2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中模拟卷3-2

绝密★启用前 2025-2026学年初中9年级上期中模拟卷3-2（新人教版） 考试范围：第21章~第24章 考试分值：120分；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+1＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 3．（3分）设函数，，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　） A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1 4．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段AB上一点（AP＞BP）若满足（AP是BP和AB的比例中项），则称点P是AB的黄金分割点．一般认为一个人如果肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金分割（黄金比接近0.618），会给人一种特别的美感．如图，某女士身高165cm，下半身长100cm，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为多少厘米．若设高跟鞋的高度大约为多少xcm，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+2 6．（3分）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转65°，得到△AED，若∠E＝35°，AD∥BC，则下列结论不正确的是（　　） A．AC＝AD B．∠BAC＝80° C．BC＝AE D．∠D＝65° 7．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝0 C．x1＝5，x2＝﹣3 D．x1＝﹣5，x2＝3 9．（3分）如图，点A坐标为（﹣4，3），点B坐标为（0，8），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+2x+4向上（下）或向左（右）平移a个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|a|的最小值为（　　） A． B． C． D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式为：　 　 ． 12．（3分）写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数 　 　 ． 13．（3分）泉泉自制了一款等腰三角形晾衣架，设计的平面图如图所示，已知该晾衣架的底边长为30cm，另外两边长是方程x2﹣bx+400＝0的两个根，则该晾衣架三角形部分的周长为 　 　 cm． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转α，得到△ADE，∠E＝60°．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则α＝ 　 　 °． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，，点P是边AB上一动点（B点除外），将线段CP绕点P逆时针旋转90°得PQ，连接BQ，则△BPQ面积的最大值为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（6分）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2． 17．（7分）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2． ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解下列方程： （1）（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． （2）直角三角形中两条直角边分别为a，b，且满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，求这个直角三角形的斜边长． 18．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BD平分∠ABC，BD⊥CD． （1）求出sin∠CBD的值； （2）若AD＝3，把∠BOC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤60°），交AB于点M，交BC于点N（如图），试问：四边形OMBN的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）△ABC经过平移得到△A1B1C1，其中△ABC内任意一点P（a，b）平移后的对应点P1（a+6，b+4），画出平移的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2． （3）求△ABC平移到△A1B1C1的平移距离CC1的长． 20．（9分）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，宽为ym，面积为sm2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC＝3OB． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点G为抛物线上一点，点H为y轴上一点，当以A，C，G，H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形时，求点G的坐标； （3）若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，直线y＝kx+k﹣2交抛物线于D，E两点，直线ND交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．试探究：MP•MQ是否为定值？若为定值，求出MP•MQ的值；若不是定值，请说明理由． 22．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，点F在BC上，BF＝4，作射线DF．点P从点A出发沿AD向点D运动，将矩形沿PE折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x． （1）①EF＝　 　 ； ②当x＝3时，△APE与△BEF全等吗？请说明理由； （2）当线段DG的长最小时，求tan∠AEP的值？ （3）③若点G落在射线DF上，求x的值； ④请直接写出点G到射线DF的距离（用含x的式子表示） 　 　 ． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中9年级上期中模拟卷3-2（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D D C C D C C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 2．（3分）已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+1＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：根据题意得|k|＝2且k+2≠0， 解得k＝2， 故选：C． 3．（3分）设函数，，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　） A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1 【答案】B 【解答】解：如图所示，若1＜m＜n，则a1＞a2， 故A不符合题意； 如图所示，若m＜1＜n，则a1＞a2或a1＜a2， 故C不符合题意； 如图所示，若m＜n＜1，则a1＜a2， B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 4．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段AB上一点（AP＞BP）若满足（AP是BP和AB的比例中项），则称点P是AB的黄金分割点．一般认为一个人如果肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金分割（黄金比接近0.618），会给人一种特别的美感．如图，某女士身高165cm，下半身长100cm，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为多少厘米．若设高跟鞋的高度大约为多少xcm，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得， 0.618， 即0.618， 故选：D． 5．（3分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+2 【答案】D 【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+2． 故选：D． 6．（3分）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转65°，得到△AED，若∠E＝35°，AD∥BC，则下列结论不正确的是（　　） A．AC＝AD B．∠BAC＝80° C．BC＝AE D．∠D＝65° 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE， ∴AC＝AD，故A正确； 由旋转知，∠BAE＝∠CAD＝65°，∠E＝∠B＝35°， ∴∠AOB＝180°﹣65°﹣35°＝80°， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AOB＝80°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE＝∠EAD＝80°，故B正确； ∴∠D＝180°﹣∠EAD﹣∠E＝180°﹣80°﹣35°＝65°，故D正确； ∵∠D＜∠EAD， ∴AE＜DE， 由旋转知，BC＝DE， ∴AE＜BC，故C错误； 故选：C． 7．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，m≠0， 即m＞﹣1且m≠0， 故选：C． 8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝0 C．x1＝5，x2＝﹣3 D．x1＝﹣5，x2＝3 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），（3，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣5，x2＝3． 故选：D． 9．（3分）如图，点A坐标为（﹣4，3），点B坐标为（0，8），将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接OA，OB′，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B′作BF⊥x轴于点F， ∵旋转， ∴△OAB≌△OA′B′， ∵A（﹣4，3），B（0，8）， ∴OE＝3，AE＝4，BE＝8﹣3＝5，OB＝8， ∴OA，AB， ∴OA′＝5，A′B′，OB′＝8， 设OF＝x，则A′F＝5﹣x， ∵OB′2﹣OF2＝A′B′2﹣A′F2， ∴， ∴x， ∴， ∴B′（，）， 故选：C． 10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+2x+4向上（下）或向左（右）平移a个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|a|的最小值为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：由题知， 将x＝0代入y＝﹣x2+2x+4得， y＝4， 所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，4）． 将y＝0代入y＝﹣x2+2x+4得， ﹣x2+2x+4＝0， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（）和（）． 当上下平移时， 将抛物线y＝﹣x2+2x+4向下平移4个单位长度可使抛物线经过原点． 当左右平移时， 将抛物线y＝﹣x2+2x+4向左平移个单位长度或向右平移个单位长度可使抛物线经过原点． 因为， 所以|a|的最小值为． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式为：x2+3x﹣2＝0　 ． 【答案】x2+3x﹣2＝0． 【解答】解：x2+6x＝3x+2， 移项，得x2+6x﹣3x﹣2＝0， 合并同类项，得x2+3x﹣2＝0， 即把一元二次方程x2＝4x﹣6化成一般式是：x2+3x﹣2＝0， 故答案为：x2+3x﹣2＝0． 12．（3分）写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数 y＝x2﹣1（答案不唯一）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，且经过点（1，0）， ∴a＞0， ∴该函数图象可以是y＝x2﹣1， 故答案为：y＝x2﹣1（答案不唯一）． 13．（3分）泉泉自制了一款等腰三角形晾衣架，设计的平面图如图所示，已知该晾衣架的底边长为30cm，另外两边长是方程x2﹣bx+400＝0的两个根，则该晾衣架三角形部分的周长为 　70　 cm． 【答案】70． 【解答】解：令等腰三角形的腰长为acm， 因为等腰三角形的两条腰长是方程x2﹣bx+400＝0的两个根， 所以a2＝400， 则a＝20（舍负）， 即晾衣架的两条腰长都为20cm． 又因为该晾衣架的底边长为30cm， 所以该晾衣架三角形部分的周长为70cm． 故答案为：70． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转α，得到△ADE，∠E＝60°．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则α＝ 　140　 °． 【答案】140 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转α，得到△ADE，∠E＝60°， ∴∠ACB＝∠E＝60°，AB＝AD， 又∵∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝180°﹣100°﹣60°＝20°， 又∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝20°， ∴∠BAD＝180°﹣2×20°＝140°， 即旋转角α＝140°， 故答案为：140． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，，点P是边AB上一动点（B点除外），将线段CP绕点P逆时针旋转90°得PQ，连接BQ，则△BPQ面积的最大值为 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：如图，过点Q作QG⊥BA，交BA延长线于G，CH⊥BA，交BA延长线于H，作AD⊥CB于D， ∴∠QGP＝∠CHP＝∠CPQ＝90°，CP＝PQ， ∴∠HCP+∠CPH＝90°，∠CPH+∠HPQ＝90°， ∴∠HCP＝∠QPG， ∴△HCP≌△GPQ（AAS）， ∴QG＝PH， ∵AC＝AB，AD⊥CB， ∴， 由勾股定理得，， ∴CB×AD＝AB×CH， ∴， ∴CH＝4， 在Rt△ACH中，， 设BP＝x，则AP＝5﹣x， ∴PH＝QG＝8﹣x， ∴△BPQ的面积为， 当x＝4时，△BPQ的面积最大值为8． 故答案为：8． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（6分）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 则x﹣2， 所以． （2）（x﹣2）2＝（2x+3）2， （x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0， （x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）＝0， （3x+1）（﹣x﹣5）＝0， 则3x+1＝0或﹣x﹣5＝0， 所以． 17．（7分）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2． ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解下列方程： （1）（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． （2）直角三角形中两条直角边分别为a，b，且满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，求这个直角三角形的斜边长． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝2； （2）． 【解答】解：（1）设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝6，y2＝﹣2， 当y＝6时，x2+x＝6， 即（x+3）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2； 当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，即x2+x+2＝0，Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，方程没有实数解； 所以原方程的根为：x1＝﹣3，x2＝2； （2）设斜边为c， ∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长， ∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12， 根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0， 即（c2﹣3）（c2+4）＝0， ∵c2+4≠0， ∴c2﹣3＝0， 解得：c或c（舍去）． 则直角三角形的斜边长为． 18．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BD平分∠ABC，BD⊥CD． （1）求出sin∠CBD的值； （2）若AD＝3，把∠BOC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤60°），交AB于点M，交BC于点N（如图），试问：四边形OMBN的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）3． 【解答】解：（1）∵AB＝CD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠BCD＝2∠CBD， 设∠CBD＝x， 在Rt△BCD中，x+2x＝90°， ∴x＝30°， ∴sin∠CBD＝sin30°． （2）四边形OMBN的面积为定值，理由如下： 证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝∠CBD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD＝CD＝3． 在△ONC和△OMB中， ， ∴△ONC≌△OMB（ASA）， ∴S△ONC＝S△OMB， 由（1）知，∠CBD＝30°， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°，OC， ∴S四边形OMBN＝S△BOC． 19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）△ABC经过平移得到△A1B1C1，其中△ABC内任意一点P（a，b）平移后的对应点P1（a+6，b+4），画出平移的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2． （3）求△ABC平移到△A1B1C1的平移距离CC1的长． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）． 【解答】解：（1）由题意得，△ABC是向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1． 如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B1C2即为所求． （3）由勾股定理得，CC1． 20．（9分）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，宽为ym，面积为sm2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当x＝16时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64；（3）矩形场地的最大总面积不能达到100m2，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32， ∴． ∴，即． （2）由题意，∵， ∴S有最大值．当 时，． 答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64． （3）由题意得，x+4y＝32+8， ∴． ∴． ∴x1＝x2＝20． ∵18＜20， ∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC＝3OB． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点G为抛物线上一点，点H为y轴上一点，当以A，C，G，H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形时，求点G的坐标； （3）若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，直线y＝kx+k﹣2交抛物线于D，E两点，直线ND交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．试探究：MP•MQ是否为定值？若为定值，求出MP•MQ的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）G（3，12）； （3）MP•MQ的值为定值；定值为8． 【解答】解：（1）∵B（1，0），OA＝OC＝3OB， ∴A（﹣3，0），C（0，3）， 将A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入得： ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵点G为抛物线上一点， 设G（g，g2+2g﹣3）， ∵点H为y轴上一点， 设H（0，h）， 当以A，C，G，H为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形时， ①AG为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得g＝3， ∴G（3，12）； ②AH为平行四边形对角线时， ， 解得g＝﹣3， ∴G（﹣3，0）， 此时点G和点A重合，故该情况不成立， 综上所述，点G的坐标G（3，12）； （3）MP•MQ为定值；理由如下： 设MP•MQ的值为定值， ∵D、E为抛物线上两点， ∴设D（m，m2+2m﹣3），E（n，n2+2n﹣3）， ∵D、E为直线与抛物线的交点， 联立得：x2+2x﹣3＝kx+k﹣2， 得：x2+（2﹣k）x﹣k﹣1＝0， ∴mn＝﹣k﹣1，m+n＝k﹣2， ∵N为抛物线的顶点， ∴N（﹣1，﹣4）， ∵D（m，m2+2m﹣3）， ∴lND表示为：， 得y＝（m+1）x+m﹣3， ∵直线ND交x轴于点P， ∴令y＝0，得（m+1）x+m﹣3＝0， 解得， ∴， ∵E（n，n2+2n﹣3）， ∴lNE表示为：， ∴y＝（n+1）x+n﹣3， ∴令y＝0，得（m+1）x+m﹣3＝0， 解得， ∴， ∵M为线段AB的中点， ∴M（﹣1，0）， ∴， ， ∴， 故MP•MQ的值为定值；定值为8． 22．（10分）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O（0，0）代入函数表达式， 解得：a， ∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4， 即yx2+2x（0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1， ∴将x＝1代入yx2+2x， 解得：y1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，点F在BC上，BF＝4，作射线DF．点P从点A出发沿AD向点D运动，将矩形沿PE折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x． （1）①EF＝　5　 ； ②当x＝3时，△APE与△BEF全等吗？请说明理由； （2）当线段DG的长最小时，求tan∠AEP的值？ （3）③若点G落在射线DF上，求x的值； ④请直接写出点G到射线DF的距离（用含x的式子表示） 　　 ． 【答案】（1）①5； ②当x＝3时，△APE与△BEF不全等，理由见解答过程； （2）tan∠AEP； （3）③x＝10； ④． 【解答】解：（1）①EF5， 故答案为：5； ②当x＝3时，△APE与△BEF不全等，理由如下： 在矩形ABCD中，∠A是直角， ∴当x＝3时，PE， 即Rt△APE的三边长从小到大分别是3，5，， 而Rt△BEF的三边长从小到大分别是3，4，5， 故△APE与△BEF不全等； （2）如图1，当点G落在线段DE上时，DG的长最小， ∵DE13， ∴DG＝DE﹣EG＝13﹣5＝8， 又∵∠A＝∠PGD，∠ADE＝∠GDP， ∴△DGP∽△DAE， ∴， 即； 又∵tan∠AEP，PA＝PG， ∴tan∠AEP； （3）③∵CF＝12﹣4＝8＝CD，∠C＝90°， ∴∠CFD＝45°， 又∵tan∠BFE＝0.75＜1， ∴∠BFE＜45°， 故∠DFE＞90°是钝角， 当点G和点F重合时，如图2，此时点P在边AD上，0＜x＜12， 作PQ⊥BC于点Q，则PF＝AP＝x，CQ＝PD＝12﹣x， ∴FQ＝BC﹣BF﹣CQ＝12﹣4﹣（12﹣x）＝x﹣4， ∴PF2＝PQ2+FQ2， ∴x2＝82+（x﹣4）2， 解得x＝10； ④； 如图3，记AG与EP交点为N，则AG⊥EP于点N， ∵EP， ∴AN， ∴AG， 作GH⊥AB于点H，则由△AGH∽△PEA，， 解得：HG， ∴AH， 延长AB交DF射线于点M，则AM＝AD＝12，∠AMD＝45°， 在点H下方截取HI＝HG， ∴∠HIG＝45°， ∵∠BKF＝45°， ∴GI∥MD， ∴MI＝AM﹣AH﹣HI， ∵GI∥MD，即点G到DF距离等于点I到DF的距离． 作K⊥MD于点K，则IK， 即点G到DF距离等于， 故答案为：． 1 1 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