精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高三10月月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 2. 设，则 A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 6. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设等比数列的前项和为.已知，，则（ ） A. B. 16 C. 30 D. 8. 定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”.若函数. h(x)= lnx的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11. 在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的面积与的面积之比是 B. 若，则满足条件的三角形有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若点是的重心，且，则为直角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 13. 的展开式中项的系数是___________． 14. 已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积． 16. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 18. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品. （1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率； （2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 设，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 4. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 7. 设等比数列的前项和为.已知，，则（ ） A. B. 16 C. 30 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解. 【详解】由题得：①，②，①②得： ，， 则，代入①中，即，， 故， 故选：D. 8. 定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”.若函数. h(x)= lnx的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定，，的值或所属区间即可得解. 【详解】由得，解方程，即，即； 由得，解方程，即，得，即； 由得，解方程，即，令，显然在单调递增， ，则存在，使得，即； 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一计算即可. 【详解】显然当时，，故A错误； 原式可化为：， 当且仅当即时取得等号，故B正确； 由， 所以， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 由， 则，当且仅当时取得等号， 故D正确. 故选：BCD 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】， 由关于原点对称，得，， 而，则，， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点， 则，解得，D正确 故选：ABD 11. 在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的面积与的面积之比是 B. 若，则满足条件的三角形有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若点是的重心，且，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奔驰定理及，即可判断A；由余弦定理即可判断B；由向量数量积的定义，诱导公式即可判断C；由三角形重心的性质和平面向量基本定理，即可判断D． 【详解】对于A，如图，点为内任意一点，延长交于点，则，则， 所以 所以， 所以，即， 又， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 所以满足条件的三角形只有一个，故B错误； 对于C，由得，， 所以， 因为， 所以，即， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于D，因为点是的重心， 所以，即， 所以，即， 所以，解得， 因为， 所以，所以为直角三角形，故D正确； 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 13. 的展开式中项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得展开式的通项，结合多项式的运算法则，求得的展开式中项，进而得到答案. 【详解】由二项式展开式的通项为， 则的展开式中项为 所以的展开式中项的系数为. 故答案为：. 14. 已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为___________． 【答案】28 【解析】 【分析】由已知可得求出等差数列基本量，并写出通项公式，进而可得，利用基本不等式及易知当或5时目标式有最小值，写出最小值即可. 【详解】由题设，，可得，即， ∴，则， ∴，当且仅当时等号成立，而，且， 当时，，当时，. 故当或5时，的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以．在中，由余弦定理得， 即，解得（舍去），． 【小问2详解】 因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以， 则，又，则，所以的面积为． 16. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； 【小问2详解】 ，设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 17. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 【小问2详解】 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 18. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品. （1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率； （2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得所求概率. （2）利用二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件， 则；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率， 由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 P . 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递减； 当，在单调递减，在单调递增. （2）. 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $