2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中模拟卷3-3

绝密★启用前 2025-2026学年初中9年级上期中模拟卷3-3（新人教版） 考试范围：第21章~第24章 考试分值：120分；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为（　　）cm． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 3．（3分）二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2+2k﹣3＝0有一个根为0，那么k的值只能是（　　） A．1 B．1，﹣3 C．﹣3 D．以上都不对 5．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（　　） A．28° B．56° C．58° D．62° 6．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，有下列结论错误的是（　　） A．b2＞4ac B．ac＜0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0． 7．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　） A．1 B．5 C．﹣5 D．6 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，连接BE与AC相交于点F．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABF＝∠ACE B．∠ACB＝∠D C．BF＝EF D．BE＝BC 9．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9 C． D．25﹣3 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：（①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 11．（2分）已知m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则　 　 ． 12．（2分）二次函数y＝ax2的图象经过点（1，﹣2），则它的开口方向是 　 　 ． 13．（2分）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝a有两个相等的实数根，那么a的值等于　 　 ． 14．（2分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 　 　 ． 15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B（3，0），则当ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是　 　 ． 16．（2分）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共9小题，满分78分） 17．（6分）解一元二次方程： （1）x2+10x+21＝0； （2）x（2x﹣5）＝10﹣4x． 18．（6分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）． （1）作出△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标为 　 　 ． 19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值． 20．（8分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 22．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣b，0）． （1）求a的值和抛物线的对称轴（用含b的式子表示）； （2）若点A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在该抛物线上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范围． 23．（9分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2． （1）求α的值； （2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由． 24．（12分）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 25．（14分）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中9年级上期中模拟卷3-3（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B C B D C C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故该项不符合题意； B．找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．可以找到一点旋转180°后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（3分）平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为（　　）cm． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝6+2＝8，因而半径是4cm； 当点P在圆外时，直径＝6﹣2＝4，因而半径是2cm． 所以⊙O的半径为2或4cm． 故选：B． 3．（3分）二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 【答案】C 【解答】解：∵y＝（x﹣3）（x+5）， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣5，0）， ∴函数图象的对称轴为直线x1， 故选：C． 4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2+2k﹣3＝0有一个根为0，那么k的值只能是（　　） A．1 B．1，﹣3 C．﹣3 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：把x＝0代入得：k2+2k﹣3＝0， 解得：k1＝1，k2＝﹣3， ∵（k﹣1）x2+x+k2+2k﹣3＝0是一元二次方程， ∴k﹣1≠0， 解得：k≠1， ∴k＝﹣3， 故选：C． 5．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（　　） A．28° B．56° C．58° D．62° 【答案】B 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴， ∵∠CDB＝28°， ∴∠AOC＝2∠CDB＝56°， 故选：B． 6．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，有下列结论错误的是（　　） A．b2＞4ac B．ac＜0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0． 【答案】C 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac， ∴A选项正确； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴ac＜0， ∴B选项正确； ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴1， ∴﹣b＝2a， ∴2a+b＝0，故C选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴D选项正确． 故选：C． 7．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　） A．1 B．5 C．﹣5 D．6 【答案】B 【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2＝5． 故选：B． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，连接BE与AC相交于点F．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABF＝∠ACE B．∠ACB＝∠D C．BF＝EF D．BE＝BC 【答案】D 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE＝BC， 故选：D． 9．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9 C． D．25﹣3 【答案】C 【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG， 设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a， 在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2① 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2② 又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7． 所以圆心到弦的距离是． 故选：C． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：（①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0， 又∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0， ∴abc＞0． 故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴4ac＜b2． 故②正确； ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0． 故③正确； ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0． 故④正确； ∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图象可得：当x＝1时，y＜0， ∴当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 故⑤错误． 综上，正确的有①②③④． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 11．（2分）已知m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣3． ∴． 故答案为：． 12．（2分）二次函数y＝ax2的图象经过点（1，﹣2），则它的开口方向是 　向下　 ． 【答案】向下． 【解答】解：由条件可知a＝﹣2＜0， ∴开口方向向下． 故答案为：向下． 13．（2分）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝a有两个相等的实数根，那么a的值等于　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：由（x﹣1）2＝a得x2﹣2x+1﹣a＝0， ∵关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝a有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即4﹣4（1﹣a）＝0， 解得a＝0， 故答案为：0． 14．（2分）如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OC， ∵BC⊥OA， ∴∠ODC＝90°，BD＝CD， ∵OD＝AD， ∴ODOA2， ∴CD2， ∴BC＝2CD＝4， 故答案为4． 15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B（3，0），则当ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：B关于x＝1的对称点是（﹣1，0）． 又∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上， ∴ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3． 故答案为：x＜﹣1或x＞3． 16．（2分）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0， 可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（无解）， ∴x2﹣x＝5． 故答案为：5． 三．解答题（共9小题，满分78分） 17．（6分）解一元二次方程： （1）x2+10x+21＝0； （2）x（2x﹣5）＝10﹣4x． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣7； （2），x2＝﹣2． 【解答】解：（1）原方程分解因式得（x+3）（x+7）＝0， x+3＝0或x+7＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣7； （2）原方程整理得x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x+2）＝0， 2x﹣5＝0或x+2＝0， ∴，x2＝﹣2． 18．（6分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）． （1）作出△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标为 　（﹣1，1）　 ． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析，（﹣1，1）． 【解答】解：（1）如图1所示． （2）如图2所示，点A2的坐标是（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）∵x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞0， ∴不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0， ∵α、β为方程的两个根， ∴α2﹣6α＝﹣8，α+β＝6， ∴α2﹣5α+β＝α2﹣6α+α+β＝﹣8+6＝﹣2． 20．（8分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x， 由题意得：375（1+x）2＝540， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个应涨价m元， 由题意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000， 整理得：m2﹣15m+50＝0， 解得m1＝5，m2＝10， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴m＝5， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB， ∴D是 的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）如图，连接OA． ∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AHAB＝3， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴DH2， 设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2， 在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， 即⊙O的半径为． 22．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣b，0）． （1）求a的值和抛物线的对称轴（用含b的式子表示）； （2）若点A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在该抛物线上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范围． 【答案】（1）a＝1，抛物线的对称轴为直线． （2）． 【解答】解：（1）将（﹣b，0）代入y＝ax2+bx， 得ab2﹣b2＝0． ∵a≠0， ∴b≠0． ∴a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝x2+bx， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）∵点A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在该抛物线上，且y3＜y1＜y2， ∴点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 即|b+1|＜|2|＜|b|， 解得． ∴b的取值范围为． 23．（9分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2． （1）求α的值； （2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由． 【答案】（1）30°； （2）四边形OHE2G是正方形，理由如下： ∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点， ∴E2G＝OG，E2G⊥OG， ∵OD1∥AC， ∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°， ∴四边形OHE2G是矩形， 又∵E2G＝OG， ∴四边形OHE2G是正方形． 【解答】解：（1）∵OD1∥AC， ∴∠A＝∠AOD1＝30°， ∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置， ∴∠AOD1＝α＝30°； （2）四边形OHE2G是正方形，理由如下： ∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点， ∴E2G＝OG，E2G⊥OG， ∵OD1∥AC， ∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°， ∴四边形OHE2G是矩形， 又∵E2G＝OG， ∴四边形OHE2G是正方形． 24．（12分）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+mx+n得，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线x， 则D（，0）， ∴CD， 如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）； 当DP＝DC时，则P2（，），P3（，）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，）； （3）当y＝0时，x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（4，0），C（0，2）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为yx+2， 设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2）， ∴FEx2x+2﹣（x+2）x2+2x， ∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝2（x2+2x）＝﹣x2+4x， 而S△BCD2×（4）， ∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD ＝﹣x2+4x（0≤x≤4）， ＝﹣（x﹣2）2 当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 25．（14分）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标． 【答案】（1）yx2x+2； （2）点P的坐标为（2，3）；（3）Q的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）． 【解答】解：（1）在yx+2中，令x＝0，得y＝2， ∴B（0，2）， 令y＝0，得x+2＝0， 解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为yx2x+2； （2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E， 设P（t，t+2），则E（t，t+2）， ∴PEt+2﹣（t+2）t2+2t， ∴S△BCPPE•OC（2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当t＝2时，S△BCP有最大值，最大值为4，此时，点P的坐标为（2，3）； （3）设Q（m，n），又B（0，2），C（4，0），P（2，3）， 当BC、PQ为对角线时，BC与PQ的中点重合， 则， 解得：， ∴Q（2，﹣1）； 当BP、CQ为对角线时，BP与CQ的中点重合，则， 解得：， ∴Q（﹣2，5）； 当BQ、CP为对角线时，BQ与CP的中点重合，则， 解得：， ∴Q（6，1）； 综上所述，Q的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $