精品解析：贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为（ ） A. 47 B. 48 C. 49 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】对A的最大数分类讨论，则可确定B的个数，最后汇总即可 【详解】P的所有子集个数为个， （1）中的最大数为1，则，故B只需不包含1即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为15； （2）中的最大数为2，或，故B只需不包含1、2即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为； （3）中的最大数为3，，故B只需不包含1、2、3即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为； （4）中的最大数为4，则包含4，其余元素为的子集，即个，故B只需不包含1、2、3、4即可，则 ，故的个数为8； 综上，的个数为. 故选：C 2. 已知命题：有的长方形是正方形，则（ ） A. ：有的长方形不是正方形 B. ：所有长方形都不是正方形 C. ：所有的长方形都是正方形 D. ：不是长方形的图形都不是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意，：存在一个长方形，该长方形是正方形，：所有长方形都不是正方形. 故选：B. [山东烟台2022三模] 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得； 【详解】解：由，即，解得， 所以， 又，所以， 所以； 故选：B 4. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意； 故选：D. 5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解可得，即可根据分式不等式转化为整式不等式进行求解. 【详解】由的不等式的解集为可得， 故可变形为， 不等式等价于，解得， 故选：D 6. 已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，可得到当时，，，，从而ABD错误，C满足要求. 【详解】对于A，由图1可得，当时，， 所以当时，，故错误； 对于B，由图1可得当时，，所以当时，，故错误； 对于C，由图1可得当时，，当时，， 所以当时，；当时，，选项C正确； 对于D，由图1可得当时，，则当时，，， 选项D错误. 故选：C. 7. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式可判断AB；结合乘“1”法可判断C；利用换元法结合二次函数可得D. 【详解】对于A，因为，当且仅当时取等，所以，故A错误，对于B，因为，当且仅当时取等， 而，所以，解得，则的最小值为8，故B错误， 对于C，因为，所以， 由基本不等式得，当且仅当时取等，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为， ， 令，所以新函数为， 由题意得若取得最小值，则取得最大值， 由二次函数性质得，当时，取得最大值，且其最大值为，所以最小值为，故D错误. 故选：C. 8. 已知全集为有理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割．对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次举例对四个选项逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素， 所以C不正确. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 的单调减区间为 D. 是的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，运用存在量词命题否定的定义即可得；对B，可得，结合不等式性质即可得；对C，根据单调性概念进行判断；对D，结合充分､必要条件的定义验证即可. 【详解】对A：命题“”的否定是“”，故A错误； 对B：由，可得，故，即，故B正确； 对C：的单调区间不能用并集符号连接，故C错误； 对D：由，解得或，若，则成立， 故是的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 11. 下列为真命题的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数的最小值为3 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令，结合对勾函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：令，则，可知函数的最小值不为2，故A错误； 对于选项B：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为3，故B正确； 对于选项C：因为在内单调递增， 可知函数在内单调递增，且当时，， 所以函数的最大值为1，故C正确； 对于选项D：令，可得， 可知在内单调递增，且当时，， 所以函数的最小值为，故D错误； 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知，，，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知计算可得，再结合不等式的性质计算即可求解. 【详解】，， 解得， 则， ，， ，， ， 即， 的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知集合，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，则有，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则不等式无解， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知正数满足，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】记，其中，可求得，进而可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得， 记，其中， 原不等式化为，所以， 所以，即． 所以， 当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】方法点睛：三角代换是解题的关键，进而得出是利用基本不等式求得最小值的基础，进而考查运算求解能力和创新意识. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求及； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可求得集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 集合，且全集， 则. 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，则. 当，即时，，合乎题意； 当，即时，，则，可得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定. 已知二次函数满足，且______. （1）求的解析式； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入解析式可解得，选①，只有一个交点则该交点为顶点；选②，由根与系数的关系列方程求解即可. （2）原命题转化成有且仅有一个正实根，其中，讨论的符号，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为二次函数满足， ， 所以，解得，所以，对称轴为. 选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得， 所以的解析式为. 选②，设、是函数的两个零点，则，且，可得， 由根与系数的关系可知，， 所以，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 因为函数有且仅有一个零点， 令，所以关于的方程有且仅有一个正实根， 因为，所以有且仅有一个正实根， 当，即时，方程可化为，解得，不符合题意； 当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点， 所以方程恒有一个正实根； 当，即时，要使得有且仅有一个正实根，则有 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 17. （1）若，求的最大值； （2）若三个正数x，y，z满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于，则.先讨论时，等式的值；当时，把等式分子分母同时除以，再利用基本不等式对分母求最值，进而得到答案. （2）先把已知条件化简一下，得到，再利用“ ”的代换即可得到答案. 【小问1详解】 当时，；当时，． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 综上，的最大值为． 【小问2详解】 由，得， 因为x，y，z均为正数，所以，都是正数， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故:的最小值为4． 18. 某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【小问1详解】 由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． 【小问2详解】 当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 19. 函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）[－6，2]（2）[－7，2] 【解析】 【详解】(1)∵x∈R，f(x)≥a恒成立， ∴x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2. ∴当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－6，2]． (2)f(x)＝＋3－. 讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a的取值满足下列条件： 或或 即或或 解得－7≤a≤2.∴当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－7，2]． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为（ ） A. 47 B. 48 C. 49 D. 50 2. 已知命题：有的长方形是正方形，则（ ） A. ：有的长方形不是正方形 B. ：所有长方形都不是正方形 C. ：所有的长方形都是正方形 D. ：不是长方形的图形都不是正方形 [山东烟台2022三模] 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 取值范围为 5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 8. 已知全集为有理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割．对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 的单调减区间为 D. 是的必要不充分条件 11. 下列为真命题的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数的最小值为3 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知，，，则的取值范围为_______. 13. 已知集合，，若，则的取值范围是________． 14. 已知正数满足，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求及； （2）若，求的取值范围. 16. 给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定. 已知二次函数满足，且______. （1）求的解析式； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围. 17. （1）若，求的最大值； （2）若三个正数x，y，z满足，求的最小值． 18. 某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $