2025-2026学年上学期人教版初中数学七年级期中模拟卷3-2

绝密★启用前 2025-2026学年初中7年级上期中模拟卷3-2（新人教版） 考试范围：第1章~第4章 考试分值：100；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分28分） 1．（3分）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 2．（3分）2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　） A．12.5×1010 B．1.25×1011 C．1.25×1012 D．0.125×1012 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣2﹣1＝﹣1 B．﹣14＝1 C． D． 4．（3分）若x和y成反比例关系，当x的值分别为2，4时，y的值如表所示，则表中a的值是（　　） x 2 4 y a 3 A．2 B．4 C．6 D． 5．（3分）如图，在单位长度为1的数轴上，若点A、点B到原点的距离相等，则点C表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．（3分）关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣3xy3+1，下列说法错误的是（　　） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为﹣3xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1 D．四次项的系数是3 7．（3分）买一个足球需要a元，买一个篮球需要b元，则买7个足球和3个篮球共需要（　　） A．21ab元 B．（7a+3b）元 C．（3a+7b）元 D．10ab元 8．（3分）已知a2﹣5a﹣4＝0，则代数式2a2﹣10a﹣3的值是（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 9．（2分）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣3|c﹣a|＝（　　） A．﹣3c B．a﹣3c C．﹣2a﹣2b﹣3c D．﹣4a+3c 10．（2分）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论： ①﹣5x3y3是“等次单项式”； ②“等次单项式”的次数可能是奇数； ③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”； ④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50m，记作+50m，则﹣30m的实际意义是 　 　 ． 12．（3分）写出一个比﹣3大的负有理数 　 　 ． 13．（3分）我国数学家祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，则将数据3.1415926精确到千分位是 　 　 ． 14．（3分）一个整式减去2b2﹣3a2所得的差是2a2﹣b2﹣2ab，则这个整式是 　 　 ．（结果按a的降幂排列） 15．（3分）若有理数m、n满足|m|+（2﹣n）4＝0，则m﹣n＝ 　 　 ． 16．（3分）A、B、C、D、E是圆上的5个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 ◇任意两点之间至多有一条线段； ◇任意三点之间至多有两条线段． 如图，已连接线段AB，BC、CD，DE． （1）若想增加一条新的线段，共有 　 　 种连线方式； （2）至多可以增加 　 　 条线段． 评卷人 得 分 三．解答题（共10小题，满分54分） 17．（4分）（1）在如图所示的数轴上表示下列各数：0，3，1.5，﹣4，1，； （2）按从小到大的顺序用“＜”号把（1）中的这些数连接起来． 18．（12分）计算： （1）2﹣（﹣1）+（﹣6）； （2）﹣12×4÷（﹣2）； （3）； （4）． 19．（4分）化简： （1）3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b； （2）． 20．（4分）已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 21．（4分）某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： （1）用含x，y的代数式表示阴影面积； （2）图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为100元，若x＝6，y＝4，则铺地砖的总费用为多少元？ 22．（5分）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50千米为标准，多于50千米的记为“+”，不足50千米的记为“﹣”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ （2）已知汽油车每行驶100千米需用汽油7升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量为20度，每度电为0.8元，求小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 23．（5分）如图，小红用长为120cm，宽为30cm的宣纸书写了一副毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了acm，宽左右各增加了acm． （1）装裱后的书法作品的长是 　 　 cm，宽为 　 　 cm（用含a的代数式表示）； （2）求装裱后的书法作品的面积是多少cm2（结果用含a多项式表示）； （3）若a＝2cm计算装裱后的书法作品增加的面积． 24．（5分）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为AB＝|a﹣b|．例如：7与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为|7﹣（﹣1）|＝8，|x﹣6|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． （1）请根据阅读材料填空：点P、A之间的距离PA＝　 　 （用含x的式子表示）；若该距离为4，则x＝　 　 ． （2）根据几何意义，解决下列问题： ①若点P在线段AB上，则|x+1|+|x﹣2|＝　 　 ． ②若|x+1|+|x﹣2|＝5，求点P表示的有理数x． 25．（5分）观察下面的一列数：，，，． （1）尝试：；a3﹣a2＝　 　 ；a4﹣a3＝　 　 ． （2）归纳：an+1﹣an＝　 　 ． （3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 26．（6分）给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝aA+bB；对正整数n（n≥2）和整式A，定义新运算“⊗”：n⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．特别地，1⊗A＝A． 例如，当a＝1，b＝2时，若A＝x，B＝﹣y，则A⊕B＝A+2B＝x﹣2y，2⊗A＝A⊕A＝3x． （1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝ 　 　 ，3⊗A＝ 　 　 ； （2）写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，并说明理由； （3）当a＝2，b＝1时，若A＝3x2+7xy，B＝2x2﹣30xy﹣y2，p，q是正整数，令P＝p⊗A，Q＝q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中7年级上期中模拟卷3-2（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C D B A B B 一．选择题（共10小题，满分28分） 1．（3分）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】A 【解答】解：﹣2025的相反数是2025． 故选：A． 2．（3分）2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　） A．12.5×1010 B．1.25×1011 C．1.25×1012 D．0.125×1012 【答案】B 【解答】解：1250亿＝125000000000＝1.25×1011． 故选：B． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣2﹣1＝﹣1 B．﹣14＝1 C． D． 【答案】D 【解答】解：A、﹣2﹣1＝﹣3，故A不符合题意； B、﹣14＝﹣1，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、5÷（）＝﹣10，故D符合题意； 故选：D． 4．（3分）若x和y成反比例关系，当x的值分别为2，4时，y的值如表所示，则表中a的值是（　　） x 2 4 y a 3 A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【解答】解：∵x和y成反比例关系， ∴2a＝4×3， ∴a＝6． 故选：C． 5．（3分）如图，在单位长度为1的数轴上，若点A、点B到原点的距离相等，则点C表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：因为点A、点B到原点的距离相等，点A、点B间的距离为8， 所以点A、点B分别表示﹣4、4，原点的位置如图O， 所以点C表示的数是1． 故选：C． 6．（3分）关于多项式0.3x2y﹣2x3y2﹣3xy3+1，下列说法错误的是（　　） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为﹣3xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1 D．四次项的系数是3 【答案】D 【解答】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意； B、常数项是1，故此项不符合题意； C、按y降幂排列为﹣3xy3﹣2x3y2+0.3x2y+1，故此不项符合题意； D、四次项的系数是﹣3，故此项符合题意； 故选：D． 7．（3分）买一个足球需要a元，买一个篮球需要b元，则买7个足球和3个篮球共需要（　　） A．21ab元 B．（7a+3b）元 C．（3a+7b）元 D．10ab元 【答案】B 【解答】解：由题意可得， 买7个足球、3个篮球共需要：（7a+3b）元， 故选：B． 8．（3分）已知a2﹣5a﹣4＝0，则代数式2a2﹣10a﹣3的值是（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 【答案】A 【解答】解：∵a2﹣5a﹣4＝0， ∴a2﹣5a＝4， ∴当a2﹣5a＝4时，原式＝2（a2﹣5a）﹣3＝2×4﹣3＝5． 故选：A． 9．（2分）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣3|c﹣a|＝（　　） A．﹣3c B．a﹣3c C．﹣2a﹣2b﹣3c D．﹣4a+3c 【答案】B 【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c， ∴a﹣b＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 则原式＝b﹣a﹣a﹣b﹣3c+3a＝a﹣3c， 故选：B． 10．（2分）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论： ①﹣5x3y3是“等次单项式”； ②“等次单项式”的次数可能是奇数； ③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”； ④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【解答】解：单项式中x的指数与y的指数是相等的正整数，是“等次单项式”；故①正确，符合题意； “等次单项式”的次数必为偶数，不可能是奇数；故②错误，不符合题意； 两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”，可能为0，故③错误，不符合题意； 若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则x，y的最大为4，则它们中必有同类项．故④正确，符合题意； 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50m，记作+50m，则﹣30m的实际意义是 　水位下降30m ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50m，记作+50m，则﹣30m的实际意义是水位下降30m． 故答案为：水位下降30m． 12．（3分）写出一个比﹣3大的负有理数 　﹣1（答案不唯一）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，而1＜3， ∴﹣1＞﹣3， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 13．（3分）我国数学家祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，则将数据3.1415926精确到千分位是 　3.142　 ． 【答案】3.142． 【解答】解：3.1415926精确到千分位是3.142， 故答案为：3.142． 14．（3分）一个整式减去2b2﹣3a2所得的差是2a2﹣b2﹣2ab，则这个整式是 　﹣a2+b2﹣2ab ．（结果按a的降幂排列） 【答案】﹣a2+b2﹣2ab． 【解答】解：（2a2﹣b2﹣2ab）+（2b2﹣3a2） ＝2a2﹣b2﹣2ab+2b2﹣3a2 ＝﹣a2+b2﹣2ab， 故答案为：﹣a2+b2﹣2ab． 15．（3分）若有理数m、n满足|m|+（2﹣n）4＝0，则m﹣n＝ 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵|m|+（2﹣n）4＝0， ∴m＝0，2﹣n＝0， ∴m＝0，n＝2， ∴m﹣n＝0﹣2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 16．（3分）A、B、C、D、E是圆上的5个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 ◇任意两点之间至多有一条线段； ◇任意三点之间至多有两条线段． 如图，已连接线段AB，BC、CD，DE． （1）若想增加一条新的线段，共有 　3　 种连线方式； （2）至多可以增加 　2　 条线段． 【答案】（1）3；（2）2． 【解答】解：（1）∵A、B两点之间已有一条线段，A、B、C之间已有两条线段， ∴A、C不可以连接， ∴A可与D、E各连接一条线段， ∵B、C、D之间已有两条线段， ∴B还可以与E连接一条线段， ∵C、D、E之间已有两条线段， ∴C不能再与其他点连接，而D与E已连接， ∴D也不可再连接，E为最后一个点，也没有可连接的点， ∴共2+1＝3（种）， 故答案为：3； （2）①若连接AD，则A、D、E之间已有两条线段， ∴A、E不可再连接，B、E可以连接， ∴可以连接AD，BE，共2条； ②若连接AE，则A、D、E之间已有两条线段， ∴A、D不可再连接， ∵A、B、E之间已有两条线段， ∴B、E不可再连接， ∴可以连接AE，共1条； ③若连接BE，则同①还可以连接A、D，则A、E不可连接， ∴可以连接AD，BE，共2条； 综上所述，最多可以增加2条线段， 故答案为：2． 三．解答题（共10小题，满分54分） 17．（4分）（1）在如图所示的数轴上表示下列各数：0，3，1.5，﹣4，1，； （2）按从小到大的顺序用“＜”号把（1）中的这些数连接起来． 【答案】（1）在数轴上表示见解析； （2）． 【解答】解：（1）在数轴上表示如图： （2）根据数轴特点可知， ． 18．（12分）计算： （1）2﹣（﹣1）+（﹣6）； （2）﹣12×4÷（﹣2）； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣3；（2）24；（3）﹣7；（4）﹣9． 【解答】解：（1）原式＝2+1﹣6 ＝﹣3； （2）原式＝﹣48÷（﹣2） ＝24； （3）原式＝（） ＝﹣7； （4）原式＝﹣8﹣2 ＝﹣10+1 ＝﹣9． 19．（4分）化简： （1）3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b ＝6ab2﹣12a+3b﹣6ab2+4a+b ＝﹣8a+4b； （2） m﹣2mn2mn2 ＝﹣3m+n2． 20．（4分）已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1）7ab﹣3a﹣4； （2）． 【解答】解：（1）∵A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， ∴A﹣3B ＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1+3a2+6ab﹣3， ＝7ab﹣3a﹣4； （2）∵A﹣3B ＝7ab﹣3a﹣4 ＝（7b﹣3）a﹣4， ∵A﹣3B的值与a的值无关， ∴7b﹣3＝0， ∴b． 21．（4分）某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： （1）用含x，y的代数式表示阴影面积； （2）图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为100元，若x＝6，y＝4，则铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】（1）（x2+8x+32﹣8y）平方米； （2）8400元． 【解答】解：（1）x2+8（x+4﹣y）＝（x2+8x+32﹣8y）（平方米）， 即阴影面积为（x2+8x+32﹣8y）平方米； （2）当x＝6，y＝4时， x2+8x+32﹣8y ＝62+8×6+32﹣8×4 ＝36+48+32﹣32 ＝84， 则84×100＝8400（元）， 即铺地砖的总费用为8400元． 22．（5分）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50千米为标准，多于50千米的记为“+”，不足50千米的记为“﹣”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ （2）已知汽油车每行驶100千米需用汽油7升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量为20度，每度电为0.8元，求小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】（1）小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米； （2）小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省160元． 【解答】解：（1）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+0+22+31+33 ＝[（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）]+0+（22+31+33） ＝（﹣36）+0+86 ＝50（千米）， 50+50×7 ＝50+350 ＝400（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了400千米； （2）汽油车的费用为：（400÷100）×7×8 ＝4×7×8 ＝28×8 ＝224（元）， 新能源车的费用为：（400÷100）×20×0.8 ＝4×20×0.8 ＝80×0.8 ＝64（元）， 224﹣64＝160（元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省160元． 23．（5分）如图，小红用长为120cm，宽为30cm的宣纸书写了一副毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了acm，宽左右各增加了acm． （1）装裱后的书法作品的长是 　（120+2a）　 cm，宽为 　（30+a）　 cm（用含a的代数式表示）； （2）求装裱后的书法作品的面积是多少cm2（结果用含a多项式表示）； （3）若a＝2cm计算装裱后的书法作品增加的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵书法作品的长是120cm，宽是30cm， ∴装裱后的长为：（120+2a）cm，装裱后的宽为（30+a）cm， 故答案为：（120+2a），（30+a）； （2）由（1）可知装裱后的长为：（120+2a）cm，装裱后的宽为（30+a）cm， ∴装裱后的书法作品的面积为： （120+2a）（30+a） ＝3600+120a+60a+2a2 ＝（2a2+180a+3600）cm2； （3）当a＝2cm时， 装裱后的面积为：2×22+180×2+3600 ＝2×4+180×2+3600 ＝8+360+3600 ＝3968cm2， ∴装裱后的书法作品增加的面积为： 3968﹣120×30 ＝3968﹣3600 ＝368cm2． 24．（5分）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为AB＝|a﹣b|．例如：7与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为|7﹣（﹣1）|＝8，|x﹣6|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． （1）请根据阅读材料填空：点P、A之间的距离PA＝　|x+1|　 （用含x的式子表示）；若该距离为4，则x＝　﹣5或3　 ． （2）根据几何意义，解决下列问题： ①若点P在线段AB上，则|x+1|+|x﹣2|＝　3　 ． ②若|x+1|+|x﹣2|＝5，求点P表示的有理数x． 【答案】（1）|x+1|，﹣5或3；（2）①3；②﹣2或3． 【解答】解：（1）由题意知，点P、A之间的距离PA＝|x+1|， 当PA＝|x+1|＝4时， 解得，x＝﹣5或x＝3， 故答案为：|x+1|，﹣5或3； （2）①∵点P在线段AB上， ∴|x+1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB＝|﹣1﹣2|＝3， 故答案为：3． ②由题意知，当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝﹣x﹣1﹣x+2＝5， 解得，x＝﹣2； 当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣x+2＝3≠5，舍去； 当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝5， 解得，x＝3； 综上所述，点P表示的有理数x为﹣2或3． 25．（5分）观察下面的一列数：，，，． （1）尝试：；a3﹣a2＝　　 ；a4﹣a3＝　　 ． （2）归纳：an+1﹣an＝　　 ． （3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】（1）；． （2）． （3）推理是正确的，证明过程见解析． 【解答】解：（1）∵，，，， ∴a3﹣a2＝11；a4﹣a3＝2﹣1， 故答案为：；． （2）根据（1）可得：an+1﹣an， 故答案为：． （3）证明：∵an⋯， 同理可得an+1， ∴an+1﹣an． 26．（6分）给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝aA+bB；对正整数n（n≥2）和整式A，定义新运算“⊗”：n⊗A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．特别地，1⊗A＝A． 例如，当a＝1，b＝2时，若A＝x，B＝﹣y，则A⊕B＝A+2B＝x﹣2y，2⊗A＝A⊕A＝3x． （1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝ 　3x ，3⊗A＝ 　7x+7y ； （2）写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，并说明理由； （3）当a＝2，b＝1时，若A＝3x2+7xy，B＝2x2﹣30xy﹣y2，p，q是正整数，令P＝p⊗A，Q＝q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值． 【答案】（1）3x，7x+7y；（2）见解析；p＝4，q＝3． 【解答】（1）解：当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y， A⊕B＝aA+bB＝2（x+y）+1（x﹣2y）＝2x+2y+x﹣2y＝3x， 3⊗A＝A⊕A⊕A＝[2（x+y）+1×（x+y）]⊕（x+y）＝3（x+y）⊕（x+y） ＝2（3x+3y）+1（x+y） ＝7x+7y， 故答案为：3x，7x+7y； （2）解：取a＝0，b＝1，理由如下： n⊗A＝anA+an﹣1bA+an﹣2b2A+…+abn﹣1A+AbA， 若n⊗A＝A，则anA+an﹣1bA+an﹣2b2A+…+abn﹣1A+bnA＝A， 令A＝1，an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn＝1， 这是一个关于a和b的方程，我们需要找到一组解使得这个方程对每一个正整数n都成立， ∴1n+1n﹣1•0+1n﹣2•02+⋯+1•0n﹣1+0n＝1， 通过观察，我们可以发现当a＝1，b＝0时，上式变为： 1n+1n﹣1•0+1n﹣2•02+⋯+1•0n﹣1+0n＝1， 即1＝1， 这个等式对每一个正整数n都成立， 因此，我们找到了一组满足条件的a和b的值，即a＝1，b＝0， 所以对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A； （3）解：根据新运算的定义得， P＝（ap﹣1+ap﹣2b+ap﹣3b+…+b）A， Q＝（a﹣1+aq﹣2b+⋯+b）B， 当a＝2，b＝1时， P⊕Q＝2P+Q，当a＝2，b＝1时，上式变为： P⊕Q＝2P+Q， ＝2（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）A+（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）B， ∵P⊕Q不含xy项， ∴7（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）xy﹣30（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）xy＝0， ∴14（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）＝30（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）， ∴7（2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1）＝15（2q﹣1+2q﹣2+⋯+1）， ∴2p﹣1+2p﹣2+2p﹣3+…+1为15的倍数， 当p＝4，q＝3时，满足题意． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $