第1章二次函数（单元测试·基础卷）数学湘教版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（       ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（，0） D．时，y随x的增大而减小 2．（23-24八年级下·湖南长沙·单元测试）一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南常德·一模）刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 8．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 12．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 13．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 14．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 16．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）用配方法把二次函数转化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 19．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 20．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点坐标是D． (1)画出函数的图像（不需要列表，但要在图中标出A、B、C、D）； (2)当______________时，y都随x的增大而增大； (3)当时，直接写出函数y的取值范围______________； (4)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，则点P的坐标______________； 21．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． (1)求与的函数关系式； (2)要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； (3)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 22．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 23．如图，已知抛物线与y轴交于点，对称轴为，直线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线分别交y轴、x轴于点D，，交抛物线在y轴右侧部分于点F，交于点P，且． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若G为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点G的坐标及面积的最大值． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（       ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（，0） D．时，y随x的增大而减小 2．（23-24八年级下·湖南长沙·单元测试）一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南常德·一模）刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 8．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 12．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 13．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 14．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 16．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）用配方法把二次函数转化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 19．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 20．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点坐标是D． (1)画出函数的图像（不需要列表，但要在图中标出A、B、C、D）； (2)当______________时，y都随x的增大而增大； (3)当时，直接写出函数y的取值范围______________； (4)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，则点P的坐标______________； 21．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． (1)求与的函数关系式； (2)要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； (3)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 22．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 23．如图，已知抛物线与y轴交于点，对称轴为，直线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线分别交y轴、x轴于点D，，交抛物线在y轴右侧部分于点F，交于点P，且． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若G为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点G的坐标及面积的最大值． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 试卷第20页，共22页 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A B D D C C A C 二、填空题 11．9 12． 13．20 14．；5 15． 16． 三、解答题 17．（8分） 【详解】解：，（4分） ∴对称轴为直线，顶点为，（6分） ∵， ∴开口向下．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ；（4分） （2）解：能，理由如下：（5分） 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒（8分） 19．（9分） 【详解】解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， （5分） （2），（6分） ， 当时，矩形面积的最大值为．（9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：当时，，得，，即，， 当时，，即， 二次函数，即顶点， 画出函数图象，如图所示， （4分） （2）由图象可知，当时，都随的增大而增大； 故答案为：；（5分） （3）二次函数， 当时，函数有最大值，此时， 当时，，当时，， 当时，函数的取值范围为， 故答案为：；（7分） （4）二次函数， 则抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称， ∴，则， 由两点之间线段最短可知，连接交直线于点，此时最小，即最小， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，此时点的坐标为， 故答案为：．（9分） 21．（9分） 【详解】（1）解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为；（2分） （2）解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元．（6分） （3）解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元．（9分） 22．（9分） 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6；（2分） （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为；（6分） （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分．（9分） 23．（10分） 【详解】（1）解：∵， ， ∵抛物线的对称轴为， ， ， ∴抛物线的函数表达式为：， ， ， 又 ∵， ， ， ∴直线的函数表达式为．（4分） （2）解：过点作轴交于点，如图所示： 联立， 解得， ∴点的横坐标为， 设点， 则点， ， ， ∴当时，即点的坐标为时，面积有最大值为．（9分） 24．（10分） 【详解】（1）解：当时，， ∴若，抛物线顶点坐标为；（1分） （2）解：当时，， ∴当时，有最小值为， 当时，，当时，， 故当时，的取值范围为；（3分） （3）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为， ∵当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴直线在内， ∴， 解得：，（5分） 当时，；当时，；（6分） ∵的最大值与的最小值的差等于3， ∴当，即时，当时，有最大值，即， 解得或（不符合题意，舍去）；（8分） 当，即时，当时，有最大值，即，故不符合题意； 综上所述，．（10分） 试卷第20页，共22页 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（       ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（，0） D．时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-5，0），对称轴为直线x=-5，当x＜-5时，y 随 x的增大而增大逐一判断即可得出答案． 【详解】解：二次函数y=-2（x+5）2的图象开口向下，顶点坐标为（-5，0），对称轴为直线x=-5，当x＜-5时，y 随 x的增大而增大， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·单元测试）一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．首先确定的值，再利用顶点式即可解决问题． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ， 顶点为， 抛物线解析式为． 故选：C． 3．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案． 【详解】将抛物线向下平移2个单位，得， 再向左平移3个单位，得． 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 6．（2024·湖南常德·一模）刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，要使其落入锅中，需要满足，由即可求解；找出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，（舍去）， 要使其落入锅中， ， ， ， ， ， 不可能； 故选：D． 7．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，把整理得，由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 【详解】解：依题意， 因为 所以 因为抛物线与直线交于，两点， 结合图象性质： 所以的解集为 即不等式的解集为， 故选：C 8．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号； ∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限， ∵当时，的图象经过第一、二、三象限， 当时，的图象经过第一、二、四象限， ∴选项A不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项B不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、三象限， 当时，的图象经过第二、四象限， ∴选项C符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 9．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与y轴的交点位置可判断出a、b、c的符号，可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；利用和时的函数值可判断和的符号，可判断③；把代入整理可得，可判断④，可求得答案． 【详解】因为抛物线开口向下，所以， 对称轴为， ，即， 因为抛物线与y轴交点在x轴上方， ， ，故①不正确； 因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根， ， 故②不正确； 当时，，当时，， ，， ， 即， ，故③不正确； ， ， 若，则， 即，则有，而由题意可知，故④正确； 综上可知正确的只有1个，所以A选项是正确的． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 12．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 13．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 14．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 16．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键． 设，则，由勾股定理得，，，证明，则，即，可得，将代入，可求，则，可求顶点坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得，， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴顶点坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）用配方法把二次函数转化为的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点为，开口向下 【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点为， ∵， ∴开口向下． 18．（8分）（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 19．（9分）（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先证，再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解； （2）根据（1）的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， （2）， ， 当时，矩形面积的最大值为． 20．（8分）（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点坐标是D． (1)画出函数的图像（不需要列表，但要在图中标出A、B、C、D）； (2)当______________时，y都随x的增大而增大； (3)当时，直接写出函数y的取值范围______________； (4)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，则点P的坐标______________； 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的性质是解题的关键． （1）令，得出关于的一元二次方程，即可得出点，的坐标，再令，得出点坐标，根据顶点公式得出点坐标，再描点作图即可； （2）根据二次函数的图象得出答案即可； （3）由函数解析式可知，当时，函数有最大值，此时，当时，，当时，，再结合函数图象即可求解； （4）由题意可知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称，得，则，由两点之间线段最短可知，连接交直线于点，此时最小，即最小，再求得直线的解析式为，代入横坐标即可求解． 【详解】（1）解：当时，，得，，即，， 当时，，即， 二次函数，即顶点， 画出函数图象，如图所示， （2）由图象可知，当时，都随的增大而增大； 故答案为：； （3）二次函数， 当时，函数有最大值，此时， 当时，，当时，， 当时，函数的取值范围为， 故答案为：； （4）二次函数， 则抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称， ∴，则， 由两点之间线段最短可知，连接交直线于点，此时最小，即最小， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，此时点的坐标为， 故答案为：． 21．（9分）（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． (1)求与的函数关系式； (2)要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； (3)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)17元 (3)；当时，日销售利润最大，最大利润1400元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质解决问题，解答时求出二次函数的解析式，是解题的关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元． （3）解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元． 22．（9分）（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2，3.6 (2) (3)明明在此次考试中能得到满分，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 23．（10分）如图，已知抛物线与y轴交于点，对称轴为，直线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线分别交y轴、x轴于点D，，交抛物线在y轴右侧部分于点F，交于点P，且． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若G为直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求当面积最大时，点G的坐标及面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为：，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为时，面积有最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求抛物线关系式，求一次函数解析式，作出相应辅助线，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先根据点的坐标，确定的值，根据抛物线的对称轴为，得出的值，即可得出抛物线的解析式；根据，得出点的坐标，利用待定系数法即可得出一次函数的解析式； （2）过点作轴交于点，联立 ，求出点的横坐标，设点，则点，则，即可表示出，求出结果即可 【详解】（1）解：∵， ， ∵抛物线的对称轴为， ， ， ∴抛物线的函数表达式为：， ， ， 又 ∵， ， ， ∴直线的函数表达式为． （2）解：过点作轴交于点，如图所示： 联立， 解得， ∴点的横坐标为， 设点， 则点， ， ， ∴当时，即点的坐标为时，面积有最大值为． 24．（10分）（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，将抛物线的解析式化为顶点式即可得解； （2）由（1）可得当时，有最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解； （3）由二次函数的解析式可得二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为，结合题意可得直线在内，求得，求出当时，；当时，；再分两种情况：当，即时；当，即；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴若，抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴当时，有最小值为， 当时，，当时，， 故当时，的取值范围为； （3）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为， ∵当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴直线在内， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∵的最大值与的最小值的差等于3， ∴当，即时，当时，有最大值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，当时，有最大值，即，故不符合题意； 综上所述，． 试卷第20页，共22页 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $