2025-2026学年上学期人教版初中数学九年级期中模拟卷3-1

绝密★启用前 2025-2026学年初中9年级上期中模拟卷3-1（新人教版） 考试范围：第21章~24章 考试分值：120分；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x﹣3＝0 B．2x﹣3y＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D． 2．（3分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 3．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°到△ADE，∠B＝40°，∠DAC＝50°，则∠E的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，且OA⊥BC，若∠AOB＝56°，则∠OAC的度数是（　　） A．34° B．56° C．62° D．76° 6．（3分）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　） A．a B．b C．a+b D．a﹣b 7．（3分）若2，则的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 8．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（　　） A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4） 11．（3分）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 12．（3分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至C，CD切⊙O于点D，过点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接BE．若AB＝12，∠ABE＝15°，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．46 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　） A．3 B．2 C．0 D．1 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 15．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣4，y2）在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1　 　 y2． 16．（3分）若二次三项式x2﹣mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+n），则m的值为 　 　 ． 17．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 　 　 ． 18．（3分）如图，点O是△ABC的内心，D是BC的中点，连接OC、OD，若∠A＝2∠O＝120°，OD＝1，则BC的长为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（6分）解方程： （1）（x+5）2＝16； （2）x2﹣4x﹣12＝0． 20．（7分）如图，直线AD、BE、CF分别交直线AC于点A、B、C，交直线DF于点D、E、F，且AD∥BE∥CF．已知AB＝3，AC＝5，OB＝1，DF＝9，求DE、OF的长． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，3），C（1，3）． （1）若△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称（点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应），试在图中画出△A1B1C1； （2）将△ABC以C为中心顺时针旋转90°得到△A2B2C，试在图中画出△A2B2C； （3）若△A2B2C可由△A1B1C1以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 　 　 ． 22．（8分）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）． （1）用含a的代数式分别表示b，c； （2）当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，求k的取值范围． 23．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，位于AB两侧，且OD⊥AB，连接CA，CD，CD与OB交于点E． （I）如图①，若∠ODC＝10°，连接CB，求∠ABC和∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点F，若CF＝4，BF＝2，求OE的长． 24．（12分）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 　 　 ； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 25．（15分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中9年级上期中模拟卷3-1（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D C C C C C B A D 题号 12 13 14 答案 A D A 一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x﹣3＝0 B．2x﹣3y＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D． 【答案】C 【解答】解：A、2x﹣3＝0是一元一次方程，不符合题意； B、2x﹣3y＝0是二元一次方程，不符合题意； C、2x2﹣3x﹣1＝0是一元二次方程，符合题意； D、中，含有分式，不是整式方程，不符合题意． 故选：C． 2．（3分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 【答案】B 【解答】解：∵当x＝1方程ax2+bx+c＝0可化为a+b+c＝0； 故选：B． 3．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 4．（3分）如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°到△ADE，∠B＝40°，∠DAC＝50°，则∠E的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°到△ADE，∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CAE＝30°，∠D＝∠B＝40°， ∵∠DAC＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝50°+30°＝80°， ∴∠E＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝180°﹣80°﹣40°＝60°， 故选：C． 5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，且OA⊥BC，若∠AOB＝56°，则∠OAC的度数是（　　） A．34° B．56° C．62° D．76° 【答案】C 【解答】解：如图，设OA⊥BC于D， ∵OA⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠AOB＝56°， ∴∠C＝AOB＝28°， ∴∠OAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣28°﹣90°＝62°， 故选：C． 6．（3分）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　） A．a B．b C．a+b D．a﹣b 【答案】C 【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b． 故选：C． 7．（3分）若2，则的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴a＝2b， 把a＝2b代入， 可得：， ∴的值为． 故选：C． 8．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【答案】C 【解答】解：原方程移项配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：C． 9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0， 解得：k且k≠1， 故选：B． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（　　） A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4） 【答案】A 【解答】解：将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（﹣3，4）， 故选：A． 11．（3分）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 【答案】D 【解答】解：设BC＝xm，则ABm， 根据题意得：x•28， 整理得：x2﹣15x+56＝0， 解得：x1＝7，x2＝8， 又∵墙长7.5m， ∴x＝7， 即BC的长为7m， 故选：D． 12．（3分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4． 故选：A． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至C，CD切⊙O于点D，过点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接BE．若AB＝12，∠ABE＝15°，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．46 【答案】D 【解答】解：连接OD，如图， ∵DE∥AB， ∴∠E＝∠ABE＝15°， ∴∠DOC＝2∠E＝30°． ∵CD切⊙O于点D， ∴OD⊥CD． ∵AB＝12，AB是⊙O的直径， ∴OD＝OBAB＝6， 在Rt△ODC中， ∵cos∠DOC， ∴， ∴OC， ∴BC＝OC﹣OB＝46． 故选：D． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下． 对称轴为直线x1， ∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即2﹣（﹣1）＜|s﹣（﹣1）|，整理得|s+1|＞3． ∴当s+1≥0时，有s+1＞3， 解得s＞2； 当s+1＜0时，有﹣（s+1）＞3， 解得s＜﹣4． 综上，s＞2或s＜﹣4． 故选：A． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 15．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣4，y2）在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1　＜　 y2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∴点（﹣4，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为（0，y2）， ∵0＞﹣1＞﹣2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 16．（3分）若二次三项式x2﹣mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+n），则m的值为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∵二次三项式x2﹣mx﹣6可分解为（x﹣3）（x+n）， ∴﹣3n＝﹣6，n﹣3＝﹣m， 解得n＝2，m＝1， 故答案为：1． 17．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 　15π　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：圆锥的侧面展开图面积2π×3×5＝15π（cm2）． 故答案为：15π． 18．（3分）如图，点O是△ABC的内心，D是BC的中点，连接OC、OD，若∠A＝2∠O＝120°，OD＝1，则BC的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接OB，延长OD到E，使DE＝OD＝1，连接CE，如图所示： 则OE＝2OD＝2， 在△ABC中，∠A＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝60°， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝30°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝150°， ∵2∠DOC＝120°， ∴∠DOC＝60°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD，BC＝2CD， 在△CED和△BOD中， ， ∴△CED≌△BOD（SAS）， ∴∠E＝∠BOD＝90°， ∴△OCE是直角三角形， 在Rt△OCE中，∠OCE＝90°﹣∠DOC＝30°， ∴OC＝2OE＝4， 由勾股定理得：CE， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD， ∴BC＝2CD． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（6分）解方程： （1）（x+5）2＝16； （2）x2﹣4x﹣12＝0． 【答案】（1）x1＝﹣9，x2＝﹣1； （2）x1＝6，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）（x+5）2＝16， 开方得：x+5＝±4， x1＝﹣9，x2＝﹣1； （2）x2﹣4x﹣12＝0， （x﹣6）（x+2）＝0， x﹣6＝0，x+2＝0， x1＝6，x2＝﹣2． 20．（7分）如图，直线AD、BE、CF分别交直线AC于点A、B、C，交直线DF于点D、E、F，且AD∥BE∥CF．已知AB＝3，AC＝5，OB＝1，DF＝9，求DE、OF的长． 【答案】DE，OF． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF． ∴∵，， 又∵AB＝3，AC＝5，DF＝9， ∴， 解得DE， ∵OB＝1， ∴AO＝AB﹣OB＝3﹣1＝2， ∴OC＝AC﹣AO＝5﹣2＝3， ∴， ∴OF． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，3），C（1，3）． （1）若△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称（点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应），试在图中画出△A1B1C1； （2）将△ABC以C为中心顺时针旋转90°得到△A2B2C，试在图中画出△A2B2C； （3）若△A2B2C可由△A1B1C1以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 　（﹣3，1）　 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）（﹣3，1）． 【解答】（1）解：△A1B1C1如图所示： （2）解：△A2B2C如图所示： （3）解：点P的位置如图所示： 由图可知，点P的坐标为（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 22．（8分）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）． （1）用含a的代数式分别表示b，c； （2）当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，求k的取值范围． 【答案】（1）b＝﹣2a，c＝﹣3a （2）当a＞0时，k≤0或k≥3；当a＜0时，1≤k≤2 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴， ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a； （2）∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax﹣3a， ∵y≥﹣3a， ∴ax2﹣2ax﹣3a≥﹣3a， ∴a（x2﹣2x）≥0， 当a＞0时，x2﹣2x≥0， 解得：x≤0或x≥2， ∵当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a， ∴k≤0或k﹣1≥2， ∴k≤0或k≥3； 当a＜0时，x2﹣2x≤0， 解得：0≤x≤2 ∵当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a， ∴， ∴1≤k≤2； 综上所述，k的取值范围是当a＞0时，k≤0或k≥3；当a＜0时，1≤k≤2． 23．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，位于AB两侧，且OD⊥AB，连接CA，CD，CD与OB交于点E． （I）如图①，若∠ODC＝10°，连接CB，求∠ABC和∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点F，若CF＝4，BF＝2，求OE的长． 【答案】（I）∠ABC和∠BAC的度数分别为55°和35°； （Ⅱ）OE的长为1． 【解答】解：（I）如图①，连接OC，则OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODE＝10°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵点D在⊙O上，OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BCD∠BOD＝45°， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝∠OCD+∠BCD＝55°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝35°， ∴∠ABC和∠BAC的度数分别为55°和35°． （Ⅱ）如图②，连接OC，作CL⊥AB于点L，设CL＝m， ∵CF是⊙O的切线， ∴CF⊥OC， ∴∠OLC＝∠OCF＝90°， ∴OC2+CF2＝OF2， ∵CF＝4，BF＝2，OB＝OC， ∴OF＝OB+BF＝OC+2， ∴OC2+42＝（OC+2）2， 解得OC＝3， ∴OF＝3+2＝5， ∵S△OCFOF•CLOC•CF， ∴5m3×4， 解得m， ∴CL， ∴OL， ∵OD∥CL，OD＝OC＝3， ∴△OED∽△LEC， ∴， ∴OEOLOL1， ∴OE的长为1． 方法2：连接OC， ∵CF是圆O的切线， ∴∠OCF＝90°， ∴OC2+16＝（OC+2）2， 解得OC＝3， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵OD⊥AB， ∴∠OED＝90°﹣∠ODC， ∵∠OCF＝90°， ∴∠FCE＝90°﹣∠OCD， ∴∠FCE＝∠CEF， ∴EF＝CF＝4， ∴OE＝OF﹣EF＝1． 24．（12分）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 y＝150﹣2x ； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可知，该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间为一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意得：， 解得：， ∴该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝150﹣2x， 故答案为：y＝150﹣2x； （2）由题意得：（150﹣2x）（x﹣40）﹣300＝200， 整理得：x2﹣115x+3250＝0， 解得：x1＝65，x2＝50， 当x＝65时，150﹣2x＝20； 当x＝50时，150﹣2x＝50； ∵20＜50，且为了尽快减少库存， ∴x＝50． 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 25．（15分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，F（﹣2，2）或（﹣2，4）； （3）（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $