2025-2026学年上学期人教版初中数学八年级期中模拟卷3-1

绝密★启用前 2025-2026学年初中8年级上期中模拟卷3-1（新人教版） 考试范围：第13章~第15章 考试分值：100；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高． 上述说法中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，则添加下列条件后，仍不能证明△ABD≌△ACE的是（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 5．（3分）如图，△ACE≌△DBF，AE∥DF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（　　） A．2 B．8 C．9 D．10 6．（3分）如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝7，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5） 8．（3分）三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 9．（3分）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（　　）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 10．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，AD是高，用尺规作图的方法作出△ABC的内心O，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 12．（3分）已知：如图，△ABC中，点D是AB边上一点，∠BDC＝90°，BD＝CD，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，若DH⊥BC于H，交BE于点G．有以下结论：①BF＝AC；②∠ECF＝30°；③若连接AF，则AF∥DH；④点G是BE的中点；⑤△ABE与△CBE成轴对称．以上五个结论中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　 　 cm2． 14．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　 　 ． 15．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 　 　 ． 16．（3分）小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是 　 　 ． 17．（3分）如图，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A＝　 　 度． 18．（3分）如图，对△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…； 按此规律继续下去，可得到△A6B6C6，若S6＝a，则S△ABC＝ 　 　 ．（结果用含a的代数式表示） 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分46分） 19．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若DC＝5，AB＝16，求△ABD的面积． 20．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知C（0，6），D（a，6）（a＞0），A，B在x轴上，∠ACB+∠BED＝180°，求证：∠1＝∠D． 21．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF． 22．（6分）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 23．（6分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE， （1）求证：DE∥AC； （2）若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 24．（10分）如图：△ABC是边长为8cm的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A以2cm/s速度向点C运动（P与点A、C不重合），同时，点Q以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），当点P到达点C时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D． （1）AP＝ 　 　 cm，QC＝ 　 　 cm．（用含t的式子表示） （2）点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由． 25．（12分）在△ABC中，AC＝BC，点D，E是边BC上的两点． （1）如图1，若∠B＝60°，点N在AB边上，点F在AC的延长线上，且BN＝CF，连接NF交BC于点E，过点N作ND∥AF交BC于点D，AC＝4，CF＝1，求CE的值； （2）如图2，若∠B＝60°，点F在AC的延长线上，连接DF，AD，AE，且AD＝FD，∠CAE＝∠CDF，求证：CE＝CF； （3）如图3，连接AD，AE，若AD⊥BC，且BD：CD＝1：4，AE平分∠BAC，BD＝2，△ABC的面积为30，点M，N分别是线段AB，AE上的动点，连接MN，DN，直接写出MN+DN的最小值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中8年级上期中模拟卷3-1（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D C B C D D B C B 题号 12 答案 A 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高． 上述说法中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确； ②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确； ③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确． 综上所述，正确的是①②③④共4个． 故选：D． 3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，则添加下列条件后，仍不能证明△ABD≌△ACE的是（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE 【答案】D 【解答】解：A．∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），故本选项不符合题意； B．∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），故本选项不符合题意； C．∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠ADB+∠ADE＝180°，∠AEC+∠AED＝180°， ∴∠ADB＝∠AEC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），故本选项不符合题意； D．∵∠BAD＝∠CAE，BD＝CE，不能推出△ABD≌△ACE，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠ACP＝∠DCP∠ACD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠PBC∠ACB，∠DCP（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB， ∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°， ∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP， 25°∠ACB＝90°∠ACB， 解得：∠ACB＝65°． 故选：C． 5．（3分）如图，△ACE≌△DBF，AE∥DF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（　　） A．2 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：由图形可知，AC＝AB+BC＝3+2＝5， ∵△ACE≌△DBF， ∴BD＝AC＝5， ∴CD＝BD﹣BC＝3， ∴AD＝AC+CD＝5+3＝8， 故选：B． 6．（3分）如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝7，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：连接CF交AD于点E，连接BE， ∵△ABC是等边三角形，AD是高， ∴BE＝CE， ∴BE+EF＝CE+EF≥CF，此时BE+EF的值最小， ∵F是AB边上的中点， ∴CF＝AD， ∵AD＝7， ∴CF＝7， ∴EB+EF的最小值是7， 故选：C． 7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5） 【答案】D 【解答】解：∵关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数 ∴点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：D． 8．（3分）三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【答案】D 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜4﹣2a＜5+3， ∴2＜4﹣2a＜8， ∴﹣2＜a＜1． 故选：D． 9．（3分）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（　　）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【解答】解：∵图中标有1、2、3、4的四块中，1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素， ∴不能带它们去， ∴A、C、D不符合题意， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件， ∴B选项符合题意， 故选：B． 10．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，AD是高，用尺规作图的方法作出△ABC的内心O，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD是△ABC的高， ∴AD是∠BAC的角平分线． 由C选项的作图痕迹可知，所作为∠ACB的平分线， 则点O为△ABC的内心， 故C选项作图正确，符合题意． 故选：C． 11．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：B． 12．（3分）已知：如图，△ABC中，点D是AB边上一点，∠BDC＝90°，BD＝CD，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，若DH⊥BC于H，交BE于点G．有以下结论：①BF＝AC；②∠ECF＝30°；③若连接AF，则AF∥DH；④点G是BE的中点；⑤△ABE与△CBE成轴对称．以上五个结论中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∠ADC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°， 又∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠DBF＝∠DCA， 在△BDF和△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（ASA）， 故①正确； ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠ECF＝22.5°； 故②错误； 连接AF，CG，如图， ∵△BDF≌△CDA， ∴AD＝DF， ∴∠AFD＝45° ∵DH⊥BC，BD＝CD， ∴DH垂直平分BC，， ∴BG＝CG，AF∥DH， 故③正确； 在Rt△CGE中，CG＞EG， ∴BG＞EG， 故④错误； ∵BE⊥AC，BE平分∠ABC， ∴∠BEC＝∠AEB，∠ABE＝∠CBE， 在△AEB和△CEB中， ， ∴△AEB≌△CEB（ASA）， ∴AE＝CE， ∴BE垂直平分AC， ∴△ABE与△CBE成轴对称， 故⑤正确； 综上所述，以上五个结论中正确的是①③⑤， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝　1　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点， ∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，BF是△BCE的中线， ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC＝2（cm2）， ∵点E是AD的中点， ∴cm2，cm2， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝1+1＝2cm2， ∵点F是CE的中点， ∴． ∴． 故答案为：1． 14．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　36°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线， ∴PA＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC， ∵∠BAC＝108°， ∴∠B+∠C＝72°， ∴∠PAB+∠QAC＝72°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC） ＝108°﹣72° ＝36°， 故答案为：36°． 15．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 　17　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17． 故答案为：17． 16．（3分）小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是 　132°　 ． 【答案】132°． 【解答】解：如图所示： ∵正五边形的内角度数为：（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠2＝108°， ∵正六边形的内角度数为：（6﹣2）×180°＝120°， ∴∠3＝120°， ∵∠1+∠2+∠3＝360°， ∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣108﹣120＝132°． 故答案为：132°． 17．（3分）如图，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A＝　15　 度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF， ∴∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD， ∴∠EFD＝4∠A， ∵∠1＝∠EFD+∠A＝5∠A＝75°， ∴∠A＝15°． 故答案为：15． 18．（3分）如图，对△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…； 按此规律继续下去，可得到△A6B6C6，若S6＝a，则S△ABC＝ 　　 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】． 【解答】解：连接A1C，B1A，C1B， 设S△ABC＝s， ∵A1B＝2AB， ∴AA1＝3AB， 由题意可得：， ∴， ∵C1A＝2CA，△AA1C中AC边上的高，与△A1AC1中C1A边上的高相同， ∴， 同理可得，，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵S6＝a， ∴196s＝a， 解得． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分46分） 19．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若DC＝5，AB＝16，求△ABD的面积． 【答案】40． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝DC＝5， ∵AB＝16， ∴△ABD的面积AB•DH16×5＝40． 20．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知C（0，6），D（a，6）（a＞0），A，B在x轴上，∠ACB+∠BED＝180°，求证：∠1＝∠D． 【答案】见解析． 【解答】证明：延长DE，交AB边于点F， ∵C（0，6）、D（a，6）（a＞0）， ∴CD∥x轴，即CD∥AB， ∴∠D＝∠DFB， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DE， ∴∠1＝∠DFB， ∴∠1＝∠D． 21．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°， ∴∠AFB＝∠BED， ∵∠AEF＝∠BED， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝AF． 22．（6分）如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求． （2）如图②，取CD的中点E，作直线BE， 则直线BE即为所求． （3）如图③，点P即为所求． 23．（6分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE， （1）求证：DE∥AC； （2）若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）△AEF是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）解：△AEF是等边三角形， 理由：∵EF是AD的垂直平分线， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， ∵AO＝AO，∠EAD＝∠CAD， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴AE＝AF， ∵AE＝DE，DE＝EF， ∴AE＝EF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形． 24．（10分）如图：△ABC是边长为8cm的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A以2cm/s速度向点C运动（P与点A、C不重合），同时，点Q以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），当点P到达点C时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D． （1）AP＝ t cm，QC＝ 　（t+8）　 cm．（用含t的式子表示） （2）点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）t，（t+8）； （2）线段ED的长不变，线段ED的长为4cm． 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为8cm的等边三角形， ∴BC＝8cm， ∵点P、点Q同时开始运动，且速度都是2cm/s，运动时间为ts， ∴AP＝BQ＝1×t＝t（cm）， ∴QC＝（t+8）cm， 故答案为：t，（t+8）． （2）线段ED的长不变， 作PF∥BC交AB于点F，则∠PFD＝∠QBD，∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°， ∵∠A＝60°， ∴△AFP是等边三角形， ∴FP＝AP＝BQ， ∵PE⊥AB于点E， ∴FE＝AEAF， 在△PDF和△QDB中， ， ∴△PDF≌△QDB（AAS）， ∴FD＝BDBF， ∴ED＝FE+FDAFBFAB＝4cm， ∴线段ED的长不变，线段ED的长为4cm． 25．（12分）在△ABC中，AC＝BC，点D，E是边BC上的两点． （1）如图1，若∠B＝60°，点N在AB边上，点F在AC的延长线上，且BN＝CF，连接NF交BC于点E，过点N作ND∥AF交BC于点D，AC＝4，CF＝1，求CE的值； （2）如图2，若∠B＝60°，点F在AC的延长线上，连接DF，AD，AE，且AD＝FD，∠CAE＝∠CDF，求证：CE＝CF； （3）如图3，连接AD，AE，若AD⊥BC，且BD：CD＝1：4，AE平分∠BAC，BD＝2，△ABC的面积为30，点M，N分别是线段AB，AE上的动点，连接MN，DN，直接写出MN+DN的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝4， ∵ND∥AF， ∴∠DNE＝∠F，∠NDB＝∠ACB＝60°， ∵∠B＝60°， ∴△BND是等边三角形， ∴BD＝ND＝BN＝CF＝1， ∴DC＝BC﹣BD＝3， 在△NED和△FEC中， ， ∴△DEN≌△CEF（AAS）， ∴； （2）∵AC＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠B＝60°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CDF+∠F＝60°， ∵AD＝FD， ∴∠DAC＝∠F， ∴∠BAD＝∠CDF， ∵∠CAE＝∠CDF， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴BD＝CE，AD＝AE＝DF， 如图，过点E作EG∥AB，交AC于点G， ∴∠GEC＝∠B＝60°， ∴∠GEC＝∠ACB＝60°， ∴△GEC是等边三角形， ∴CG＝EG＝CE＝BD， ∴AC﹣CG＝BC﹣BD， 即AG＝CD， 在△DCF和△AGE中， ， ∴△AGE≌△CDF（SAS）， ∴CF＝EG， ∴CE＝CF； （3）∵BD：CD＝1：4，S△ABC＝30， ∴， ∵BD＝2， ∴AC＝BC＝5BD＝10， 如图，过点D作DH⊥AC于点H，交AE于点N，过点N作NM⊥AB于点M， ∵AE平分∠BAC， ∴MN＝HN， ∴MN+DN＝HN+DN＝DH， ∴， ∴， ∴MN+DN的最小值为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $