2025-2026学年上学期人教版初中数学八年级期中模拟卷3-3

绝密★启用前 2025-2026学年初中8年级上期中模拟卷3-3（新人教版） 考试范围：第13章~第16章 考试分值：100；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）观察如图中尺规作图的痕迹，在△ABC中，线段BD一定是（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 3．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1+∠2的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 4．（3分）在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 5．（3分）已知等腰三角形的一个外角为140°，则它的底角度数为（　　） A．40° B．70° C．30°或60° D．40°或70° 6．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．﹣2a2﹣a2＝﹣a2 B．2a3•3a2＝6a5 C．（3x3）3＝9x9 D．（π﹣1）0＝0 7．（3分）下列计算错误的是（　　） A．﹣4a（2a2+3a﹣1）＝﹣8a3﹣12a2+4a B．am（am﹣a2+1）＝amm﹣a2m+am C． D． 8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．8 9．（3分）如图，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A．20° B．60° C．50° D．40° 10．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，下列结论：①AB＝A′B′；②OB＝OB′；③AA′∥BB′；④△ABC≌△A′B′C′中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若am＝4，an＝3，则am﹣n的值为 　 　 ． 12．（3分）计算：（﹣2x+3y）（2x+3y）＝ 　 　 ． 13．（3分）若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为 　 　 ． 14．（3分）如图，AC＝BD，AF＝DE，BF＝CE，∠E＝30°，∠A＝45°，则∠ACE＝　 　 ． 15．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分55分） 16．（4分）计算： （1）4y（﹣2xy2）； （2）（x+3）（x﹣1）． 17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积． 18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC延长线上，点E是△ABC外一点，连接AE、CE、AD．若∠1＝∠2，∠E＝∠D，求证：BD＝CE． 19．（6分）如图，已知AB＝AC，BC＝CD，∠ACB＝∠BCD，CE⊥BD．请完成下面的作图和填空． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）问的条件下，试说明BF∥CE．请将下列解题过程补充完整． 解：∵AB＝AC（已知）， ∴∠ABC＝∠ACB（①　 　 ）， ∵∠ACB＝∠BCD（已知）， ∴∠ABC＝②　 　 （等量代换）， ∵BF平分∠ABC（已知）， ∴③　 　 （角平分线的定义）， 在△BCD中，∵BC＝CD，④　 　 （已知）， ∴（⑤　 　 ）， ∴∠CBF＝∠BCE（等量代换）， ∴BF∥CE（⑥　 　 ）． 20．（6分）定义：多项式A化简后的项数记作M（A），例如多项式A＝x2+2x，则M（A）＝2．多项式A，B，C满足C＝A×（B+1）．如果M（A）≤M（C）≤M（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果M（A）＝M（C），则称B是A的“极好多项式”． （1）若A＝x﹣1，B＝x2+x+2均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若A＝x2+x﹣m，B＝x2+2x﹣1均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 21．（8分）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 　 　 ． 22．（10分）问题背景：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC外一点，点M为BP延长线上一点，点N为线段PC上一点，AM⊥BP于点M，AN⊥CP于点N，且∠ACP＝∠ABP．直接写出图中与△ANC全等的三角形是 　 　 ，直接写出线段PC，PM，BM之间满足的数量关系是 　 　 ． 类比探究：（2）如图2，已知等边△ABC及△ABC外一点D，连接DA，DB，DC．若∠ADB＝60°，试判断AD，CD，BD之间满足的数量关系，并予以证明． 拓展应用：（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，点E为△ABC外一点，且∠EAB＝3∠EAC＝60°，∠EBC＝30°，求∠AEC的度数． 23．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ 　 　 ，BC＝ 　 　 ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标是（0，5），点B（5，0），C（﹣2，0），AC⊥CD且AC＝CD，连接BD．求∠CBD的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点E坐标为（0，﹣3），点F在直线BD上，点G在x轴上，当△EFG为等腰直角三角形时，请直接写出点G的坐标． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中8年级上期中模拟卷3-3（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D B B A A A 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项A的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B、C、D的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：A． 2．（3分）观察如图中尺规作图的痕迹，在△ABC中，线段BD一定是（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【解答】解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高． 故选：B． 3．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1+∠2的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【答案】B 【解答】解：设小正方形的边长为1， 依题得：BA＝AE＝1，AC＝BD＝2，∠CAE＝∠DBA＝90°， ∵在△CAE和△DBA中， ， ∴△CAE≌△DBA（SAS）， ∴∠1＝∠ACE， ∵∠ACE+∠2＝∠ACF＝90°， ∴∠1+∠2＝90°（等量代换）， 综上所述，只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 4．（3分）在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 【答案】C 【解答】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（3分）已知等腰三角形的一个外角为140°，则它的底角度数为（　　） A．40° B．70° C．30°或60° D．40°或70° 【答案】D 【解答】解：如果等腰三角形的底角的外角是140°，此时等腰三角形的底角是180°﹣140°＝40°； 如果等腰三角形的顶角的外角是140°，此时等腰三角形的底角是140°70°， ∴等腰三角形的底角为40°或70°． 故选：D． 6．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．﹣2a2﹣a2＝﹣a2 B．2a3•3a2＝6a5 C．（3x3）3＝9x9 D．（π﹣1）0＝0 【答案】B 【解答】解：A．﹣2a2﹣a2＝﹣3a2，选项A不符合题意； B．2a3•3a2＝6a5，选项B符合题意； C．（3x3）3＝27x9，选项C不符合题意； D．（π﹣1）0＝1，选项D不符合题意； 故选：B． 7．（3分）下列计算错误的是（　　） A．﹣4a（2a2+3a﹣1）＝﹣8a3﹣12a2+4a B．am（am﹣a2+1）＝amm﹣a2m+am C． D． 【答案】B 【解答】解：A．﹣4a（2a2+3a﹣1）＝﹣8a3﹣12a2+4a，选项正确，不符合题意； B．am（am﹣a2+1）＝a2m﹣am+2+am，选项错误，符合题意； C．，选项正确，不符合题意； D．，选项正确，不符合题意． 故选：B． 8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．8 【答案】A 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3 ∵AB＝8， ∴△ABD的面积为：， 故选：A． 9．（3分）如图，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A．20° B．60° C．50° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝80°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°． 故选：A． 10．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，下列结论：①AB＝A′B′；②OB＝OB′；③AA′∥BB′；④△ABC≌△A′B′C′中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：由题意可知：OB＝OB′，AA′∥BB′，△ABC≌△A′B′C′，故②③④正确， ∴AB＝A′B′，故①正确； 综上可知：①②③④正确，共4个， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若am＝4，an＝3，则am﹣n的值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为am＝4，an＝3， 所以． 故答案为：． 12．（3分）计算：（﹣2x+3y）（2x+3y）＝ 　9y2﹣4x2 ． 【答案】9y2﹣4x2． 【解答】解：原式＝（3y）2﹣（2x）2 ＝9y2﹣4x2． 故答案为：9y2﹣4x2． 13．（3分）若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：（x+m）（x2+2x﹣1） ＝x3+2x2﹣x+mx2+2mx﹣m ＝x3+（2+m）x2﹣（1﹣2m）x﹣m， ∵x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项， ∴2+m＝0， 解得：m＝﹣2， ∴实数m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 14．（3分）如图，AC＝BD，AF＝DE，BF＝CE，∠E＝30°，∠A＝45°，则∠ACE＝　75°　 ． 【答案】75°． 【解答】解：∵AC＝BD， ∴AC﹣BC＝BD﹣BC， 即AB＝CD， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）， ∴∠D＝∠A， ∵∠A＝45°， ∴∠D＝45°， ∵∠ACE＝∠E+∠D，∠E＝30°， ∴∠ACE＝75°． 故答案为：75°． 15．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵∠A＝∠ABE， ∴△ABE是等腰三角形， ∴AE＝BE， ∵BE⊥CD， ∴∠EDC＝∠BDC＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD， 在△EDC和△BDC中， ， ∴△EDC≌△BDC（ASA）， ∴DE＝BD，EC＝BC， ∵BD＝1，BC＝3， ∴DE＝BD＝1，EC＝BC＝3， ∴AE＝BE＝DE+BD＝2， ∴AC＝AE+EC＝5． 故答案为：5． 三．解答题（共8小题，满分55分） 16．（4分）计算： （1）4y（﹣2xy2）； （2）（x+3）（x﹣1）． 【答案】（1）﹣8xy3； （2）x2+2x﹣3． 【解答】解：（1）4y（﹣2xy2） ＝﹣2×4xy1+2 ＝﹣8xy3； （2）（x+3）（x﹣1） ＝x2﹣x+3x﹣3 ＝x2+2x﹣3． 17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）见解答； （2）11． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）S△ABC＝6×55×21×46×4＝11． 18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC延长线上，点E是△ABC外一点，连接AE、CE、AD．若∠1＝∠2，∠E＝∠D，求证：BD＝CE． 【答案】答案见解答过程． 【解答】证明：∵∠ACD＝∠1+∠B， ∴∠2+∠ACE＝∠1+∠B， ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝CE． 19．（6分）如图，已知AB＝AC，BC＝CD，∠ACB＝∠BCD，CE⊥BD．请完成下面的作图和填空． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）问的条件下，试说明BF∥CE．请将下列解题过程补充完整． 解：∵AB＝AC（已知）， ∴∠ABC＝∠ACB（①　等边对等角　 ）， ∵∠ACB＝∠BCD（已知）， ∴∠ABC＝②　∠BCD （等量代换）， ∵BF平分∠ABC（已知）， ∴③　∠ABC （角平分线的定义）， 在△BCD中，∵BC＝CD，④CE⊥BD （已知）， ∴（⑤　等腰三角形三线合一　 ）， ∴∠CBF＝∠BCE（等量代换）， ∴BF∥CE（⑥　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】（1）见解答． （2）①等边对等角；②∠BCD；③∠ABC；④CE⊥BD；⑤等腰三角形三线合一；⑥内错角相等，两直线平行． 【解答】解：（1）如图，射线BF即为所求． （2）∵AB＝AC（已知）， ∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）， ∵∠ACB＝∠BCD（已知）， ∴∠ABC＝∠BCD（等量代换）， ∵BF平分∠ABC（已知）， ∴∠ABC（角平分线的定义）， 在△BCD中，∵BC＝CD，CE⊥BD（已知）， ∴（等腰三角形三线合一）， ∴∠CBF＝∠BCE（等量代换）， ∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①等边对等角；②∠BCD；③∠ABC；④CE⊥BD；⑤等腰三角形三线合一；⑥内错角相等，两直线平行． 20．（6分）定义：多项式A化简后的项数记作M（A），例如多项式A＝x2+2x，则M（A）＝2．多项式A，B，C满足C＝A×（B+1）．如果M（A）≤M（C）≤M（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果M（A）＝M（C），则称B是A的“极好多项式”． （1）若A＝x﹣1，B＝x2+x+2均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若A＝x2+x﹣m，B＝x2+2x﹣1均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】（1）B是A的“好多项式”； （2）m＝2． 【解答】解：（1）∵C＝A×（B+1）＝（x﹣1）（x2+x+2+1）＝（x﹣1）（x2+x+3） ＝x3+x2+3x﹣x2﹣x﹣3＝x3+2x﹣3， ∴M（C）＝3， ∵M（A）＝2， ∴M（A）+1＝3， ∴M（C）＝M（A）+1， ∵M（A）≤M（C）≤M（A）+1， ∴B是A的“好多项式”； （2）∵C＝A×（B+1）＝（x2+x﹣m）（x2+2x﹣1+1）＝（x2+x﹣m）（x2+2x） ＝x4+x3﹣mx+2x3+2x2﹣2mx＝x4+3x3+（2﹣m）x2﹣2mx， 当m＝0时 M（A）＝2，M（C）＝3， ∴M（A）≠M（C）， ∴m≠0， 当m＝2时， ∵M（C）＝M（A）＝3， ∴m＝2． 21．（8分）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 　4　 ． 【答案】（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”，理由见解答； （2）作法及理由见解答； （3）4． 【解答】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线AB对称， ∴AB垂直平分DE， ∴BD＝BE， ∴∠DBA＝∠EBA， ∵∠FBM＝∠EBA， ∴∠DBA＝∠FBM， ∴点B是点D，F关于直线AB的“等角点”． （2）如图2，作法：1．以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交射线AC于点G、H； 2．连接GD，以点H为圆心，以GD长为半径作弧，交前弧于点I； 3．作射线CI交EF于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得CG＝CH＝CD＝CI，GD＝HI， 在△CDG和△CIH中， ， ∴△CDG≌△CIH（SSS）， ∴∠DCA＝∠QCN， ∴点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作OJ⊥AB于点J，OK⊥BC于点K，OL⊥AC于点L，则∠OLC＝90°， ∵点O到AC的距离为2， ∴OL＝2， ∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O， ∴OK＝OJ，OL＝OJ， ∴OK＝OL， ∴点O在∠ACB的平分线上， 连接PC，设直线l交AC于点R，交BC于点T， ∵直线l垂直平分边BC， ∴CP＝BP， ∴∠CPT＝∠BPT， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴∠OPR＝∠BPT， ∴∠CPT＝∠OPR， ∴∠CPT+∠OPT＝∠OPR+∠OPT＝180°， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴OP+BP＝OP+CP＝OC，CO平分∠ACB， ∴OP+BP的最小值为线段OC的长， ∵∠ACB＝60°， ∴∠OCL＝∠OCB∠ACB＝30°， ∴OC＝2OL＝4， ∴OP+BP的最小值为4， 故答案为：4． 22．（10分）问题背景：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC外一点，点M为BP延长线上一点，点N为线段PC上一点，AM⊥BP于点M，AN⊥CP于点N，且∠ACP＝∠ABP．直接写出图中与△ANC全等的三角形是 　△AMB ，直接写出线段PC，PM，BM之间满足的数量关系是 PC＝BM+PM ． 类比探究：（2）如图2，已知等边△ABC及△ABC外一点D，连接DA，DB，DC．若∠ADB＝60°，试判断AD，CD，BD之间满足的数量关系，并予以证明． 拓展应用：（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，点E为△ABC外一点，且∠EAB＝3∠EAC＝60°，∠EBC＝30°，求∠AEC的度数． 【答案】（1）△AMB；PC＝BM+PM； （2）BD＝AD+CD，证明见解答； （3）30°． 【解答】解：（1）∵AM⊥BP，AN⊥CP， ∴∠AMB＝∠ANC＝90°， 在△AMB和△ANC中， ， ∴△AMB≌△ANC（AAS）， ∴AM＝AN，MB＝NC， 又∵AP＝AP， ∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）， ∴MP＝NP， ∴PC＝NC+NP＝BM+PM， 故答案为：△AMB；PC＝BM+PM； （2）BD＝AD+CD，证明如下： 如图，在BD上截取DE＝AD， ∵等边△ABC， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵∠ADB＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE，∠EAD＝60°＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴CD＝BE， 又∵BD＝DE+BE， ∴BD＝AD+CD； （3）如图，延长AB至F，使AF＝AE，再在BE上取点G，使AG＝AB，连接AG，FG，FE， ∵∠EAB＝3∠EAC＝60°，∠EBC＝30°， ∴△AFE为等边三角形， ∴AF＝EF＝AE，∠AFE＝60°， ∴∠ABG＝∠AGB＝80°，∠BAG＝∠EAC＝20°，∠GAE＝∠GEA＝40°， ∴AG＝EG， ∵AF＝EF，AG＝EG，FG＝FG， ∴△FAG≌△FEG（SSS）， ∴∠AFG＝∠EFG＝30°， ∵AF＝AE，∠BAG＝∠EAC，AG＝AB＝AC， ∴△AFG≌△AEC（SAS）， ∴∠AFG＝∠AEC， ∴∠AEC＝30°． 23．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝ AE ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标是（0，5），点B（5，0），C（﹣2，0），AC⊥CD且AC＝CD，连接BD．求∠CBD的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点E坐标为（0，﹣3），点F在直线BD上，点G在x轴上，当△EFG为等腰直角三角形时，请直接写出点G的坐标． 【答案】（1）DE；AE； （2）∠CBD＝45°； （3）点G的坐标为（﹣5，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（2，0）． 【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS） ∴AC＝DE，BC＝AE， 故答案为：DE；AE； （2）如图2，过点D作DH⊥CB于点H， ∴∠DHC＝∠DHB＝90°， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ACO+∠DCH＝90°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠OAC＝∠DCH， 在△ACO和△CDH中， ， ∴△ACO≌△CDH（AAS）， ∴OC＝DH，OA＝CH， ∵A（0，5），B（5，0），C（﹣2，0）， ∴OA＝OB＝5，OC＝2， ∴CH＝OA＝5，DH＝OC＝2， ∴OH＝CH﹣OC＝3， ∴BH＝OB﹣OH＝2， ∴DH＝BH， ∴∠HDB＝∠HBD， ∵∠DHB＝90°， ∴∠HDB＝∠HBD＝45°， 即∠CBD＝45°； （3）分三种情况： ①当∠EGF＝90°时，如图3，过点F作FM⊥x轴于M， ∵∠OBD＝45°，∠BMF＝90°， ∴△BMF是等腰直角三角形， ∴BM＝FM， 同理得：△OEG≌△MGF， ∴OG＝FM＝BM，OE＝MG＝3， ∴OB＝5＝2OG+MG， ∴OG＝1， ∴G（1，0）； ②当∠GEF＝90°时，如图4，过点F作FP⊥y轴于P， ∵∠OBN＝∠ONB＝45°， ∴OB＝ON＝5 同理得：△GOE≌△EPF ∴PF＝OE＝3＝PN，OG＝PE， ∴OP＝5﹣3＝2 ∴PE＝OG＝3﹣2＝1， ∴G（﹣1，0）； 同理：如图5，OE＝PF＝PN＝3，EN＝ON﹣OE＝5﹣3＝2， ∴PE＝OG＝3+2＝5， ∴G（﹣5，0）； ③当∠EFG＝90°时，如图6，过点F作QH⊥x轴于Q，过点E作EH⊥QH于H， 同理得：△EHF≌△FQG， ∴EH＝FQ＝BQ＝OQ，QG＝FH， ∴2OQ＝5， ∴OQ＝2.5， ∴FQ＝2.5， ∵OE＝HQ＝3， ∴FH＝GQ＝3﹣2.5＝0.5， ∴OG＝OQ﹣GQ＝2.5﹣0.5＝2， ∴G（2，0）． 综上，点G的坐标为（﹣5，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（2，0）． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $