专题01 二次函数的图象和性质11大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

专题01 二次函数的图象和性质 题型一、y=ax2的图象与性质 1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质， 根据当时，二次函数的图象开口向下可得答案 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得 故答案为： 3．（2025九年级上·全国·专题练习）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数，，． (1)计算： ， ； (2)猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想． 【答案】(1)，； (2)减，见解析． 【分析】本题主要考查了函数值的计算以及函数单调性的证明，熟练掌握函数单调性的定义是解题的关键． （）将给定的自变量值代入函数表达式，按照函数运算规则计算函数值． （）先通过计算几个函数值进行猜想，再仿照例题，利用作差法，结合自变量的取值范围判断差的正负，从而证明函数的单调性． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：函数是减函数，理由如下： 设，则 ， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∴函数是减函数． 4．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 5．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)，拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； (2)最小值为0，最大值为32 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键； （1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）当时，函数在原点取得最小值，在取得最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数为； 把点代入中，得：； ∵二次函数为， ∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； （2）解：当时， 函数在原点取得最小值，即最小值为0； 函数在取得最大值，最大值为． 题型二、y=ax2+k的图象与性质 6．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【详解】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 7．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②其对称轴为直线；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．根据解析式直接判断即可选择． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴下方），对称轴为直线（即为y轴）， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 9．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）当时，二次函数有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线的对称轴为轴，再分和两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·天津·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质. 根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数． (1)写出其图象的对称轴方程、及顶点坐标； (2)当满足_________时，随的增大而减小； (3)当___________时，有_________（填“最大”或“最小”）值为________． 【答案】(1)，； (2)； (3)，最小，； 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据对称轴公式和顶点公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：二次函数， ∴， ∴对称轴为， ∴对称轴方程为， 把代入中，得：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：； （3）解：∵， ∴二次函数开口向上，有最小值， ∵顶点坐标为， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，最小，； 题型三、y=a（x-h）2的图象和性质 13．（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则， ∴ 故选：C 14．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故选：C． 15．（25-26九年级上·北京·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 16．（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．，时，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可知对称轴为，进而可得的值． 【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为直线， 故， 故答案是：3． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，且离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，，都在函数的图像上， 且， ∴， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 题型四、顶点式的图象和性质 19．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式的图象和性质；由可画出图象，数形结合，即可求解. 【详解】解：由二次函数，可画出如下图象： 二次函数，开口向下，关于直线对称，顶点坐标为 A、当时，y随x的增大而增大，故A不符合题意； B、当时，y随x的增大而减小，故B符合题意； C、图象有最高点，其坐标是，故C不符合题意； D、图象有最高点，其坐标是，故D不符合题意. 故选：B. 20．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）点，，在抛物线上，且，则m的值不可能是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的性质，由题意可得抛物线对称轴为，点，到对称轴距离分别为 2、3，再结合可得，从而可得出到对称轴的距离大于，由此逐项判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点，到对称轴距离分别为 2、3，且， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于， ， ∵，，，， ∴m的值不可能是， 故选：C． 21．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）南宁会展中心“朱槿花厅”顶部花瓣轮廓近似二次函数（为高度，为水平距离），该函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握顶点式中的对称轴是解题的关键． 根据二次函数顶点式中的对称轴，与题目进行对应寻找即可． 【详解】解：已知中，对称轴为， 故的对称轴为． 故选：A． 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 23．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）二次函数化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，代入一次函数的解析式，进行求解即可． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． 25．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过． (1)当时，则________，此时二次函数的最小值是________． (2)已知点与在抛物线上，其中，若且请比较与的大小． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）当时，即经过，然后代入求出，再进行配方配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解； （）把点代入，再由即可求解． 【详解】（1）解：当时，即抛物线经过， ∴，解得， ∴， 当时，有最小值，是， 故答案为：，； （2）解：根据题意把点代入函数得即， ∴ 又，且， ∴，， ∴ ∴． 题型五、二次各项系数与图象的关系 26．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②一元二次方程有两个不相等的实数根； ③； ④当或时，．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象中获取信息进行准确的分析是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴，与轴的一个交点为，与y轴的交点为， ，，与轴的另一个交点，， ∴，故①正确； 一元二次方程可以看作函数与的交点， 由图象可知函数与有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根； ②正确； 当时，， ；故③错误； ④由图象可知，当或时，， ④正确； 综上所述，①②④正确． 故选C． 27．（19-20九年级上·重庆·期末）已知：二次函数的图像如图所示，经过点和，正确的是（　　） A． B． C．（m为任意实数） D． 【答案】A 【分析】本题考查图像与二次函数系数之间的关系，能根据图像特点得出各系数的正负及其相互关系是解题关键．由题意得出，结合判断A选项；根据对称轴判断B选项；根据当时，有判断C选项；根据即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数经过点和． ∴， ∴，即， 又∵， ∴，因此选项A正确； ∵对称轴， ∴，因此选项B不正确； 当时，， 当时，有，则（m为任意实数）错误，因此选项C不正确； ∵，即，则，因此选项D不正确； 故选：A． 28．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点的横坐标为，与y轴正半轴的交点为C，其中，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式，由抛物线的开口方向判断a与的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ，故①正确； 由图象可知当时，，故②正确； 抛物线开口方向向下， ， 抛物线与x轴的交点是和，其中， 对称轴， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ，即．故④正确， 综上，正确的结论有①②④，共3个， 故选：B． 29．（25-26九年级上·山东·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；  ③；④；⑤；其中正确的结论序号为（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】由图象可知，开口向下，交轴于正半轴即对称轴为直线，可判断①②是否正确，由抛物线与轴有两个交点，可得，据此可判断③是否正确；由图象可知当时，函数有最大值，据此可判断④是否正确；由图象可知，当时，函数值，则可判断⑤是否正确． 【详解】解：由图象可知，开口向下，交轴于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③正确； 当时，函数有最大值， ∴， ∴， 即，故④正确； 由图象可知，当时， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键． 30．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的是（   ） A． B． C．（为全体实数） D．若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）、系数、、的关系、不等式恒成立判断及函数对称性的应用，解题的关键是根据图象信息确定、、的符号与数量关系，结合对称性和不等式性质逐一验证选项正误． 由抛物线开口向下得，对称轴得，与轴交于负半轴得；分析A：，错误；分析B：符号不确定，错误；分析C：不等式仅成立，非全体实数，错误；分析D：利用对称点，结合区间范围得且，即可判断． 【详解】解： 抛物线开口向下，故； 对称轴，化简得， 因，故； 抛物线与轴交于负半轴，故 A、，因、，故，此选项不符合题意； B、，因则，，（负数加正数）结果不确定（如时为，时为），此选项不符合题意； C、将代入不等式： 左边， 右边， 不等式化为，两边除以得，即，仅 成立，此选项不符合题意； D、因，故、关于对称轴对称，得，即由得： ，即，解得； 由且，即且，解得， 此时需同时满足和，即的取值范围为． 其中“” 表示的是取n和这两个数中的较大值． 要存在这样的，需满足，对n分类讨论如下： 当时，即，， 此时，需满足，结合前提，得； 当时，即，， 此时，需满足，解得，即，结合前提，得． 合并两种情况的范围，最终得，此选项符合题意； 故选：D． 题型六、多种函数图象的综合判断问题 31．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键． 分与两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【详解】解：①当时，二次函数的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点为原点，一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合； ②当时，二次函数的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点顶点为原点，一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项都不符合； 故选B． 32．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 33．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键．根据二次函数图象确定a、b的符号，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：由二次函数图象，得出，对称轴在轴左侧，故，则， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D正确． 故选：D． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 35．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 36．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 37．（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 题型七、二次函数的对称性 38．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称， 即． 故答案为：1． 39．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是 ． … 0 1 … … … 【答案】直线 【分析】本题主要考查了根据二次函数的对称性求对称轴，二次函数图象上纵坐标相同的两个不同点关于二次函数的对称轴对称，据此结合表格中的数据求解即可． 【详解】解：由表格可知，当时和当时的函数值都为， ∴该函数的对称轴为直线， 故答案为：直线． 40．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性， 先求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出答案即可. 【详解】解：二次函数的对称轴是， 设另一个交点坐标为，根据题意，得 ， 解得， 所以另一个交点的坐标为. 故答案为：. 41．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 42．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． (2)如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）本题考查二次函数对称性，根据对称的性质连接与得到交点，连接与得到交点，所在直线即为所求； （2）本题考查轴对称最短距离和问题，根据、两点是抛物线上的对称点得到，即最小时最小，连接交对称轴于一点即为所求，再根据抛物线性质求点即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，连接与得到交点，连接得到交点，所在直线即为对称轴如图所示， （2）解：作点关于抛物线对称轴的对称点， ∵、两点是抛物线上的对称点， ∴， ∴最小时最小， ∴连接交对称轴于一点即为点，如图所示， 设直线为， 由图可知，， 得， 解得， ∴， ∴时，， ∴． 题型八、二次函数的图象平移 43．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）二次函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（   ） A．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得到函数的图象． 故选：D． 44．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：由题知， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 45．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）若将抛物线图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：新抛物线的解析式为：， 故答案为：； 46．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，以及二次函数的性质．先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：4． 47．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象如图． (1)求它的对称轴与轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若，求此时抛物线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化成顶点式，从而算出其对称轴，然后得到点的坐标； （2）不妨设此时抛物线的解析式为，设点，然后表示出点，然后通过，得到，，表示出，接着根据，列出方程解出答案即可． 【详解】（1）解：， 对称轴为， ； （2）解：不妨设此时抛物线的解析式为，设点， 当时，， ， 当时，， ，， ， ，是斜边上的中点， ， ， ， ， （舍去）或， 此时抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 48．（25-26八年级上·北京·阶段练习）（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____． （2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数折叠、平移、旋转的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据点关于轴的对称性质得到，代入计算即可求解； （2）根据题意，设最后得到新函数图象的点为，由旋转，翻折，平移的性质得到点是函数（a，b，c为常数，）的一点，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为， ∴将点P沿y轴翻折得点， ∵点在原函数的图象上， ∴， ∴翻折后的图象对应的函数表达式为， 故答案为：，； （2）设最后得到新函数图象上的任意点为， ∴点绕原点旋转后对应点， 再沿y轴翻折后，点的对应点为， 图象向右移动1个单位长度后，点的对应点为， ∴点是函数（a，b，c为常数，）上的一点， ∴， 整理得，， ∴所得到的图象对应的函数表达式为． 题型九、二次函数的字母参数讨论 49．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限，当时，y的最大值为，则a的值是（   ） A．8 B．或 C．2或8 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出二次函数的对称轴，根据图象不经过第三象限，得到的符号，根据增减性，得到当时，函数有最大值，进而求出a的值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，， ∴图象过原点， 又∵二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限， ∴， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，y的最大值为， ∴当时，， 解得． 故选：D． 50．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得：； 综上所述，或． 故选：D． 51．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）已知函数．当时，，则 【答案】或/或 【分析】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，再利用最大值为1求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴该函数图象开口向上，当时，该函数取得最小值， 当时，， 解得， ∵当时，， ∴在这个范围内， ∴， ∴， 当，取得最大值1时，，解得（舍去）或， 当时，取得最大值1，，解得，（舍去）或． 故答案为：或． 52．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称轴远近确定最值点是解题关键． 由二次函数解析式可知：抛物线的对称轴为，再分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：因为二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，离抛物线的对称轴越远函数值越大， （1）当时，即时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 53．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若二次函数的最大值是2024，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数得最值，先根据已知二次函数的最大值求出a、b的相关关系，再分析所求二次函数的最值． 【详解】解：∵对于二次函数，其最大值为2024，二次函数有最大值， ∴， 二次函数得顶点纵坐标公式为，， ∴，即， 等式两边同时乘以得：， 移项可得，即， ， ∵， ∴，该二次函数图象开口向上，有最小值， 根据二次函数顶点纵坐标公式（这里中，，，，最小值为， 化简得，， ∵， ∴． 故答案为：． 题型十、待定系数法求二次函数解析式 54．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 【答案】开口向上． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象，把点代入二次函数解析式可求出的值，进而可确定该函数图象的开口方向，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数， ∵， ∴该函数图象的开口向上． 55．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次函数图像的顶点为，经过点． (1)求、、的值； (2)向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． （2）解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 56．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，函数图像的平移，解二元一次方程组和平移坐标的变化是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）新抛物线顶点坐标为，将上述点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 故表达式为； （2）解：原抛物线顶点式：， 顶点向左平移m个单位后，新顶点为， 新顶点在直线上，代入得， 解得． 57．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)最大值3，见解析 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 58．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，当时，函数的最大值为． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出当时，y的取值范围； (3)若当时，y既存在最大值也存在最小值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题； （1）根据题意设顶点式，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意当时，函数的最大值为，根据时离对称轴较远，则时取得最小值，即可求解； （3）当时，只有最大值，没有最小值；根据抛物线的对称性可得当时，则时，没有最小值，时，y既存在最大值，也存在最小值． 【详解】（1）解：∵当时，函数的最大值为． 设二次函数解析式为， 代入得， 解得： ∴二次函数解析式为， （2）解：∵抛物线对称轴为直线，当时，函数的最大值为，抛物线开口向下． 又∵ 当时，取得最小值为； ∴当时，y的取值范围为； （3）解：当时， 当时，只有最大值，没有最小值； ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，且当时，随的增大而减小， ∴当时，则时，没有最小值， ∴当时，y既存在最大值，也存在最小值． 题型十一、二次函数与一元二次方程 59．（25-26九年级上·广西钦州·阶段练习）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述错误的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当或时，函数取得最小值0 C．图象的对称轴为直线 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图象的翻折变换，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解题的关键，先求出二次函数翻折前与轴的交点坐标，即可得到翻折后与轴的交点坐标，判断A选项即可，根据函数图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求出对称轴直线，可判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A、二次函数， 令，则， ∴原函数与轴的交点坐标为：， ∴翻折后与轴的交点坐标为：，此项正确； B、二次函数， 令，则， 解得：， 由图象可得：函数在处取最小值0，此项正确； C、二次函数， 对称轴：，此项正确； D、由图象可知：当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，此项错误． 故选：D． 60．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，根据题意利用数形结合的方法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两函数图象即可得出结论； （3）根据图象可知当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方即可得出结论． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 设二次函数的解析式为，代入、、， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，时，两函数的函数值都随x增大而增大， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方， ∴当时，一次函数值大于二次函数值， 故答案为：． 61．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)抛物线开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 (4) 【分析】（1）将点坐标代入计算即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图象写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可； （4）将点坐标代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ； （2）解：由（1）可知，抛物线，图象过，，，图象如下： （3）解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标； （4）解：点也在此抛物线图象上， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，描点法画二次函数图象，求自变量或函数值，是解题的关键． 62．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 (1)______________，______________，______________； (2)当x满足______________时，函数值大于0； (3)当时，y的取值范围是______________． (4)若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是______________． 【答案】(1)；4；0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式，再代入原点坐标求出解析式即可得到答案； （2）求出二次函数与x轴交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案； （3）函数图象开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此求出时的函数值即可得到答案； （4）根据题意可得函数与直线有两个不同的交点，据此结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴； （2）解：在中，当时，，解得或， ∵函数图象开口向下， ∴由函数图象可知，当时，函数值大于0， 故答案为：； （3）解：在中，当时，， ∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵顶点的横坐标为1 ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值小于当时的函数值， ∴当时，y的取值范围是； （4）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴函数与直线有两个不同的交点， ∴由函数图象可知，当时，函数与直线有两个不同的交点，即此时方程有两个不相等的实数根． 63．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数． x … … … … (1)将化成的形式，并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，求y的取值范围； (4)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)，对称轴为，顶点坐标为 (2)图象见解析 (3) (4)12 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是由函数图象的相关信息解题． （1）根据顶点式的形式进行配方求解即可； （2）先列表，再根据点画出函数图象即可； （3）根据二次函数图象，由x的取值范围求解y的取值范围即可； （4）找到交点，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， 对称轴为，顶点坐标为； （2）解：列表如下： x 0 1 2 3 … 0 0 … 二次函数图象如下： （3）解：由图象可知，当时，， ∴当时，y的取值范围为； （4）解：记图象与x轴的交点为点A与点B，与y轴的交点为点C，如图， ∴， 函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为12． 64．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 2 4 6 … … 0 6 m n 0 … (1)由题意得，该二次函数图象的对称轴为直线____； (2)该二次函数解析式为______． (3)当x_____时，y有最_____值（填“大”或“小”）是____． (4)若该二次函数图象上有两点和满足，则_______（从符号“<，=，>”中选择一个填空） (5)当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)2 (2) (3)；大；8 (4) (5) 【分析】（1）根据表格中的数据得出抛物线的对称轴即可； （2）利用待定系数法即可求解函数的解析式即可； （3）将抛物线的解析式化为顶点式，然后得出答案即可； （4）根据二次函数的性质求出结果即可； （5）利用解析式先求得的值，然后根据二次函数性质进行求解即可． 【详解】（1）解：根据表格可知：点, 在该函数图象上， ∴抛物线与x轴的交点坐标为, ， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把, , 代入得： ， 解得 ， ∴该二次函数解析式为：； （3）解：， ∵， ∴当时，y有最大值8； （4）解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数图象上有两点和满足， ∴； （5）解：把代入得,， 把代入得：， ∴，， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 65．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）抛物线开口向上，且过，下列结论： ①若抛物线过点，则； ②若，则不等式的解为； ③若，，为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 其中正确结论的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数综合运用；根据抛物线的对称轴、根与系数的关系、顶点坐标以及二次函数的增减性，结合各选项条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵抛物线过和， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线过和， ∴不等式的解为，故②错误； ③∵抛物线开口向上，且过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴在直线左边， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点一定在的下方，故④正确． 其中正确结论的个数是3个． 故选：C． 66．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标，可得二次函数的解析式为，根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，可知，，可得：；根据二次函数的解析式为，可知抛物线与轴交点的坐标为和，又因为抛物线开口向上，所以当时，，可得：正确；由可知，，所以；因为二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位，可知结论正确；根据一元二次方程根与系数的关系可以判断结论正确． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 则二次函数表达式为：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故正确； 二次函数的解析可整理为， 方程的解为，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位， 有两个根和，且，则， 故正确； 若方程， 即：方程， 当时， 其两个根的和为， 当时， 其两个根的和也为， 这四个根的和为， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：D． 67．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 【答案】(1)；和 (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是，二次函数的图象的“2倍点”的坐标是，分别代入求出的值，由此即可得； （2）设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，则可得，再根据这个方程有两个不相等的实数根求解即可得； （3）设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，则可得，根据这个方程有两个相等的实数根即可得的值，则可得点的坐标，再代入函数可得的值，然后设点的坐标为，代入函数求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得， ∴一次函数的图象的“2倍点”的坐标是； 二次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得或， 当时，；当时，， ∴二次函数的图象的“2倍点”的坐标是和， 故答案为：；和． （2）解：设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （3）解：设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 将点代入函数得：，解得， ∴这个函数的解析式为， 设点的坐标为， 将点代入函数得：， 解得或（即为点的横坐标）， ∴点的坐标为． 68．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）对于三个数，用表示这三个数中最大的数．例如：， ，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是利用函数图象求出交点坐标． 令，根据解析式求出交点坐标，通过分区间表示出最大值，最后进行比较即可． 【详解】解：如图所示，令， 联立， 解得或或； 联立， 解得或； 联立， 解得或； 结合图象交点进行分析如下： 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，无意义； 当时，； 当时，，； 当时，； 综上，当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 69．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于二次函数，定义它在（p，q是常数）上的最大值与最小值之差为该函数在上的“幅度”R，即． (1)已知二次函数，求它在上的“幅度” (2)已知二次函数（m为常数）． ①求该函数在上的“幅度”R与m的关系式． ②是否存在实数m，使得该函数在上的“幅度”？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，根据增减性可确定时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可； （2）①把解析式化为顶点式，求出对称轴，顶点坐标，再根据开口方向得到增减性，再讨论对称轴的位置，根据增减性确定时函数的最大值与最小值，再根据“幅度”的定义求解即可；②根据（2）①所求令，求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大； 在中，当时，，当时，， ∵， ∴当时，函数的最大值为6，最小值为2， ∴二次函数在上的“幅度”为； （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大； 当时， 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 当时，当时，函数有最小值，最小值为，当时，函数有最大值，最大值为， ∴； 综上所述，； ②当时，解得，不符合题意； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得，不符合题意； 综上所述，或． 70．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段上，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为，点Q的坐标为（，），求出直线的解析式为，再由P在直线上，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过A点、B点，，， ∴抛物线的对称轴为直线， 同理可得抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为，抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 同理可求出点Q的坐标为（，）， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵P在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 71．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2)， (3) 【分析】本题考查配方法和二次函数的性质的应用： （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据二次函数的顶点的位置可求出b的值，表示出，利用配方法求出其最大值即可求出c； （3）根据二次函数顶点在直线上可求出h，表示出，利用配方法求出其最大值，并结合二次函数图象性质求出其最小值，从而得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：8； （2）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，即， ∴， 则， 即二次函数的最优纵横值为， ∴， ∴， ∴，； （3）解：二次函数的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴，解得， 故二次函数为， 则， 当时，当时，的最大值为， 当时，有最小值， ∴当时，求该二次函数的纵横值的范围是． 72．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①直线；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 73．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为 ； (2)若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键． （1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案； （2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式； （3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴直线上的“好点”坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是， ∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”， ∴， ∴“好点二次函数”为， ∵是“好点二次函数”，顶点为， ∴， 解得或， ∴这个“好点二次函数”的表达式为或； （3）解：∵“好点二次函数”的图象过点， ∴， 解得，， ∴或 ∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去， ∴， ∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 即， 解得或， ∴， 当，即时，函数的最小值为2，不符合题意； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得或， ∴， 综上可知，的值为或． 试卷第2页，共73页 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质 题型一、y=ax2的图象与性质 1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A．B．C． D． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数，，． (1)计算： ， ； (2)猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想． 4．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 5．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 题型二、y=ax2+k的图象与性质 6．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 7．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 8．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　） A．B．C． D． 9．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）当时，二次函数有最大值，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 11．（25-26九年级上·天津·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 12．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数． (1)写出其图象的对称轴方程、及顶点坐标； (2)当满足_________时，随的增大而减小； (3)当___________时，有_________（填“最大”或“最小”）值为________． 题型三、y=a（x-h）2的图象和性质 13．（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·北京·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 16．（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是 ． 18．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 题型四、顶点式的图象和性质 19．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 20．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）点，，在抛物线上，且，则m的值不可能是（    ） A．5 B． C．3 D． 21．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）南宁会展中心“朱槿花厅”顶部花瓣轮廓近似二次函数（为高度，为水平距离），该函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）二次函数化成的形式是 ． 24．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 25．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过． (1)当时，则________，此时二次函数的最小值是________． (2)已知点与在抛物线上，其中，若且请比较与的大小． 题型五、二次各项系数与图象的关系 26．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②一元二次方程有两个不相等的实数根； ③； ④当或时，．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①③ 27．（19-20九年级上·重庆·期末）已知：二次函数的图像如图所示，经过点和，正确的是（　　） A． B． C．（m为任意实数） D． 28．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点的横坐标为，与y轴正半轴的交点为C，其中，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 29．（25-26九年级上·山东·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；  ③；④；⑤；其中正确的结论序号为（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④ 30．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的是（   ） A． B． C．（为全体实数） D．若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为． 题型六、多种函数图象的综合判断问题 31．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 32．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   33．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 35．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 36．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 37．（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 题型七、二次函数的对称性 38．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 39．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是 ． … 0 1 … … … 40．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 41．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 42．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． (2)如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 题型八、二次函数的图象平移 43．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）二次函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（   ） A．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 44．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）若将抛物线图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ． 46．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 47．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象如图． (1)求它的对称轴与轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若，求此时抛物线的解析式； 48．（25-26八年级上·北京·阶段练习）（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____． （2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 题型九、二次函数的字母参数讨论 49．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限，当时，y的最大值为，则a的值是（   ） A．8 B．或 C．2或8 D．2 50．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 51．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）已知函数．当时，，则 52．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）函数在有最大值6，则实数的值是 ． 53．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若二次函数的最大值是2024，则的最小值为 ． 题型十、待定系数法求二次函数解析式 54．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 55．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次函数图像的顶点为，经过点． (1)求、、的值； (2)向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 56．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 57．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 58．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，当时，函数的最大值为． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出当时，y的取值范围； (3)若当时，y既存在最大值也存在最小值，直接写出m的取值范围． 题型十一、二次函数与一元二次方程 59．（25-26九年级上·广西钦州·阶段练习）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述错误的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当或时，函数取得最小值0 C．图象的对称轴为直线 D．当时，的值随值的增大而增大 60．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 61．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 62．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 (1)______________，______________，______________； (2)当x满足______________时，函数值大于0； (3)当时，y的取值范围是______________． (4)若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是______________． 63．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数． x … … … … (1)将化成的形式，并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，求y的取值范围； (4)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． x 0 1 2 3 … 0 0 … 64．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 2 4 6 … … 0 6 m n 0 … (1)由题意得，该二次函数图象的对称轴为直线____； (2)该二次函数解析式为______． (3)当x_____时，y有最_____值（填“大”或“小”）是____． (4)若该二次函数图象上有两点和满足，则_______（从符号“<，=，>”中选择一个填空） (5)当时，x的取值范围是______． 65．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）抛物线开口向上，且过，下列结论： ①若抛物线过点，则； ②若，则不等式的解为； ③若，，为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 其中正确结论的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 66．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论：；；；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 67．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 68．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）对于三个数，用表示这三个数中最大的数．例如：， ，那么的最小值为 ． 69．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于二次函数，定义它在（p，q是常数）上的最大值与最小值之差为该函数在上的“幅度”R，即． (1)已知二次函数，求它在上的“幅度” (2)已知二次函数（m为常数）． ①求该函数在上的“幅度”R与m的关系式． ②是否存在实数m，使得该函数在上的“幅度”？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 70．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段上，则的值为 71．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 72．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 73．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为 ； (2)若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值． 试卷第2页，共73页 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $