第3章 一元一次不等式（知识清单）数学浙教版2024八年级上册

第3章 一元一次不等式 一、不等式及其性质 1. 用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。 常见的不等号： . 2.不等式的基本性质 不等式的基本性质1 a＜b，b＜c⇒ （也叫不等式的传递性） 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立 字母表达式：a＞b⇒a+c b+c，a-c b-c； a＜b⇒a+c b+c，a-c b-c 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须 ，所得的不等式成立。 字母表达式：a＞b，且c＞0⇒ac bc， ； a＞b，且c＜0⇒ac bc， 二、一元一次不等式（组） 1．定义：不等号的两边都是 ，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是 ，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解 3.解一元一次不等式的一般步骤和根据： 步骤 根据 1 去分母 不等式的 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的 4 合并同类项 合并同类项法则 5 两边同除以未知数的系数 不等式的 注意：不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 4.不等式的简单应用解题步骤： 步骤 要点 1 审 审题目中的已知量、未知量、待求量 2 设 一般是求谁设谁，或者谁小设谁 3 列 根据题目中的不等量关系列对应不等式 4 解 解出不等式的解集 5 答 5.一元一次不等式组定义：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组； 6.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解 不等式组解集口诀：同大取 ；同小取 ；大小小大取 ；大大小小则 ； 7.一元一次不等式组的应用：“审、设、列、解、答”。 一、不等式及其性质 1.根据题意或描述列不等式 错误：表示不等式的语言有很多，不能根据描述的“至少”和“至多”，“不少于”和“不多于”，“不超过”和“不低于”等语言选择正确的不等式符号。 注意：学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如： a大于b a＞b x不大于b x≤b x不超过b x≤b a小于b a＜b x不小于b x≥b x不低于b x≥b x不等于b x≠b x至/最少b x≥b x不足b x＜b x至/最多b x≤b x超过b x＞b 例1 根据下列数量关系或题意表述写出不等式． （1）x与5的和的不大于； （2）m除以4的商加上3至多为5； （3）a与b两数和的平方不小于3． （4）一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； （5）某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 2.在数轴上表示不等式 错误：不能根据未知数所满足的实数范围，在数轴上表示，①错误使用空心点“￮”和“•”；②错误使用向左包含与向右包含。 注意：“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下： 例2 将下列关于x的解集表示在数轴上 （1）x≤3 （2）x＞﹣2 （3）-0.5＜x≤2 3.不等式的基本性质3的运用 错误：在两边都乘或都除以相同的一个负数时，符号没有变成相反。 注意：不等式的性质与等式的性质比较类似，但是也有明显的区别，主要是两点：①性质3中，不等式两边同时乘以0时，不等式两边都为0，符号变为“＝”；②不等式两边都乘或都除以相同的一个负数时，不等式要变号。 例3 （2026九年级·广西·专题练习）若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 4.比较两个式子的大小 错误：判断两个式子的大小，不能根据已知条件，结合不等式的性质进行变形。 注意：在已知字母参数的不等关系前提下，要判断复杂式子的大小关系，需要通过不等式的性质，变形不等式两边的式子，必要时需要运用多个性质多次变形。尤其注意“两边都乘或除以一个负数时不等式要变号”这一特殊情况。 例4 已知a＞2b，则 （1）比较大小：①a-2 2b-2 ②a-2b 0 ③8b 4a ④ （2）若商店中A物品2a元/个，B物品a+2b元/个；小林买了3个A和4个B，小姜买了1个A和6个B，请问谁付的钱多？并说明理由 二、一元一次不等式（组） 1.用不等式的性质解简易不等式 错误：在学习解不等式时，不能很好的运用不等式的性质。 注意：我们可以通过不等式的性质，解决一些简单的不等式，一般情况下解一元一次不等式时：①移项时注意每项移动后变号，移项使得左侧为未知数相关的一次式，右边为实数；②合并同类项；③系数化为1：尤其注意性质3使用时变号的情况。 例5 （25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)； (3)； 2.去分母时的注意事项 错误：去分母时当两边同时乘或除以一个负数时，没有进行变号。 注意：在去分母时，需要用到性质3，因此在去分母时要注意的是，首先判断是否使用了性质3，有的分数去分母时，使用的是分数的性质，比如对于不等式，左边变形为（-4+2x），不需要变号，得到的是（-4+2x）＞2即可；其次是在使用性质3时，两边要同时乘或除以一个数（这一点同一元一次方程解题步骤中的易错点），当这个数为负数时，一定要变号。 例6 （25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）（1）解不等式． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 3.根据性质判断字母参数的取值 错误：带有字母参数的不等式的求解和分析，缺少方法技巧。 注意：在进行不等式中字母参数的分析时，要学会根据不等号是否变号确定系数的正负（也就是同乘或除以的这个数的正负，是性质3的逆用）；同时注意不同情况的分类讨论；也同时要掌握“将字母参数看作实数先计算再根据解进行分析”的一般方法。 例7 （25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 4.解一元一次不等式组时求合集的原则 错误：求解一元一次不等式组，不能根据口诀求不等式组的合集。 注意：不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体意思如下： 口诀 示例 合集 同大取大 x＞a，x＞b；且a＞b x＞a 同小取小 X＜a，x＜b；且a＞b x＜b 大小小大取中间 x＜a，x＞b；且a＞b b＜x＜a 大大小小则无解 x＞a，x＜b；且a＞b 无解 例8 （24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）解不等式组（通过数轴表示的方法得到解集）． (1) (2) 5.实际问题应注意正整数解 错误：在实际问题中，只求出未知数满足的解集，但不结合实际情况给出最终结果。 注意：解决实际问题时，求得的未知数的解集可能不是最终结果。根据实际情况还需注意：①是否要为正数，因为作为数量、测量量等数据都是正数；②是否为整数，因为数量是整数的。 例9 林老师要给实验室采购新的天平和试管，已知天平售价50元/套，试管售价12元/套。林老师一共带了2500元，购买的试管数量比天平多20套，且不大于天平套数的1.6倍。那么林老师有可能分别购买了多少套天平和试管？请列出来所有可能的情况 6.根据不等式（组）的解判断字母参数的值 错误：带字母参数的不等式或不等式组，不能根据已知条件判断不等式的性质，或不能通过字母参数表示实数来求解并表示出不等式（组）的解，进行深入讨论。 注意：除了“一、3根据性质判断字母参数的取值”所描述的需要掌握的方法外；与方程类似的，我们需要学会通过用字母参数表示出解，然后根据题意讨论解的情况，求出字母参数。 例10 （2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 例11 （24-25九年级下·广东中山·期中）某同学解一个关于x的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图所示． (1)求m的值； (2)解此不等式组，并在数轴上表示出解集． 7.一元一次不等式组中方案问题中求所有方案 错误：方案问题，要么出现所求未知数的列式不足，求得的解范围太广；要么在列出所有方案时不能完整讨论。 注意：方案的实际问题需要我们通过列出所有符合要求的可能性，因此首先要根据题意求出未知数的取值范围，同时要注意要满足所有题干中提到的要求，然后根据未知数的每个符合要求的解，讨论方案结果，或进一步进行比较，最终得出结论。 例12 （24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． (1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ (2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如果，那么下列不等式中，一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 7.（24-25七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． 9.（25-26八年级上·全国·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围 ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 10.（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是 ． 11.（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 12.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： (1) (2) (3) (4) 13.（24-25七年级下·甘肃武威·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2)，并写出该不等式组的整数解． 14.（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）； (2)若不等式组的一个子方程的解为整数，求此子方程的解． 15.（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式 一、不等式及其性质 1. 用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。 常见的不等号： ＞、＜、≥、≤、≠ . 2.不等式的基本性质 不等式的基本性质1 a＜b，b＜c⇒ a＜c （也叫不等式的传递性） 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立 字母表达式：a＞b⇒a+c ＞ b+c，a-c ＞ b-c； a＜b⇒a+c ＜ b+c，a-c ＜ b-c 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须 改变不等号的方向 ，所得的不等式成立。 字母表达式：a＞b，且c＞0⇒ac ＞ bc， ＞ ； a＞b，且c＜0⇒ac ＜ bc， ＜ 二、一元一次不等式（组） 1．定义：不等号的两边都是 整式 ，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是 一次 ，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解 3.解一元一次不等式的一般步骤和根据： 步骤 根据 1 去分母 不等式的 基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的 基本性质2 4 合并同类项 合并同类项法则 5 两边同除以未知数的系数 不等式的 基本性质3 注意：不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 4.不等式的简单应用解题步骤： 步骤 要点 1 审 审题目中的已知量、未知量、待求量 2 设 一般是求谁设谁，或者谁小设谁 3 列 根据题目中的不等量关系列对应不等式 4 解 解出不等式的解集 5 答 5.一元一次不等式组定义：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组； 6.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解 不等式组解集口诀：同大取 大 ；同小取 小 ；大小小大取 中间 ；大大小小则 无解 ； 7.一元一次不等式组的应用：“审、设、列、解、答”。 一、不等式及其性质 1.根据题意或描述列不等式 错误：表示不等式的语言有很多，不能根据描述的“至少”和“至多”，“不少于”和“不多于”，“不超过”和“不低于”等语言选择正确的不等式符号。 注意：学会根据常见的语言描述，用正确的不等式符号列不等式。如： a大于b a＞b x不大于b x≤b x不超过b x≤b a小于b a＜b x不小于b x≥b x不低于b x≥b x不等于b x≠b x至/最少b x≥b x不足b x＜b x至/最多b x≤b x超过b x＞b 例1 根据下列数量关系或题意表述写出不等式． （1）x与5的和的不大于； （2）m除以4的商加上3至多为5； （3）a与b两数和的平方不小于3． （4）一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； （5）某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【分析】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等关键词是解题关键． （1）根据“不大于” 即可列出不等式； （2）根据“至多为5” 即可列出不等式； （3）根据“不小于3” 即可列出不等式． （4）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （5）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得： （3）解：由题意得：． （4）解：根据题意可知蛋白质含量 （5）解：根据题意可知： 2.在数轴上表示不等式 错误：不能根据未知数所满足的实数范围，在数轴上表示，①错误使用空心点“￮”和“•”；②错误使用向左包含与向右包含。 注意：“￮”对应“＞”或“＜”符号，“•”则涵盖等于，因此对应“≥”或“≤”；在数轴上表示实数范围时，具体如下： 例2 将下列关于x的解集表示在数轴上 （1）x≤3 （2）x＞﹣2 （3）-0.5＜x≤2 【答案】见详解 【分析】根据在数轴上表示不等式的解集的规则将解集表示在数轴上即可。 【详解】（1）如图，在数轴上表示x≤3. 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 （2）如图，在数轴上表示x＞﹣2. 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 （3）如图，在数轴上表示-0.5＜x≤2. 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 3.不等式的基本性质3的运用 错误：在两边都乘或都除以相同的一个负数时，符号没有变成相反。 注意：不等式的性质与等式的性质比较类似，但是也有明显的区别，主要是两点：①性质3中，不等式两边同时乘以0时，不等式两边都为0，符号变为“＝”；②不等式两边都乘或都除以相同的一个负数时，不等式要变号。 例3 （2026九年级·广西·专题练习）若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】④⑥ 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①∵，若，则，故该项不成立； ②∵，∴，故该项不成立； ③∵，∴，故该项不成立； ④∵，∴，故该项成立； ⑤∵，若取，满足，但此时，有，故该项不成立； ⑥∵，∴，故该项成立； ⑦∵ ，∴ ，故该项不成立； 故答案为：④⑥． 4.比较两个式子的大小 错误：判断两个式子的大小，不能根据已知条件，结合不等式的性质进行变形。 注意：在已知字母参数的不等关系前提下，要判断复杂式子的大小关系，需要通过不等式的性质，变形不等式两边的式子，必要时需要运用多个性质多次变形。尤其注意“两边都乘或除以一个负数时不等式要变号”这一特殊情况。 例4 已知a＞2b，则 （1）比较大小：①a-2 2b-2 ②a-2b 0 ③8b 4a ④ （2）若商店中A物品2a元/个，B物品a+2b元/个；小林买了3个A和4个B，小姜买了1个A和6个B，请问谁付的钱多？并说明理由 【答案】（1）①＞ ②＞ ③＜ ④＜ （2）小林付的多，理由见详解。 【分析】根据已知的不等式关系，结合不等式的性质，可以将两个式子进行比较，在第（1）小题中，分别要用到性质2和性质3；在第（2）小题中，应先用a和b分别表示出小林和小姜所付的钱，然后用做差法比较他们付的钱的大小。 【详解】（1）①因为a＞2b，根据不等式的性质2，两边同时减去2，a-2＞2b-2； ②因为a＞2b，根据不等式的性质2，两边同时减去2b，a-2b＞0； ③因为a＞2b，根据不等式的性质3，两边同时乘以4，4a＞8b，所以8b＜4a； ④因为a＞2b，根据不等式的性质3，两边同时除以﹣2，＜。 （2）小林一共花费3×2a+4×（a+2b）=（10a+8b）元；小姜一共花费2a+6（a+2b）=（8a+12b）元。由（10a+8b）－（8a+12b）=2a－4b；由（1）中第②小题知a-2b＞0，所以原式=2（a-2b）＞0；即（10a+8b）＞（8a+12b），所以小林付的钱多。 二、一元一次不等式（组） 1.用不等式的性质解简易不等式 错误：在学习解不等式时，不能很好的运用不等式的性质。 注意：我们可以通过不等式的性质，解决一些简单的不等式，一般情况下解一元一次不等式时：①移项时注意每项移动后变号，移项使得左侧为未知数相关的一次式，右边为实数；②合并同类项；③系数化为1：尤其注意性质3使用时变号的情况。 例5 （25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （2）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （3）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 在数轴上表示为：    （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 在数轴上表示为：    （3）解：， 移项得，， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 在数轴上表示为：    2.去分母时的注意事项 错误：去分母时当两边同时乘或除以一个负数时，没有进行变号。 注意：在去分母时，需要用到性质3，因此在去分母时要注意的是，首先判断是否使用了性质3，有的分数去分母时，使用的是分数的性质，比如对于不等式，左边变形为（-4+2x），不需要变号，得到的是（-4+2x）＞2即可；其次是在使用性质3时，两边要同时乘或除以一个数（这一点同一元一次方程解题步骤中的易错点），当这个数为负数时，一定要变号。 例6 （25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）（1）解不等式． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），画图见解析；（3），画图见解析 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，并在数轴上表示出解集． （1）先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可； （3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 不等式的解集在数轴上表示如下： （3）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 不等式的解集在数轴上表示如下： 3.根据性质判断字母参数的取值 错误：带有字母参数的不等式的求解和分析，缺少方法技巧。 注意：在进行不等式中字母参数的分析时，要学会根据不等号是否变号确定系数的正负（也就是同乘或除以的这个数的正负，是性质3的逆用）；同时注意不同情况的分类讨论；也同时要掌握“将字母参数看作实数先计算再根据解进行分析”的一般方法。 例7 （25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．由题意可得是不等式的解集，解不等式可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：由题意可得是不等式的解集， ， ， 解得， 故答案为：． 4.解一元一次不等式组时求合集的原则 错误：求解一元一次不等式组，不能根据口诀求不等式组的合集。 注意：不等式组解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解”，具体意思如下： 口诀 示例 合集 同大取大 x＞a，x＞b；且a＞b x＞a 同小取小 X＜a，x＜b；且a＞b x＜b 大小小大取中间 x＜a，x＞b；且a＞b b＜x＜a 大大小小则无解 x＞a，x＜b；且a＞b 无解 例8 （24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）解不等式组（通过数轴表示的方法得到解集）． (1) (2) 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析，． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集． （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，再找出不等式组的解集即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，再找出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 将不等式的解集表示在数轴上为： 不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 将不等式的解集表示在数轴上为： 不等式组的解集为． 5.实际问题应注意正整数解 错误：在实际问题中，只求出未知数满足的解集，但不结合实际情况给出最终结果。 注意：解决实际问题时，求得的未知数的解集可能不是最终结果。根据实际情况还需注意：①是否要为正数，因为作为数量、测量量等数据都是正数；②是否为整数，因为数量是整数的。 例9 林老师要给实验室采购新的天平和试管，已知天平售价50元/套，试管售价12元/套。林老师一共带了2500元，购买的试管数量比天平多20套，且不大于天平套数的1.6倍。那么林老师有可能分别购买了多少套天平和试管？请列出来所有可能的情况 【答案】一共有三种：天平34套，试管54套；天平35套，试管55套；天平36套，试管56套。 【分析】根据解应用问题的基本步骤，先设未知数，可以设天平采购了x套，那么试管采购了（x+20）套，再根据“带了2500元”，解读为总采购费用不超过2500元列式，根据“（试管套数）不大于天平套数的1.6倍”再列式，解联立的一元一次不等式组，并求出正整数解即可。 【详解】设天平采购了x套，则试管采购了（x+20）套；根据题意可列式为，解得x的取值范围为，因为x为正整数，所以x=34,35或36. 当x=34时，天平采购了34套，试管采购了54套； 当x=35时，天平采购了35套，试管采购了55套； 当x=36时，天平采购了36套，试管采购了56套； 6.根据不等式（组）的解判断字母参数的值 错误：带字母参数的不等式或不等式组，不能根据已知条件判断不等式的性质，或不能通过字母参数表示实数来求解并表示出不等式（组）的解，进行深入讨论。 注意：除了“一、3根据性质判断字母参数的取值”所描述的需要掌握的方法外；与方程类似的，我们需要学会通过用字母参数表示出解，然后根据题意讨论解的情况，求出字母参数。 例10 （2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解为：2，3，4， ∴， ∴． 故答案为：． 例11 （24-25九年级下·广东中山·期中）某同学解一个关于x的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图所示． (1)求m的值； (2)解此不等式组，并在数轴上表示出解集． 【答案】(1)1 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法： （1）解出不等式①，根据数轴即可求出m； （2）解出不等式②，结合①的解即可得不等式组的解，再在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 根据数轴知， 因此； （2）解：解不等式②得， 综合①②得， 把在数轴上表示如图所示： 7.一元一次不等式组中方案问题中求所有方案 错误：方案问题，要么出现所求未知数的列式不足，求得的解范围太广；要么在列出所有方案时不能完整讨论。 注意：方案的实际问题需要我们通过列出所有符合要求的可能性，因此首先要根据题意求出未知数的取值范围，同时要注意要满足所有题干中提到的要求，然后根据未知数的每个符合要求的解，讨论方案结果，或进一步进行比较，最终得出结论。 例12 （24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元． (1)甲型、乙型GPU单价各是多少万元？ (2)若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元 (2)共3种采购方案 (3)实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【分析】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的关系是解决问题的关键． （1）设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，由购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a,为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元． （2）设购买甲型a块，依题意，得 ， 解得， ∵a，为整数 ∴a的取值为，共3种采购方案． （3）当时，（万元）； 当时，（万元）； 当时，（万元）． ∴当时，，则（万元）． 答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如果，那么下列不等式中，一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，∴，该选项正确，不合题意； 、∵，∴，该选项正确，不合题意； 、∵，∴，该选项正确，不合题意； 、∵，∴，∴，该选项错误，符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，根据题意在数轴上画出对应的取值范围是解答的关键．根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：把不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质分别判断即可． 【详解】解：A、可能大于0也可能小于0，当时，与大小关系不能确定，故错误，不符合题意； B、若，当时，，故错误，不符合题意； C、若，所以，则，故错误，不符合题意； D、若，可确定且，则，故正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解的条件得出的范围；再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零的条件进一步确定的范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组无解， ∴， ， 解分式方程，得， ∴且， 且， 且， ，，，，． ． 故选：A． 7.（24-25七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：． 故答案为：． 8.（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的正整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 先解不等式求出解集，然后求出整数解，再求和即可． 【详解】解： ， ∴， ∴正整数解为， ∴正整数解的和为， 故答案为：． 9.（25-26八年级上·全国·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围 ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．由实际问题中的不等关系列出不等式，理解题意是解题关键．根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意知，，即， 故答案为：． 10.（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．分别求出不等式组中不等式的解集．利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集有4个整数解，即可得出答案． 【详解】解：由，解得： ， 由该不等式有4个整数解，得 3，4，5，6是这四个整数解， ∴， 故答案为：． 11.（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴最大整数解为， 即输入x的最大整数是． 故答案为：． 12.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的性质1即可得； （2）根据不等式的性质2即可得； （3）根据不等式的性质3即可得； （4）根据不等式的性质2和性质1即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 13.（24-25七年级下·甘肃武威·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2)，并写出该不等式组的整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析，整数解为 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进而确定不等式组的整数解即可． 【详解】（1）解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示解集如图： （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示不等式的解集如图： 不等式组的整数解为：． 14.（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）； (2)若不等式组的一个子方程的解为整数，求此子方程的解． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“子方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． （1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“子方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，即可求得此子方程的解． 【详解】（1）解：解不等式组，得：， 方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为， 不等式组的子方程是是③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组得：， 所以不等式组的整数解为，0， 则此子方程的解是或0． 15.（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $