2025-2026学年上学期人教版初中数学八年级期中模拟卷3-2

绝密★启用前 2025-2026学年初中8年级上期中模拟卷3-2（新人教版） 考试范围：第13章~第16章 考试分值：100；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 3．（3分）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 4．（3分）如图，两个三角形．若这两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则∠1的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．（3分）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．（3分）若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．12或9 D．11 7．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝56°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠BCF的度数是（　　） A．52° B．34° C．25° D．16° 9．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（　　） A．七 B．八 C．九 D．十 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 　 　 ． 12．（3分）一个零件的形状如图所示，按设计∠A等于90°，∠B，∠D分别是20°和30°．现有一该产品请你检验，若你量得∠BCD不等于　 　 °时，可断定这个零件不合格． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于y轴对称后的点的坐标为 　 　 ． 14．（3分）已知10x＝3，10y＝2，求10x﹣2y的值为 　 　 ． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（a，b）（a＞2，b＞2），AC⊥AB，且AC＝AB，则点C坐标为 　 　 ． 16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分52分） 17．（6分）化简： （1）（x+5）2﹣（x﹣2）（x﹣3）； （2）； （3）a2（a+1）2﹣2（a2﹣2a+4）． 18．（4分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 19．（4分）在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上． （1）把△AOB向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△AOB关于x轴对称的△A2OB2，并求出△A2OB2的面积． 20．（4分）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，求线段BF的长度． 21．（6分）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　 　 ， 方法2：　 　 ； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　 　 ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 22．（6分）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，BE平分∠DBC． （1）求证：△DBE≌△CBE； （2）求∠BDE的度数； （3）若∠ABE＝45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由． 23．（10分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为10＝32+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y）是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”　 　 ；并判断40是否为“完全数”　 　 ； （2）若二次三项式x2﹣4x+8（x是整数）是“完全数”，可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为常数），则mn的值为 　 　 ； 探究问题： （1）已知“完全数”x2+y2﹣4x+2y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 　 　 ； （2）已知S＝x2+4y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣2＝0，求x+y的最小值是 　 　 ． 24．（12分）如图1，点C（8，0）在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若AC＝10，求点B的坐标； （2）点E为AC上一点，且DE＝BD，如图2，求BC+EC的长； （3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH，GH，OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中8年级上期中模拟卷3-2（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A B B C B A C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：盛，世，太不是轴对称图形，平是轴对称图形， 故选：D． 2．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 【答案】C 【解答】解：A、a2与a4不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； B、a3•a3＝a3+3＝a6，原选项计算错误，不符合题意； C、（a3）2＝a6，原选项计算正确，符合题意； D、（﹣2xy）3＝﹣8x3y3，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（3分）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【解答】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a＞b， ∴m+n＞b， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 4．（3分）如图，两个三角形．若这两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则∠1的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【解答】解：由题意得，∠2＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∵图中两个三角形全等， ∴∠1＝∠2＝40°． 故选：A． 5．（3分）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：如图，连接AB、CD， 在△ABO和△DCO中，， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， ∴AB＝CD． 故选：B． 6．（3分）若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．12或9 D．11 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时， ∵2+2＝4＜5， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时， ∴这个等腰三角形的周长＝5+5+2＝12； 综上所述：这个等腰三角形的周长为12， 故选：B． 7．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝56°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠BCF的度数是（　　） A．52° B．34° C．25° D．16° 【答案】B 【解答】解：由作图知CF⊥AB于点F， ∴∠CFB＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°． 故选：B． 9．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（　　） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】A 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意得，（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°， 解得n＝7， 故选：A． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 【答案】C 【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠ABE＝∠MEB，∠NEC＝∠ACE， ∴MB＝ME，NE＝NC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+5＝8， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 　810076　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这串数字应为 810076， 故答案为：810076． 12．（3分）一个零件的形状如图所示，按设计∠A等于90°，∠B，∠D分别是20°和30°．现有一该产品请你检验，若你量得∠BCD不等于　140　 °时，可断定这个零件不合格． 【答案】140． 【解答】解：连接AC，并延长至点E，如图所示． ∵∠DCE是△ACD的外角，∠BCE是△ABC的外角， ∴∠DCE＝∠D+∠DAC，∠BCE＝∠B+∠BAC， ∴∠BCD＝∠BCE+∠ECE ＝∠B+∠BAC+∠DAC+∠D ＝∠B+∠BAD+∠D， 又∵∠BAD＝90°，∠B＝20°，∠D＝30°， ∴∠BCD＝20°+90°+30°＝140°， ∴若量得∠BCD不等于140°时，可断定这个零件不合格． 故答案为：140． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于y轴对称后的点的坐标为 　（2，3）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：点A（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）， 故答案为：（2，3）． 14．（3分）已知10x＝3，10y＝2，求10x﹣2y的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵10x＝3，10y＝2， ∴10x﹣2y， 故答案为：． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（a，b）（a＞2，b＞2），AC⊥AB，且AC＝AB，则点C坐标为 　（2﹣b，a﹣2）　 ． 【答案】（2﹣b，a﹣2）． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于F， ∴∠AFC＝∠AEB＝90°＝∠BAC， ∴∠CAF+∠BAE＝90°＝∠CAF+∠ACF， ∴∠ACF＝∠BAE， 在△ACF和△BAE中， ， ∴△ACF≌△BAE（AAS）， ∴CF＝AE，AF＝BE， ∵点A（2，0），B（a，b）， ∴BE＝AF＝b，AO＝2，AE＝a﹣2， ∴OF＝b﹣2， ∴点C坐标为（2﹣b，a﹣2）， 故答案为：（2﹣b，a﹣2）． 16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是 　1331　 ． 【答案】1331． 【解答】解：连接AD交MN于点E，连接BE， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DE+AE≥BD+AD， 当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小， ∵腰△ABC的底边长为6，面积是24， ∴6×AD＝24， ∴AD＝8， ∴BD+AD6+8＝11， ∴△BDE的周长最小值为11， ∴a＝11， [2a3•a5+（3a4）2]÷a6 ＝（2a8+9a8）÷a6 ＝11a8÷a6 ＝11a2， 当a＝11时，原式＝1331， 故答案为：1331． 三．解答题（共8小题，满分52分） 17．（6分）化简： （1）（x+5）2﹣（x﹣2）（x﹣3）； （2）； （3）a2（a+1）2﹣2（a2﹣2a+4）． 【答案】（1）15x+19； （2）mm2n2； （3）a4+2a3﹣a2+4a﹣8． 【解答】解：（1）（x+5）2﹣（x﹣2）（x﹣3） ＝x2+10x+25﹣（x2﹣3x﹣2x+6） ＝x2+10x+25﹣x2+3x+2x﹣6 ＝15x+19； （2） mn2÷（n2）﹣m2n2÷（n2）n4÷（n2） mm2n2； （3）a2（a+1）2﹣2（a2﹣2a+4） ＝a2（a2+2a+1）﹣2a2+4a﹣8 ＝a4+2a3+a2﹣2a2+4a﹣8 ＝a4+2a3﹣a2+4a﹣8． 18．（4分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 【答案】4x2+3y2，16． 【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y） 原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy ＝4x2+3y2， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝4×（﹣1）2+3×22 ＝4+12 ＝16． 19．（4分）在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上． （1）把△AOB向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△AOB关于x轴对称的△A2OB2，并求出△A2OB2的面积． 【答案】（1）画图见解答；点A1的坐标为（﹣3，5）． （2）画图见解答；． 【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求． 点A1的坐标为（﹣3，5）． （2）如图，△A2OB2即为所求． △A2OB2的面积为3×3． 20．（4分）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，求线段BF的长度． 【答案】3． 【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，∠BAC＝45°， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵AD＝5， ∴BD＝5， ∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△ADF与△BDC中， ， ∴△ADF≌△BDC（ASA）， ∴DF＝CD， ∵CD＝2， ∴DF＝2， ∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3． 21．（6分）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　（a+b）2 ， 方法2：a2+b2+2ab ； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab； （2）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （3）①∵a+b＝7，a2+b2＝33，且 （a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴49＝33+2ab， 解得：ab＝8； ②设2023﹣a＝m，a﹣2021＝n，可得 m2+n2＝8，m+n＝2023﹣a+a﹣2021＝2， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn，即4＝8+2mn， 解得：mn＝﹣2， 则（2023﹣a）（a﹣2021）的值为﹣2． 22．（6分）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，BE平分∠DBC． （1）求证：△DBE≌△CBE； （2）求∠BDE的度数； （3）若∠ABE＝45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）30°； （3）AC⊥BD，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵三角形ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， ∵BD＝AC， ∴BD＝BC， ∵BE平分∠DBC， ∴∠CBE＝∠DBE， 在△CBE和△DBE中， ， ∴△CBE≌△DBE（SAS）； （2）解：∵三角形ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 在△CBE和△CAE中， ， ∴△CBE≌△CAE（SSS）， ∴∠BCE＝∠ACE， ∵∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°， ∴∠BCE＝∠ACE∠ACB＝30°， 由（1）得，△CBE≌△DBE， ∴∠BDE＝∠BCE＝30°； （3）解：AC⊥BD， 理由如下： 由（1）得，△CBE≌△DBE， ∴∠DBE＝∠CBE， 由（2）得，△CBE≌△CAE， ∴∠CAE＝∠CBE， ∴∠CAE＝∠DBE， ∵BE＝AE，∠ABE＝45°， ∴∠ABE＝∠BAE＝45°， 如图，令AC、BD交于点F， ， 则∠ABF+∠BAF ＝∠ABF+∠BAE+∠EAC ＝∠ABF+∠BAE+∠DBE ＝∠ABE+∠BAE ＝45°+45° ＝90°， ∵∠ABF+∠BAF+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝90°， ∴AC⊥BD． 23．（10分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为10＝32+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y）是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”　4（答案不唯一）　 ；并判断40是否为“完全数”　是　 ； （2）若二次三项式x2﹣4x+8（x是整数）是“完全数”，可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为常数），则mn的值为 　±4　 ； 探究问题： （1）已知“完全数”x2+y2﹣4x+2y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 　1　 ； （2）已知S＝x2+4y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣2＝0，求x+y的最小值是 　1　 ． 【答案】解决问题：（1）4（答案不唯一），是；（2）±4； 探究问题：（1）1；（2）k＝10； 拓展结论：x+y的最小值为1． 【解答】解：解决问题： （1）4是“完全数”，理由：因为＝22+02； 40是“完全数”，理由：因为40＝62+22； 故答案为：4（答案不唯一），是； （2）∵x2﹣4x+8＝（x﹣m）2+n2（m，n为常数）， ∴x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4， ∴m＝2，n＝±2， ∴mn＝±4， 故答案为：±4； 探究问题： （1）∵x2+y2﹣4x+2y+5＝（x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x+y＝2﹣1＝1． 故答案为：1； （2）S＝x2+4y2+2x﹣12y+k＝（x+1）2+（2y﹣3）2+k﹣10， 由题意得：k﹣10＝0， ∴k＝10； 拓展结论：﹣x2+3x+y﹣2＝0， ∴y＝x2﹣3x+2， ∴x+y ＝x+x2﹣3x+2 ＝（x﹣1）2+1≥1； ∴当x＝1时，x+y的最小值为1． 故答案为：1． 24．（12分）如图1，点C（8，0）在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若AC＝10，求点B的坐标； （2）点E为AC上一点，且DE＝BD，如图2，求BC+EC的长； （3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH，GH，OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1）点B的坐标为（﹣2，0）； （2）16； （3）GH＝FH+OG，证明见解析． 【解答】解：（1）∵点C（8，0）， ∴OC＝8， ∵把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处， ∴AC＝BC＝10， ∴OB＝BC﹣OC＝2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）； （2）∵把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处， ∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD， ∵DE＝BD， ∴BD＝AD＝DE， 过D作DN⊥AC于N点，如图2， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴DO＝DN， 在Rt△BDO和Rt△EDN中， ， ∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL）， ∴BO＝EN； 在Rt△DOC和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DOC≌Rt△DNC（HL）， ∴OC＝NC， ∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝16； （3）GH＝FH+OG，证明如下： 由（2）知：DF＝DO， 在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如图3， 在△DFH和△DOM中， ， ∴△DFH≌△DOM（SAS）， ∴DH＝DM，∠1＝∠ODM， ∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH， ∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM， 在△HDG和△MDG中， ， ∴△HDG≌△MDG（SAS）， ∴MG＝GH， ∴GH＝OM+OG＝FH+OG． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $