2025-2026学年人教版数学九年级上册期中测试卷

2025-2026学年人教版数学九上期中测试卷 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1 .(单选)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 2 .(单选)已知是一元二次方程的一个解，则的值是（  ）． A. B. C. D.或 【答案】 B 【解析】 把代入得， 解得 ． 3 .(单选)菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为（  ）． A. B. C.或 D. 【答案】 A 【解析】 ∵， ∴、， ∵对角线长为， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴周长为． 故选． 4 .(单选)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ）． A. B.且 C. D.且 【答案】 D 【解析】 ∵二次函数的图象与轴有交点， ∴方程（）有实数根， 即，解得，由于是二次函数，故，则的取值范围是且． 5 .(单选)抛物线的顶点坐标是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 是抛物线的顶点式，顶点坐标为． 故选． 6 .(单选)如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 7 .(单选)如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ∵是直角三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴、两点间的距离为． 8 .(单选)向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间与高度关系为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的（  ）． A.第秒 B.第秒 C.第秒 D.第秒 【答案】 B 【解析】 ∵炮弹在第秒与秒高度相等， ∴对称轴， ∴越靠近，高度越高． 9 .(单选)如图（）是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设抛物线的关系式为， 由题意可知，该图象经过， 故， ∴． ∴． 故选． 10 .(单选)股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 假设股票的原价是，设平均每天涨． 则， 即． 故选． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11 .方程的解是           ． 【答案】 ， 【解析】 ， 移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 故答案为：，． 12 .在平面直角坐标系中，函数的图象经过、两点，若，，则           （用“”“”或“”连接）． 【答案】 【解析】 由可知， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 13 .如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则           度． 【答案】 【解析】 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 14 .把抛物线的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象的解析式是，则           ． 【答案】 【解析】 ∵，当向左平移个单位，再向上平移个单位后，可得抛物线的图象， ∴． ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 .如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． ( 1 )画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的． ( 2 )画出将绕原点顺时针方向旋转得到． ( 3 )在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标． 【答案】 (1)画图见解析． (2)画图见解析． (3) 【解析】 (1)如图所示，为所求做的三角形． (2)如图所示，为所求做的三角形． (3)∵坐标为，坐标为， ∴所在直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标． 16.（1）解方程：． 【答案】 或． 【解析】 ， 或， 解得或． （2）解方程：． 【答案】 或． 【解析】 ， ， ， ∴或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知二次函数(是常数)． ( 1 )求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． ( 2 )把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 【答案】 (1)证明见解析． (2)把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点． 【解析】 (1)∵， ∴方程没有实数解， 即不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． (2)， 把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是， 因此，这个函数的图象与轴只有一个公共点， 所以，把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点． 18 .某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽米，顶部离地面高度为米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面米，装货宽度为米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】 这辆汽车能顺利通过大门． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意知，，，设这个函数的解析式为． 将的坐标代入，得，解得， ∴， ∵装货宽度是米， ∴、两点的横坐标分别是和， ∴将代入函数解析式，得 ，即米， ∴（米）， ∵， 因此这辆汽车能顺利通过大门． 19 .如图，等腰直角中，，，点在斜边为，将绕点顺时针方向旋转到的位置，求. 【答案】 【解析】 连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质可知：≌， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴． 20 .如图，在中，，点、分别在、上，且，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接． ( 1 )求证：≌． ( 2 )若，求证：． 【答案】 (1)证明见解析． (2)证明见解析． 【解析】 (1)由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴，在和中，，，， ∴≌． (2)∵，， ∵， ∴， 由（）知≌， ∴． 21 .如图，边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于，求的长. 【答案】 【解析】 连接，如图， ∵正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形， ∴，，， ∴，又∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴． 22 . 为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购、两种产品共件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据． 采购数量（件） 产品单价（元/件） 产品单价（元/件） ( 1 )设产品的采购数量为（件），采购单价为（元/件），求与的关系式． ( 2 )经商家与厂家协商，采购产品的数量不少于产品数量的，且产品采购单价不低于元，求该商家共有几种进货方案． ( 3 )该商家分别以元/件和元/件的销售单价售出、两种产品，且全部售完，在（）的条件下，求采购种产品多少件时总利润最大，并求最大利润． 【答案】 (1)（，为整数）． (2)该商家共有种进货方案． (3)采购种产品件时总利润最大，最大利润为元． 【解析】 (1)设与的关系式为， 由表知， 解得，，即（，为整数）． (2)根据题意可得 ， 解得， ∵为整数， ∴可取的值为：、、、、， ∴该商家共有种进货方案． (3)解法一：， 令总利润为元， 则， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，元． 解法二：根据题意可得产品的采购单价可表示为： ， 则、两种产品的每件利润可分别表示为： ， ， 则当时，产品的利润高于产品的利润， 即时，产品越多，总利润越高， ∵， ∴当时，总利润最高， 此时的总利润为（元）． 答：采购种产品件时总利润最大，最大利润为元． 23.如图，已知抛物线经过点，，三点． ( 1 )求抛物线的解析式． ( 2 )若点是线段上的点（不与，重合），过作轴交抛物线于，若点的横坐标为，请用含有的代数式表示的长． ( 3 )在（）的条件下，连接、，是否存在，使的面积最大？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】 (1)． (2)． (3)当时的面积最大为． 【解析】 (1)∵抛物线经过，，三点， 设抛物线的解析式为：，把代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为． (2)设直线的解析式为：， 把,代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∴ ． 又∵轴， ∴， ∴． (3)， ∴当 最大时，的面积最大， 当时，有最大值为， ∴当时的面积最大为． ． 当时，有最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学九上期中测试卷 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1 .(单选)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）． A. B. C. D. 2 .(单选)已知是一元二次方程的一个解，则的值是（  ）． A. B. C. D.或 3 .(单选)菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为（  ）． A. B. C.或 D. 4 .(单选)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ）． A. B.且 C. D.且 5 .(单选)抛物线的顶点坐标是（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间与高度关系为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的（  ）． A.第秒 B.第秒 C.第秒 D.第秒 9 .(单选)如图（）是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（   ）． A. B. C. D. 10 .(单选)股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（   ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11 .方程的解是           ． 12 .在平面直角坐标系中，函数的图象经过、两点，若，，则           （用“”“”或“”连接）． 13 .如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则           度． 14 .把抛物线的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象的解析式是，则           ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 .如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． ( 1 )画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的． ( 2 )画出将绕原点顺时针方向旋转得到． ( 3 )在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标． 16.(1)解方程：． (2)解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知二次函数(是常数)． ( 1 )求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． ( 2 )把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 18 .某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽米，顶部离地面高度为米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面米，装货宽度为米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19 .如图，等腰直角中，，，点在斜边为，将绕点顺时针方向旋转到的位置，求. 20 .如图，在中，，点、分别在、上，且，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接． ( 1 )求证：≌． ( 2 )若，求证：． 六、（本题满分12分） 21 .如图，边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于，求的长。 七、（本题满分12分） 22. 为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购、两种产品共件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据． 采购数量（件） 产品单价（元/件） 产品单价（元/件） ( 1 )设产品的采购数量为（件），采购单价为（元/件），求与的关系式． ( 2 )经商家与厂家协商，采购产品的数量不少于产品数量的，且产品采购单价不低于元，求该商家共有几种进货方案． ( 3 )该商家分别以元/件和元/件的销售单价售出、两种产品，且全部售完，在（）的条件下，求采购种产品多少件时总利润最大，并求最大利润． 八、（本题满分14分） 23.如图，已知抛物线经过点，，三点． ( 1 )求抛物线的解析式． ( 2 )若点是线段上的点（不与，重合），过作轴交抛物线于，若点的横坐标为，请用含有的代数式表示的长． ( 3 )在（）的条件下，连接、，是否存在，使的面积最大？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $