精品解析：北京市第十九中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

北京市第十九中学2025-2026高二（上） 数学练习 班级：___________姓名：___________成绩___________ 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．请务必将正确选项写在下列表格中，不写计0分． 1. 下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据、表示的数集，结合元素与集合、集合与集合之间的关系即可做出判断 【详解】解：对于A，是整数集，故是的子集，故正确； 对于B，是中的一个元素，故正确； 对于C，是有理数集，，故不正确； 对于D，集合本身是集合的子集，故正确； 故选：C 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项可以举出反例证明错误；D选项利用不等式的基本性质证明成立. 【详解】对于A，令，则，∴A错误； 对于B，令，则，但，∴B错误； 对于C，令，满足，但，∴C错； 对于D，因为，所以，不等式两边同乘以得：，D选择正确． 故选：D 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的模的公式可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4. 不等式的解集是（ ）. A. B. C. ，或 D. ，或 【答案】B 【解析】 【分析】先将不等式的右边化为零，然后根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】由题意，∴， 即，解得：， ∴该不等式的解集是. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 5. 四棱锥如图所示，则直线PC（ ） A. 与直线AD平行 B. 与直线AD相交 C. 与直线BD平行 D. 与直线BD是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的定义即可求解. 【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线. 故选：D. 6. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A. －4 B. －10 C. 4 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于平面对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求出点关于平面的对称点的坐标，再利用向量的坐标运算求. 【详解】解：由题意，关于平面对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数， 从而有点关于对称的点的坐标为（2，−1，-3）． . 故选：A． 【点睛】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，考查数量积的坐标运算，属于基础题． 7. 在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，若向量共面，于是， 则，即向量共面，与为空间的一个基底矛盾， 因此构成空间的另一个基底，④正确， 所以给定命题中不正确的个数为3. 故选：C 8. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以， 故选：D 9. 在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可证平面，所以为直线与底面所成的角，所以，可求得体积． 【详解】∵，点E为的中点， ∴， ∵，，两两垂直，则， 平面，∴平面， ∴为直线与底面所成的角， 由题意可知，， ∴， ∴三棱锥的体积． 故选：C． 10. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.. 由于，所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知，则___________，___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】应用向量的共线定理，结合其坐标列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则， 所以，可得. 故答案为：， 12. 已知向量___________；与夹角的大小为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用向量线性关系、模长的坐标运算求，由向量夹角的坐标公式求与夹角的大小即可. 【详解】由题设，所以. 由，且，则， 又，则. 故答案为：， 13. 在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。 【详解】如图所示： 因为， 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，，三向量共面，由求解. 【详解】解：因为，，，且，，三向量共面， 所以，即， 所以，解得， 故答案为：1 15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论： ①； ②平面； ③与的面积相等； ④三棱锥的体积为定值． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明出平面判断①；利用面面平行的判定定理判断②；根据正方体的结构特征和已知确定到的距离、到的距离判断③；以点为顶点，结合锥体体积公式求出三棱锥的体积判断④. 【详解】①设与相交于， 在正方体中，四边形为正方形，则， 平面，平面， ， ，平面， 平面，平面， ，正确；  ②在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，得， 平面，平面， 平面，即平面，正确；  ③由于正方体的结构特征及已知，到的距离即到的距离为， 而到的距离即到的距离为，所以与的面积不相等，错误；  ④由①知平面，所以为定值，正确. 故答案为：①②④ 三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 阅读下面题目及其解答过程． 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求证：． 解：（1）取的中点，连接,，如图所示． 在中，，分别为，的中点， ，． 由题意知，四边形为_． 为的中点， ，． ,. 四边形为平行四边形， ．又_，平面， ． （2）为直三棱柱， 平面． 又平面， _． ，且， _． 又平面， ． _， ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．矩形                  B．梯形 ② A．平面     B．平面 ③ A．            B． ④ A．平面     B．平面 ⑤ A．             B． 【答案】 ①. A ②. A ③. B ④. A ⑤. B 【解析】 【分析】根据逻辑推理过程，结合直棱柱的性质、线面平行（垂直）的判定或性质确定各空格应补充的条件． 【详解】①根据直棱柱的结构特征及给定的条件知：结论为四边形为矩形，填A； ②由线面平行的判定条件，条件中缺平面，填A； ③由线面垂直的性质知：结论为，填B； ④由线面垂直的判定知：结论为平面，填A； ⑤根据及所得结论为，条件应为，填B． 故答案为：A；A；B；A；B. 17. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 【答案】（1） ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点 ∴GH是的中位线，∴GHB1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC， ∴B，C，H，G四点共面． （2） ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1平面BCHG. 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证； （2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 正方形与梯形所在的平面互相垂直，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）已知为线段上一点，若直线与直线所成的角为，求的长． 【答案】（1） 证明：因为四边形是正方形，所以， 因为平面面，所以平面， 因为平面平面PDC，所以平面， 因为，且平面平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先证面面平行，然后利用面面平行的性质定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再利用向量法求二面角； （3）设且，进而求出、的坐标，根据它们所成角的余弦值，列方程求参数值，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 又面，，所以平面， 又平面，所以， 如图，建立空间直角坐标系， 又， 则， 则， 设平面的一个法向量，则， 即,取， 易知平面的法向量， 所以，又二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）知，，， 设且， 则， 又，直线与直线所成的角为， 则， 所以， 整理得，可得或（舍）， 所以，则. 19. 设A是实数集的非空子集,称集为集合A的生成集. （1）当时,写出集合A的生成集B. （2）若A是由5个正实数构成的集合,求其生成集B中元素个数的最小值. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】(1)根据写出集合即可. (2)记,不妨设,则得出结果. 【小问1详解】 , , 【小问2详解】 设, 不妨设, 则, 所以集合B中元素个数大于或等于7. , 则, 即集合B中元素个数的最小值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十九中学2025-2026高二（上） 数学练习 班级：___________姓名：___________成绩___________ 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．请务必将正确选项写在下列表格中，不写计0分． 1. 下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ）. A. B. C. ，或 D. ，或 5. 四棱锥如图所示，则直线PC（ ） A. 与直线AD平行 B. 与直线AD相交 C. 与直线BD平行 D. 与直线BD是异面直线 6. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A. －4 B. －10 C. 4 D. 10 7. 在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在三棱锥中，，，两两垂直，且，点E为中点，若直线与底面所成的角为45°，则三棱锥的体积等于（ ） A. B. C. D. 10. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知，则___________，___________． 12. 已知向量___________；与夹角的大小为___________． 13. 在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________． 14. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________． 15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论： ①； ②平面； ③与的面积相等； ④三棱锥的体积为定值． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 阅读下面题目及其解答过程． 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求证：． 解：（1）取的中点，连接,，如图所示． 在中，，分别为，的中点， ，． 由题意知，四边形为_． 为的中点， ，． ,. 四边形为平行四边形， ．又_，平面， ． （2）为直三棱柱， 平面． 又平面， _． ，且， _． 又平面， ． _， ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．矩形                  B．梯形 ② A．平面     B．平面 ③ A．            B． ④ A．平面     B．平面 ⑤ A．             B． 17. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 18. 正方形与梯形所在的平面互相垂直，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）已知为线段上一点，若直线与直线所成的角为，求的长． 19. 设A是实数集的非空子集,称集为集合A的生成集. （1）当时,写出集合A的生成集B. （2）若A是由5个正实数构成的集合,求其生成集B中元素个数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $