （2）过作于，由锐角三角函数定义得，设米，则米，再由锐角三角函数定义得，则，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，由题意得：，， ； （2）过作于，则， ， ， 即， 设米，则米， ， ， ， 解得：， （米， 答：这段河的宽度约为55米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$