江苏省南京市七校联合体2026届高三上学期10月调研数学试题

2025-2026学年10月七校联合学情调研 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.己知z=(1一3)(a十(a∈R)为纯虚数，则a= A.3 B.-3 C.3 D.-1 3 2.已知向量a=(1,2),b=(k,一1)，且aL(a十)，则实数k为 A.2 B.3 C.-3 D.-2 3.已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为() A子 B.V15 3 c D.V15π 4.从编号17的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A:“第一次抽到的卡片编号 数字为3的倍数”，事件B:“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号 数字”，则P(BA)= () A.5 B.5 C.5 D.5 12 14 21 42 5.已知a=1og0.82.6,b=2.69,c=0.80.9,则a、b、c的大小关系为 () A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 6.已知函数)=c0s20十0>0,0<g<孕的最小正周期为x,若初=3 2 则函数y=sn(x一6p)十sin(2x十3p)的最大值为 () A.-2 B.-9 C.2 D.9 8 8 7.莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线，分别 和BC,CA,AB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上，这条直线 被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为 A(0,1),B(-2,0),C(0,一4)，则该三角形的Lemoine线的方程为 () A.2x-3y+8=0 B.2x+3y-8=0 C.3x-2y+22=0 D.2x+3y+32=0 8.己知定义在R上的函数x)满足x十2)=2一x),对任意的x1,2∈[2，十∞)且1卡x2, 均有xx)十xx2)>xx2)十x贰x)恒成立，则不等式3一x)>3x)的解集为（)》 A（-m,2 B.+) c. D.(-,U2,+∞) 204' 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知tanc=, tan8=】,其中a,B为锐角，以下判断正确的是 （) 3 A.at= 4 B.sina=3V10 10 C.sin20=3 5 D.cos(a-B)=V5 5 10.下列有关说法正确的是 () A.设随机变量服从正态分布NW4,2),若P(5<1)=P(5>9),则u=5 B.甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去，则不同的安排方法有72种 C.(x-2)7=a0+ax+azx2+a3x3+a4x4+asxs+a6x6+ax7, 则十十a十a4十a5十a6十a=127 D.以模型y=ca去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ny,将其变换后得到 线性回归方程z=0.3x十4，则c,k的值分别是e4和0.3 11.己知数列{a}的前n项和为Sn=2-1+1(n∈N).对任意正整数M, 记M=∑0S-1),其中)∈{0,1}，记fM=(1)十(2)十…十()，则（) 2,=1 A.数列{a}的通项公式为a= 2n2,n≥2 B.8a,+1>nn+1) C.若=2k(k∈N),则)=M D.数列a+3一Sn+)}为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知函数)=lx十1的图象与直线y=kx相切，则实数k=一· 13.已知双曲线C:_2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.以F乃为直径的 a2 b2 圆和C的渐近线在第一象限交于点A,直线AF交C的另一条渐近线于点B,FB=2BA, 则C的离心率为一· 14.己知正方体ABCD一A1B1CD1顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻 的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点 称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动次后在面A1B1C1D1 上的概率为P.则∑P= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S, 且4S=V3(b2+c2-a2). (1)求角A: (②4，N分别在线段BC,AC上，且MN垂直平分BC,BM=6,AB=2, 2’ 求线段CN长. 16.如图，四棱锥P一ABCD,PA⊥平面ABCD,AD=2BC=2AB=2,AB⊥BC,AD//BC.若 E点满足P范=1PA,平面BCE交线段PD于F点. (1)求证：EF//BC: (②若平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为6，求D点到平面BCB的距离. 6 17.已知正项数列{a}的前n项和为Sm,且an=2VSn一1. (1)证明：数列{a}是等差数列： (2)若数列{bm}满足b1=1,且bca匠=bn-1a-14+1(0n≥2，n∈N),求数列{bn}的通项公式. 18.已知函数fw)=ln(x十1)一2+x在x=V2处取得极值. (1)求实数a的值： (②)是否存在自然数k,使得方程)=1x2在（化，k+1)内有唯一的根如果存在，求出k的 值：如果不存在，请说明理由： (③)若x>0,≤nK+1)十1x成立，求实数t的取值范围. 19.已知椭圆C:+=1a>b>0)的左、右顶点分别为M,且椭圆c过点1,23， a2 b2 3 路心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点o,o处的切线方程为ox+y-1,试运用 d b2 该性质解决以下问题：过动点P3,m)作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B,A在x 轴上方. ①设直线AM与直线BW的斜率分别为k1,k2,求证：为定值： k21 (D若=23，过点P作直线1交椭圆C于D,E两点，过D作PA的平行线交AB于 点G,延长DG至点F,使得DG=GF.求证：A、E、F三点共线 4 2025-2026学年10月七校联合学情调研 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知z＝(1－3i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，则a＝ ( ) A．3 B．－3 C． D．－ 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(k，－1)，且a⊥(a＋b)，则实数k为 ( ) A．2 B．3 C．－3 D．－2 3．已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为 ( ) A．π B．π C．π D．π 4．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)＝ ( ) A． B． C． D． 5．已知a＝log0.82.6，b＝2.6，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为 ( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 6． 已知函数f(x)＝cos(2ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的最小正周期为T，若f(T)＝， 则函数y＝sin(x－6φ)＋sin(2x＋3φ)的最大值为 ( ) A．－2 B．－ C．2 D． 7．莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为 A(0，1)，B(－2，0)，C(0，－4)，则该三角形的Lemoine线的方程为 ( ) A．2x－3y＋8＝0 B．2x＋3y－8＝0 C．3x－2y＋22＝0 D．2x＋3y＋32＝0 8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，对任意的x1，x2∈[2，＋∞)且x1≠x2，均有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式f(3－x)＞f(3x)的解集为 ( ) A．(－∞，) B．(，＋∞) C．(，) D．(－∞，)∪(，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知tanα＝，tanβ＝，其中α，β为锐角，以下判断正确的是 ( ) A．α＋β＝ B．sinα＝ C．sin2β＝ D．cos (α－β)＝ 10．下列有关说法正确的是 ( ) A．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，2)，若P(ξ＜1)＝P(ξ＞9)，则μ＝5 B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去，则不同的安排方法有72种 C．若(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7， 则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝127 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3 11． 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1＋1(n∈N*)． 对任意正整数M， 记M＝φ(i)(Si－1)，其中φ(i)∈{0，1}，记f(M)＝φ(1)＋φ(2)＋…＋φ(k)，则 ( ) A．数列{an}的通项公式为an＝ B．8an＋1＞n(n＋1) C．若λ＝2k(k∈N*)，则f(M)＝f(λM) D．数列{f(an＋3－Sn＋1)}为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数f(x)＝lnx＋1的图象与直线y＝kx相切，则实数k＝ ． 13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，＝2，则C的离心率为 ． 14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面A1B1C1D1上的概率为Pn．则Pi＝ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S， 且4S＝(b2＋c2－a2)． (1)求角A； (2)M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，BM＝，AB＝2， 求线段CN长． 16．如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，AD＝2BC＝2AB＝2，AB⊥BC，AD//BC．若E点满足＝，平面BCE交线段PD于F点． (1)求证：EF//BC； (2)若平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为，求D点到平面BCE的距离． 17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2－1． (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)若数列{bn}满足b1＝1，且bna＝bn－1an－1an＋1(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式． 18．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x在x＝处取得极值． (1)求实数a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝x2在(k，k＋1)内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； (3)若x＞0，f(x)≤tln(x＋1)＋x2成立，求实数t的取值范围． 19．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点(1，)，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点T(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：过动点P(3，m)作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B，A在x轴上方． (i)设直线AM与直线BN的斜率分别为k1，k2，求证：为定值； (ii)若m＝2，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线交AB于点G，延长DG至点F，使得DG＝GF．求证：A、E、F三点共线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学10月七校联考数学参考答案 1-4.BCBA 5-8.CDAC 9.AC 10.ACD 11.ABD 12.1 13.414. 2n-1,1 44.3n 15.【解】(1)因为4S=√3(b2+c2-a), 由面积公式与余弦定理得4cmA=6-2casA …3分 因为bc>0,所以sinA=√3cosA, 易知osA20,则AmA=5,又0<A<,可得A-行 …6分 cosA (2)因为边BC的垂直平分线MN,如图可知BN=NC,所以△BCN是等腰三角形， 且<C是一个底角，故0<C<号M为BC的中点，则BC-2BM=6, 3AB=2, 在△ABC中，BC=V6,A= 3 由正弦定理得 sin C=sinA BC B=2=2 V6 2 因为0<C< 2,则c= 4 …10分 6 所以在Rt△CMN中，CN=CM= 2=5 cosC …13分 2 其他答案，酌情给分！！辛苦了。 16.【解】(1)证明：.AD/1BC 又ADC面PAD BC丈面PAD .BC/面PAD 2分 又BCC面BCE面BCE∩面PAD=EF .BC//EF5分 (2).PA⊥面ABCD,AB⊥AD ∴.以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如 图所示： 则A(0,0,0),B1,0,0),C1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,h),(h>0) 面PAB的一个法向量n=(0,1,0).7分 .PC=4,1,-h),CD=(-1,1,0) 设面PCD的一个法向量m=(x,o,2o) 则PC=0,CDm=0 x,+%-h:。=0取x=1,则%=1，。 2 -x+y。=0 h ·面PCD的一个法向量m=a,13 9分 .'cos<m,n>= 6解得h=1.11分 4 6 1+1+存 P00,200,E-(L.0号 设面EBC的法向量为元=(x,y,2) 则BC.k=0,BEk=0 y=0 2 厂 0取=1，则y=0,=3 39 ·k=00,3 13分 设点D到面BCE的距离为d k.CD 则d 1 23 一 9 1 4 设点D到面BCE的距离为23 13 15分 其他答案，酌情给分！！辛苦了。 17【解】(1)据题可得：(a.+1)=4S., 当n≥2时，(a1+1)2=4S1, 两式子作差可得： a-a21+2a-2a-1=4a→a-a-1-2(an+an-1）=0，…2分 (a+a1)(a,-a1-2)=0 又4n+a-1≠0， 所以an-4n-1-2=0→a.-4n-1=2, ………4分 当n=1时，4=2-1→4-24+1=0→（4-1)=0→4=1，…5分 所以，数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列；即an=2n-1.…7分 (2)【法一】因为b=1,a>0, 由b.aG=bn-1an-a+(n≥2，neN), 到哈-a22N …9分 由(1)知a=2n-1, b-2n-3.21+1 所以62n-121-1' 当m22,6=。4=2m-32+52m52m-231 bn1 bn-2 bn-3 b 2h12h12h32h355代33 =2n-32-52-2m+12n-731…1Ⅱ分 2n-12n-35321-12n-353 、 1.2+1_21+1 2n-133(2n-1）1 …13分 又因为b=1满足上式， …14分 所以数列私，}的通项公式b=32-) 2n+1 … 15分 【法二】因为b=1,a,>0,由b,a=b4141,(n≥2，n∈N), 得到6品620u:2neN). …9分 an+ 设c.=ba，所以数列C,}的为常数列，则 6.=b==64=-1.月 11 433’ …12分 用别-是背 3 所以数列b,)的通项公式6，=32n-D 2n+1 ………………15分 其他答案，酌情给分！！辛苦了。 18.【解1：1)因为f()=12+1,在x=5处取得极值，则fV2)=0 x+1 1_-2W2a+1=0,则a= 所以2+1 2 2分 当a=时，fx)=J-x+1=-2+2-) x+1 x+1 x+1 则x∈1，V2)时，f(x)>0,fx)单调递增： 则x∈W2,+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 所以f)在x=V2处取得极值成立. 1 所以a=2成立. 4分 (2)由a)知fx)=x2,即n(x+1)-3x2+x=0, 4 令)=1nx+1)3x+x,因为k∈N函数定义域为(0，w,显然g0)=0, 4 8(x)=13 3x+1=-3xr+x-4_-x-13x+4 x+1 2(x+1) 2,有g1)=0, 2(x+1) 0<x<1时，g(x)>0:x>1时，g(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在（自，+0）上单调递减.…7分 因为g2)-ln3-3+2=n3-1>0,g6)=1m4-22+3=m4-15 4 s0, 所以存在唯一的x。∈(2,3)，使g(x,)=0 所以存在k=2,使得八x)子2在（亿，k+1)内有唯一的根…10分 4 (3)令M)=fxr1nx+1-42=0-hc+1-2+x, +1-xt-4x0 则h(x)1-t3 2(x+1） ①因为抛物线y=3x2+x+2t-4的对称轴方程为x= 石开口向上， 1 所以2t-4≥0即t≥2时，3x2+x+2t-4≥0对x≥0成立， 所以t≥2时，H(x)≤0对x≥0成立， 所以h(x)在[0，+o)上是单调递减， 因为h(0)=0,所以x>0时，h(x)<0成立， 即x>0,fx)stin(x+1)+x2成立： .13分 ②当t<2,△=1-12(2t-4)=49-24t>1, 记3x2+x+2t-4=0的两根为x,x2(x<x2), 则x=1024,5-1-2死 6 6 则x<0,x2>0, 15分 所以当0<x<x2时，H(x)>0,当x>x2时，H(x)<0, 所以h(x)在0，x2上单调递增，在x2,+o)上单调递减。 所以h(x,)>h(0)=0,所以h(x)<0不恒成立， 即x>0,fx)≤lnk+1)+}x不恒成立 综上，t的取值范围是[2，十o0) 17分 其他答案，酌情给分！！辛苦了。 1 4 3b2 19.【解】(1)由题意得{ 2=b2+c2, .2分 c_v3 a 3 a=13 年得合及所以装得C的方有为号号-1—一4分 c=1 2)0由(1)知M(-√3,0)，N(V3,0),设A(x,),B(x2,y2),则 P4+Y-LPB:+2Y=1,又都过点P,所以有x+m=10=1,2), 3 2 3 2 2 所以AB:x+少=1 .6分 2 又过定点(1,0)，设AB:x=y+1 联立 [x=y+1 2x2+3y2=6 消x得(2t2+3)y2+4y-4=0 所以y+y= 4t 4 2r+3%4=2F+3 8分 y+y2=ty2 所以在=片。本-5：+1-同2-5出+上-2-5为定值 kx+V3y2,(y+1+√3)片+(2+V3)y, 10分 甸当m=25时，ABx+5y=1,联立椭圆方程解得A-12 3) 11分 设1：y-23=k(x-3),D(x,为)，E(x4y4) 联立-23：x-3刃消y得6A+2+625-3x+305-3-6=0 2x2+3y2=6 则5+5，=6653.5式，-3253-6 3k2+2 3k2+2 所以y,+y4=k(x+x4)+2(2W3-3k) 6 =-625,30+22N5-30=45-3 3k2+2 3k2+2 yy=x+(23-3)+(23-3) -x+(2W5-3)0x,+x)+(25-3=12(-2W3k+2 3k2+2 另方面，DPyy3(次-)，联立AB:+V 解得G-51,马所以(y+1g 2 2V3 14分 2 -x3+12 所以kAE= 5y-2,k4知= 3 x3+1 x,+1V3(x,+1) -V3y,+2V3(3y,-2) 要证A、E、F三点共线，只需证kA运=k4r, 即证(x+10(x,+1)=(W3y-2)(W3y4-2).@ 而6+10x,+)=x+(飞+x)+1=163-3W3k+2 3k2+2 W5y-25-2)=3y.-20+y）+4=16335A+2 3k2+2 所以等式①成立故A、E、F三点共线 .17分 其他答案，酌情给分！辛苦了。2026届高三数学10月七校联考数学参考答案 1-4.BCBA 5-8.CDA C 9.AC 10.ACD 11.ABD 12.113.414.2n-1+1 一十 44.3” 15.【解】(1)因为4S=√3b2+c2-a2), 由面积公式与余弦定理得4csin4=5-2bcos4, …3分 因为bc>0,所以sinA=V3cosA, 易知c0sA0,则04mA=5,又0<4<，可得4-号： …6分 'cosA (2)因为边BC的垂直平分线MN,如图可知BN=NC,所以△BCN是等腰三角形， 且∠C是-个底角，数0<C<号M为BC的中点，则8C=2BM-=6, 在ABC中，BC=V6,A=,AB=2, 31 5 由正弦定理得sinC=sinA. BC B=22=2, 6 2 因为0<C<, 不2则c 4 …10分 √6 所以在Rt△CMN中，CN=CM =2=5 cosC√2 …13分 2 其他答案，酌情给分：！辛苦了。 16.【解】(1)证明：.AD/BC 又ADC面PAD BC丈面PAD .BC//面PAD 2分 又BCC面BCE面BCE∩面PAD=EF .BC/EF5分 (2),PA⊥面ABCD,AB⊥AD ∴.以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如 图所示： 则A(0,0,0),B1,0,0),CL,1,0),D(0,2,0),P(0,0,h),(h>0) 面PAB的一个法向量n=(0,L,0)7分 .PC=(1,1,-h),CD=(-1,1,0) 设面PCD的一个法向量m=(x,o,2o) 则PC·m=0,CDm=0 +%-h:2=0取=1，则。=1， 2 -x+y0=0 h ·面PCD的-个法向量m=,13 9分 6 ∴.cos<m,n> 解得h=1…11分 V+1+ 4 6 h2 P0,01,E0,0,BE=(-l0,3 设面EBC的法向量为=（化，，z) 则BC.k=0,BE.k=0 y=0 3 2。。取x=1,则%=0，名= 30 - 2 ÷=0,03 .13分 设点D到面BCE的距离为d .CD 1 则d= 23 91 4 :设点D到面BCE的距离 23 1 15分 其他答案，酌情给分！辛苦了。 17【解】(1)据题可得：（an+1)2=4Sn, 当n≥2时，(an-1+1)=4Sn1, 两式子作差可得： a-a1+2an-2an1=4an→a-a-2(an+an-）=0,…2分 (an+a-i(an-an-1-2）=0 又an+a-1≠0， 所以an-an-1-2=0→an-am-1=2, …4分 当m=1时，a=2S-1→a-2a+1=0→a-=0→a=1,…5分 所以，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列；即an=2n-1.…7分 (2)【法一】因为b=1,an>0, 由bna=bn-1an-1a+,n22,neN）, 为子22eN ……9分 由(1)知an=2n-1, 所以 b=2m-3.2n+1 n12n-12n-11 当2.名会4-=当=别 bi-1 b-2 6a-3 b1 2n-12n-1 =2n-3.2n-53-2m+12n-731…1分 2n-12n-3532n-12n-353 12n+12n+1 2n-133(2n-1）1 …13分 又因为b=1满足上式， …14分 所以数列私，的通项公式b.=32n-少 2n+1 …15分 【法二】因为h=1,an>0,由b.a=b-a-1an22,neN), 得到6.4=b2,n≥2，neN, …9分 an+l a 支C三b,。:所以数列℃的为常数列，见 c,=bn01==b4=1 11 0233, …12分 "an+l 有收-》60 3 2n+1 所以数列私，}的通项公式力，32n- …15分 其他答案，酌情给分！！辛苦了。 18.【解：(1)因为fx=12ax+1,在x=2处取得极值，则f八)=0 x+1 所以2+1 22a+1=0,则a三) 2分 -女1品-+回 x+1 x+1 则x∈(1，√)时，f(x)>0,fx)单调递增； 则x∈W2,+o时，f(x)<0,fx)单调递减： 所以f)在x=V2处取得极值成立. 所以a=之成立 4分 e由a知i-女，p+小-+=-0， 令公=l+小-产+，供为teN蛋数定义线为Q+d小格g0=0. 8(x)=13 x+12 x+1=3+x-4.-3x+4,有g0=0. 2x+1 2x+1 0<x<1时，g'x)>0；x>1时，g'x)<0, 所以gx在(0,1)上单调递增，在(1，十0)上单调递减.7分 因为g2=n3-3+2=ln3-1>0,g3)=ln4-2 2+3=n4-15<0, 4 4 所以存在唯一的x∈(2,3)，使g(x)=0 所以存在k=2,使得代=子在(k,k+刂内有唯一的根10分 e)令刻=i树-mx+-=自-x+小-子+x 则树号-41=4>0 2x+1 4 1 ①因为抛物线y=3x2+x+21-4的对称轴方程为x=-二，开口向上， 6 所以2t-4≥0即1≥2时，3x2+x+2t-4≥0对x≥0成立， 所以t≥2时，h'(x)≤0对x≥0成立， 所以h(x)在[0，+o0)上是单调递减， 因为h(0)=0,所以x>0时，h(x)<0成立， 即x>0,fX≤tlnx+1小+x成立：l3分 4 ②当t<2,△=1-122t-4=49-24t>1, 记3x2+x+2t-4=0的两根为x,x2x<x2), 则x=-1-V49-24 -1+√49-24t ，X2= 6 6 则x<0,x2>0, 15分 所以当0<x<x2时，h'x)>0,当x>x2时，h'x)<0, 所以h(x)在[0，x,]上单调递增，在[x2,+o0)上单调递减。 所以hx2)>h0=0,所以h(x)<0不恒成立， 即x>0,fx)≤tlnx+1+二x2不恒成立 综上，t的取值范围是[2，+0)… .17分 其他答案，酌情给分！辛苦了。 1 4 2+362 =1 19. 【解】(1)由题意得 2=b22,2s分 a=3 解得b=V2,所以椭圆C的方程为 4y2 3+2 =14分 c=1 (20由(1)知M(-V5,0,N(V5,0),设A(x,),B(x2,y2),则 PA:+=1,PB:+2=1又都过点P所以有x+=1=1,2. 32 32 2 所以AB:x+ my 2 6分 又过定点(1,0)，设AB:x=y+1 联立 =1消×得(2+3)y2+4切-4=0 2x2+3y2=6 4 所以y+y2= 22+35= 212+3 8分 y1+y2=y1y2 所以点：》。-5-，+1-同-2-5+业=2-5为定值 k2x+V3y?y,(,+1+V3)y+(2+V3)y2 10分 ①当m=2V3时，Bx+V3y=1联立椭圆方程解得A123 11分 设1：y-2W3=k(x-3),D(x3,y3),E(x4,y4) 联立-25=(r-3)消y得3k+2r2+6k25-3x+3025-3-6=0 2x2+3y2=6 则5+46k23-3,x玉=323-32-6 3k2+2 3k2+2 所以为+y4=k(x+x4)+2(2V3-3k) =625-30+2025-361=425-30 3k2+2 3k2+2 yy4=k+(2V3-3k)kx+(2W3-3k) =kxx+(25-3k)0x+x)+(2V5-36=122-23k+2 3k2+2 另-方面F:少-男=5-5聚立8+，1 6 ￥G=出，马断以F-51 2 2W3 14分 2 -x3+12 y4- 所以kE=33y42=B一3 x3+1 x4+1V3(x4+1) -V3y3+2√3(W3y3-2) 要证A、E、F三点共线，只需证kE=kAF, 即证(x3+10(x4+1)=(V3y3-2)(V5y4-2)…① 而(+1x,+)=xx4+(k+x)+1=163k2-3W3k+2 3k2+2 (W5y-23y-2)=3yy,-230+)+4=16(32-35k+2 3k2+2 所以等式①成立，故A、E、F三点共线 17分 其他答案，酌情给分！！辛苦了。 7